精品解析：2024年湖南省长沙市多校联考中考三模数学试题

2024年长沙市初中学业水平考试试卷 数学 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列四个实数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数的大小比较进行判断即可． 【详解】解：∵正数都大于0，0大于一切负数， ∴， ∴最大的数是：， 故选：D． 【点睛】本题考查实数的大小比较的方法，熟练掌握正数大于0,0大于负数，两个负数的绝对值大的反而小是解题的关键． 2. 近年来，长沙中高端人才净流入率居全国前三，高精尖人才集中在战略性新兴产业的比例达95%；“人才吸引力指数”跃居全国第十、中部第一．长沙人才总量2023年增至3150000．其中数据3150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了数科学记数法，对于一个绝对值大于等于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选B． 3. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸作品的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选A． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、平方差公式，同底数幂的除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 分别根据合并同类项、平方差公式，同底数幂的除法，积的乘方法则计算各项后再进行判断即可． 【详解】解：A、 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算正确，符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 5. 下列说法正确的是（　　） A. 神舟十九号载人飞船发射前的零件检查应选择抽样调查 B. “离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件 C. 要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图 D. 若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩较稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查、随机事件、折线统计图、方差的性质等知识点，根据全面调查与抽样调查的概念、随机事件的概念、折线统计图、方差的性质进行解题即可，熟练掌握它们的概念和性质是解决此题的关键． 【详解】A．神舟十八号载人飞船发射前的零件检查应选择全面调查，故此选项不符合题意； B．“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故此选项不符合题意； C．要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图，故此选项符合题意； D．若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，平分，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题关键是明确两直线平行，内错角相等． 根据角平分线的性质得，然后根据平行线的性质得，即可得出答案． 【详解】平分，， ， ， ， 故选：B． 7. 不等式组，的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别解两个不等式得到和，从而得到不等式组的解集为，然后利用此解集对各选项进行判断． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 所以不等式组的解集为． 在数轴上表示： 故选：C． 8. “爱护环境，人人有责”．为减少塑料垃圾袋的使用，小明统计了他家某一周每天使用塑料垃圾袋的数量（单位：个）：2，2，3，3，3，4，4．则对这组数据说法错误的是（　　） A. 众数是3 B. 中位数是3 C. 平均数是3 D. 方差是3 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义和计算公式，分别进行计算即可得出正确答案． 【详解】解：A：3出现了三次，故众数为3，故本选项不符合题意； B、将数据排列后为2，2，3，3，3，4，4，因此中位数是第4个数为3，故本选项不符合题意； C、平均数为，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数以及方差，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据． 9. 如图，是 的直径，弦，垂足为点E，若，，则 的半径为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，邻补角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂径定理，可知的长度，根据圆周角定理，可以知道的度数，从而推出，再利用求得半径． 【详解】是 的直径，弦，垂足为点E， 则 的半径为4． 故选：B． 10. 在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如下表： t（） 0 10 20 30 40 R（Ω） 5 5.08 5.16 5.24 5.32 根据上述关系，当温度t为时，该金属导体的电阻R的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用等知识点，先根据表中数据求出，然后将代入即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解决此题的关键． 【详解】∵电阻R（单位：Ω）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系， ∴设, 将表中数值代入得， ∴, ∴， ∴， ∴当时，, 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 12. 如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是________． 【答案】12 【解析】 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都为， ∴该多边形的边数为， 故答案为12． 13. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．