精品解析：江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二下学期5月调研测试数学试题

江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二下学期5月调研测试数学试题 （考试时间:120分钟 总分:150分） 注意事项: 1.请将选择题、填空题的答案和解答题的解题过程涂写在答题卷上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、考试号涂写在答题卷上. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知四个点，以其中两个点为端点的有向线段共有（ ）条 A. 6 B. 3 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】每2个点为端点的有向线段有2条，利用排列数公式可得结果. 【详解】每2个点为端点的有向线段有条，故满足条件的有向线段条数为. 故选：C 2. 现有1号，2号两个罐子，1号罐子中装有2个红球、1个黑球，2号罐子中装有3个红球、1个黑球.现从中随机取一个罐子，再在该罐子中随机取出一个球，则取出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式计算即可． 【详解】记事件表示取到第1号罐子，事件表示取到第2号罐子，事件取出的球是红球， 所以. 故选：B. 3. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 为单位向量 B. 若，则 C. 若，，共面，则它们所在的直线共面 D. 已知，，则在上的投影向量为 【答案】D 【解析】 【分析】A选项中注意单位向量的定义；B选项注意零向量的特殊情况，与直线平行的传递性区分开来；C选项注意向量可以平移的特点；D选项根据投影向量的计算公式，可得D正确. 【详解】对于选项A：，因此不是单位向量，因此A错误； 对于选项B：若为零向量，则与不一定共线，因此B错误； 对于选项C：例如在正方体中，因为，所以向量，，共面，但它们所在的三条直线，，显然不在同一平面内，因此C错误； 对于选项D：在上的投影向量为，因此D正确. 故选：D 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，正态曲线的对称轴是，由，可得，根据正态分布的对称性即可求得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是， 则，又， 所以， 所以， 故选：A. 5. 在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数和求得n，利用二项式展开式的通项公式确定有理项的项数，根据插空法排列有理项，再根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】在二项式 展开式中，二项式系数的和为， 所以. 则即，通项公式为， 故展开式共有7项，当时，展开式为有理项， 把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻， 即把其它的5个无理项先任意排，再把这两个有理项插入其中的6个空中，方法共有种, 故有理项都互不相邻的概率为, 故选：A 6. 对于数据组，如果由线性回归方程得到的自变量的估计值是，那么将称为样本点处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到表所示数据.若销量（单位:件）与单价（单位:元）之间的线性回归方程为，且样本点处的残差为3，则（ ） 单价/元 8.2 8.4 8.6 8.8 销量件 84 83 78 m A. 65 B. 67 C. 73 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】利用样本点处的残差为3，求得，再由，求得，进而可求得. 【详解】由条件知当时，， 代入，解得，于是， 又，所以，即，解得. 故选：B． 7. 甲、乙、丙等7人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ）种 A. 96 B. 128 C. 240 D. 672 【答案】D 【解析】 【分析】先不管甲是否排两端，利用捆绑法可求总的方法数，再减去甲排两端的方法数，即可求解. 【详解】先从7人中任选2人排在乙和丙之间有中排法，有乙和丙之间可相互排序有， 把这4人看成一个元素与其余3人排序有，故由分步乘法计数原理共有， 甲不在两端有， 故甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有. 故选：D. 8. 如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，为BC的中点，.则平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再根据体积公式，结合棱柱与棱锥的体积关系，结合等体积法可得，即可建立空间直角坐标系，运用法向量求解. 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，所以，所以． 又因为，平面, 所以平面,平面，所以． 由于,所以四边形为平行四边形，所以． 又，所以，所以． 因为，所以， 又，平面，所以平面，则面． 取中点，连接，由面，面，则面面，面面， 根据已知易知，所以为三棱柱， 设，多面体的体积为， 则 ． 解得． 建立如图所示的空间直角坐标系，则，． 则平面的一个法向量，且， 设平面的一个法向量，则即取． 所以，平面与平面夹角的余弦值为． 故选：C 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 除以5所得的余数是1 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项B，通过展开式的通项公式，得到，再通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项C，通过，再利用二项展开式展开即可判断出结果的正误；对于选项D，通过对等式两边同时求导，再进行赋值即可得出结果的正误. 【详解】选项A，因，令，得到，再令可得，所以，所以选项A正确； 选项B，因为二项展开式的通项公式为， 由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，所以， 由，令，得到， 令，得到， 所以，所以选项B错误； 选项C，因为， 所以除以5所得的余数是1，选项C正确； 对于选项D，因为， 两边同时对求导，得到， 令，得到，所以选项D错误. 故选：AC. 10. 袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】确定，均服从于超几何分布，且，，计算，可判断A，根据判断B，由判断C，根据及超几何分布方差公式判断D正确. 【详解】，均服从于超几何分布，且，， ，， 对选项A：，，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确； 故选：ACD. 11. 在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，经过点的正方体截面面积的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，作出如图空间直角坐标系，由向量法结合向量垂直判断即可； 对B，由几何关系得出与平面所成线面角，可得，则点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆； 对C，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理即可求 对D，由得点P在上，利用几何关系可得面积最值在端点及中点位置； 【详解】对A，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，， 则，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的一个法向量为， 若平面，则，即， 由，则，即P为中点时，有平面，且，A错误； 对B，因为平面，连接，则即为与平面所成角， 若与平面所成角为，则，所以， 即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B正确； 对C，如图，将平面与平面沿展成平面图形， 线段即为的最小值，利用余弦定理可知，所以，故C正确； 对D，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时对应截面面积为， 设的中点为H，由图形的变化得，当点P在DH和运动时，所得截面对称相同， 于是当时，的面积取最小值，此时对应截面面积为， 所以截面面积的取值范围为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛： （1）容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题. 本题A中，通过线面平行得线与该面的法向量垂直，即可得参数间的关系，即可进一步讨论线线