由题意知，，，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 14. 已知是反比例函数图象上的一个动点，当时，，则当时，a的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 将点的坐标代入反比例函数的解析式，可以求得比例系数k，从而确定反比例函数的解析式，再进一步求得当时，a的值． 【详解】∵是反比例函数图象上的一个动点，当时，， ∴，解得 ∴ ∴当时， 解得． 故答案为：1． 15. 如图，在等腰中，，过点A作，交的延长线于点D，若，则 的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及三角形外角的性质，熟练掌握锐角三角函数的概念是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得，，求出，然后利用的正切求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是_________．（填序号） ①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为； ②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为； ③米粒落在圆内的概率＝； ④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则的值接近于． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，几何概率，直接根据题意得出圆的面积进而利用圆的面积除以正方形面积得出答案． 【详解】解：依题意，圆的面积为，正方形的面积为： ∴米粒落在圆内的概率为； ①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为，故①正确； ②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为，故②错误； ③米粒落在圆内的概率＝，故③正确； ④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则概率接近，即， ∴的值接近于，故④正确； 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共9个小题，第1718、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24，25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式，实数的运算，解题的关键是掌握二次根式的运算，，，即可． 【详解】 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 19. 为了提升居民的居住环境和品质，许多小区采用高层、小高层结合的模式建造．如图，某小区有前后两栋楼分别是高层和小高层，两栋楼的楼间距为40米，当小明站在高层楼顶点A处时，测得对面小高层楼顶C点的俯角为，测得对面小高层楼底D点的俯角为，已知小高层层高为3米．（参考数据：，，，结果精确到1米） （1）求该小区高层的高度； （2）求该小区小高层有多少层？ 【答案】（1）64米 （2）8层 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，作辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． （1）在中，利用的正切求解即可； （2）过点C作于点E，则四边形为矩形，，证明为等腰直角三角形得米，求出米，进而可求出该小区小高层有多少层． 【小问1详解】 根据题意得，． 在中， (米)， ∴该小区高层的高度约为64米； 【小问2详解】 如解图，过点C作于点E， 则四边形为矩形，， ∴米，，为等腰直角三角形， ∴米， 由(1)知，米， ∴ (米)， ∴ (米)， ∵小高层层高为3米， ∴ (层)， ∴该小区小高层有8层． 20. 某中学将在九年级开展红色之旅研学活动，为了解学生的研学意向，在九年级的每个班中随机选取了部分同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下统计表和扇形统计图． 调查问卷 在下面四个纪念馆中，你最想去的是（ ）（单选） A.秋收起义文家市会师纪念馆 B.湖南红色档案馆 C.中国共产党长沙历史馆 D.湖南辛亥革命人物纪念馆 纪念馆 人数 A 16 B m C 24 D 20 根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）统计图表中的__________， _____________； （2）如果该校九年级学生共有900人，估计九年级学生最想去的纪念馆是“湖南辛亥革命人物纪念馆”的有多少人？ （3）学校根据调查结果选出一个纪念馆作为研学地．为方便管理，从甲、乙、丙、丁4名学生中，随机选择2名作为此次研学活动老师的助手，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生中没有甲的概率 【答案】（1）20，30 （2）225人 （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体以及用画树状图法或列表法求概率，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）用想去A纪念馆的人数除以所占百分率即可求出被调查的总人数，再减去想去A，C，D三个纪念馆的人数即可求出m；用C的人数除以总人数即可得到n； （2）用样本估计总体即可求解； （3）列表得到所有等可能的结果数和2名学生中没有甲学生的结果数，再用概率公式求解即可 【小问1详解】 解：被调查的总人数为：（人）， ； ，即； 故答案为：20；30； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计九年级学生最想去的纪念馆是"湖南辛亥革命人物纪念馆”的有225人； 【小问3详解】 解：根据题意，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 - (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁) 乙 (乙，甲) - (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙) - (丙，丁) 丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙) - 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生中没有甲的结果有6种， ∴ 21. 如图，已知，， （1）尺规作图：作出线段的垂直平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，设直线交于点D，连接，若，求的度数． 【答案】（1）即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识点， （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角和三角形的外角的性质即可求得答案； 熟练掌握线段垂直平分线的作图方法以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如解图②， ∵，， ∴， 由(1)知，为线段的垂直平分线， ∴， ∴． 22. 话剧是以对话方式为主的戏剧形式，主要叙述手段为演员在台上无伴奏的对白或独白．某剧院上映话剧《雷雨》，设置两种票价，甲种票每张50元，乙种票每张80元． （1）某校话剧社团共52人去该剧院看话剧《雷雨》，购票共花费3500元，求购买甲、乙两种票各多少张？ （2）该剧院场馆共有500个座位，在每场票售罄的前提下，要使该话剧每场售票总金额不低于35000元，则甲种票所对应的座位最多可设置多少个？ 【答案】（1）购买甲种票22张，购买乙种票30张 （2）166个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找出题目中的数量关系列出方程和不等式是解答本题的关键． （1）设购买甲种票x张，购买乙种票y张，根据共52人和共花费3500元列方程组求解即可； （2）设甲种票所对应的座位设置a个，则乙种票所对应的座位设置个，根据每场售票总金额不低于35000元列不等式求解即可． 【小问1详解】 设购买甲种票x张，购买乙种票y张， 根据题意，得， 解得， 答：购买甲种票22张，购买乙种票30张； 【小问2详解】 设甲种票所对应的座位设置a个，则乙种票所对应的座位设置个， 根据题意，得， 解得， ∵a为整数， ∴甲种票所对应的座位最多可设置166个， 答：甲种票所对应的座位最多可设置166个． 23. 在新学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接， ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，求菱形的面积和的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ∴， ∴， ∴. ∵ ∴四边形为平行四边形； （2）面积为； 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形判定、菱形的性质、勾股定理等知识． （1）由题意，利用证明，得到，进而得到，则问题可证； （2）连接交于点O，先求出，再由面积法得到，再用勾股定理求出，进而求出和菱形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点O， ∵四边形为菱形， ∴，， . 在中，. 由(1)知，， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中， ， ∴， ∴菱形的面积为， ∴． 24. 定义：若函数，的自变量的取值范围相同，我们把函数叫做，的加权平均函数，其中t为加权系数，且0＜t＜1． （1）已知，． ①当时；，的加权平均函数为___________； ②若是，的加权平均函数，则_______，________； （2）已知，，其加权平均函数 的图象经过两个定点 ，（点 在点的左侧），试在x轴上求一点，使得取得最大值，并写出点的坐标； （3）已知与对于 的任意一个的取值，加权平均函数 的图象都在轴上方，试求的取值范围． 【答案】（1）①；②， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的新定义的问题，一次函数的性质，二次函数的性质，关键是求出加权平均函数的表达式． （1）直接代入求解即可； （2）先求得加权平均函数的表达式根据题目条件求得点 、点即可求得结果； （3）先求得加权平均函数的表达式，根据二次函数的性质即可求得结果． 【小问1详解】 解：①将，，代入即可求得： ②将，代入， 与作比较即可求得： ， 【小问2详解】 由题意，得， ∵y过定点， ∴， 解得 或 ， 当 时，，当 时，， ∵点 在点的左侧， ∴，， 如解图，作点关于x轴的对称点，直线与x轴的交点即为所求的点，使得的值最大， 设直线的解析式为． 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 令，得， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 ∵，与 ∴， ∵， ∴加权平均函数 的图象开口向上， ∴当时，， ∵加权平均函数 的图象都在x轴上方， ∴ ∴， 令， ∵， ∴函数的图象开口向上． 令，得， 令，得． ∵ ， ∴，且， 解得， ∴的取值范为 25. 如图，已知 为的外接圆，为 的直径，，过点B作射线，使得，点P为射线上的一个动点，连接并延长交 于点D，连接． （1）求证：为 的切线； （2）设，四边形的面积为y． ①y关于x的函数关系式； ②当时，求y的值； （3）已知E为的中点，连接交于点F，连接，若，试探究线段能否构成一个三角形，若能，请证明你的结论，并判断三角形的形状；若不能，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如解图，连接， ∵，O为中点， ∴，， 即 ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为 的切线； （2）①；②16 （3）直角三角形， 线段能构成一个三角形，三角形的形状为直角三角形，证明如下： 如解图， ∵， ∴。 ∴， ∵， ∴. ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形. ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，. ∴， 线段能构成一个直角三角形． 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，，可证明，则，即，故为 的切线； （2）①作于点G，交的延长线于点H，先通过证明，则，故，而，故，则； ②证明，则，由得到，则，而，故，因此； （3）先证明，，则，由是等腰直角三角形，得，故，在中，，因此得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如解图，作于点G，交的延长线于点H. ∵， ∴. ∵为 的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴矩形为正方形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ∴ ∴； ②∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年长沙市初中学业水平考试试卷 数学 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列四个实数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 近年来，长沙中高端人才净流入率居全国前三，高精尖人才集中在战略性新兴产业的比例达95%；“人才吸引力指数”跃居全国第十、中部第一．长沙人才总量2023年增至3150000．其中数据3150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸作品的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 神舟十九号载人飞船发射前的零件检查应选择抽样调查 B. “离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件 C. 要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图 D. 若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩较稳定 6. 如图，平分，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组，的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 8. “爱护环境，人人有责”．为减少塑料垃圾袋的使用，小明统计了他家某一周每天使用塑料垃圾袋的数量（单位：个）：2，2，3，3，3，4，4．则对这组数据说法错误的是（　　） A. 众数是3 B. 中位数是3 C. 平均数是3 D. 方差是3 9. 如图，是的直径，弦，垂足为点E，若，，则的半径为（ ） A. B. 4 C. D. 5 10. 在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如下表： t（） 0 10 20 30 40 R（Ω） 5 5.08 5.16 5.24 5.32 根据上述关系，当温度t为时，该金属导体的电阻R的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是________． 13. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为___________． 14. 已知是反比例函数图象上的一个动点，当时，，则当时，a的值为___________． 15. 如图，在等腰中，，过点A作，交的延长线于点D，若，则的长为____________． 16. 如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是_________．（填序号） ①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为； ②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为； ③米粒落在圆内的概率＝； ④若投 次，有 次落在圆内，随着实验次数 的增加，则的值接近于． 三、解答题（本大题共9个小题，第1718、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24，25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为了提升居民的居住环境和品质，许多小区采用高层、小高层结合的模式建造．如图，某小区有前后两栋楼分别是高层和小高层，两栋楼的楼间距为40米，当小明站在高层楼顶点A处时，测得对面小高层楼顶C点的俯角为，测得对面小高层楼底D点的俯角为，已知小高层层高为3米．（参考数据：，，，结果精确到1米） （1）求该小区高层的高度； （2）求该小区小高层有多少层？ 20. 某中学将在九年级开展红色之旅研学活动，为了解学生的研学意向，在九年级的每个班中随机选取了部分同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下统计表和扇形统计图． 调查问卷 在下面四个纪念馆中，你最想去的是（ ）（单选） A.秋收起义文家市会师纪念馆 B.湖南红色档案馆 C.中国共产党长沙历史馆 D.湖南辛亥革命人物纪念馆 纪念馆 人数 A 16 B m C 24 D 20 根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）统计图表中的__________， _____________； （2）如果该校九年级学生共有900人，估计九年级学生最想去的纪念馆是“湖南辛亥革命人物纪念馆”的有多少人？ （3）学校根据调查结果选出一个纪念馆作为研学地．为方便管理，从甲、乙、丙、丁4名学生中，随机选择2名作为此次研学活动老师的助手，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生中没有甲的概率 21. 如图，已知，， （1）尺规作图：作出线段的垂直平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，设直线交于点D，连接，若，求的度数． 22. 话剧是以对话方式为主的戏剧形式，主要叙述手段为演员在台上无伴奏的对白或独白．某剧院上映话剧《雷雨》，设置两种票价，甲种票每张50元，乙种票每张80元． （1）某校话剧社团共52人去该剧院看话剧《雷雨》，购票共花费3500元，求购买甲、乙两种票各多少张？ （2）该剧院场馆共有500个座位，在每场票售罄的前提下，要使该话剧每场售票总金额不低于35000元，则甲种票所对应的座位最多可设置多少个？ 23. 在新学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，求菱形的面积和的长． 24. 定义：若函数，的自变量的取值范围相同，我们把函数叫做，的加权平均函数，其中t为加权系数，且0＜t＜1． （1）已知，． ①当时；，的加权平均函数为___________； ②若是，的加权平均函数，则_______，________； （2）已知，，其加权平均函数的图象经过两个定点， （点在点 的左侧），试在x轴上求一点，使得取得最大值，并写出点的坐标； （3）已知与对于的任意一个 的取值，加权平均函数的图象都在轴上方，试求 的取值范围． 25. 如图，已知为的外接圆，为的直径，，过点B作射线，使得，点P为射线上的一个动点，连接并延长交于点D，连接． （1）求证：为的切线； （2）设，四边形的面积为y． ①y关于x的函数关系式； ②当时，求y的值； （3）已知E为的中点，连接交于点F，连接，若，试探究线段能否构成一个三角形，若能，请证明你的结论，并判断三角形的形状；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $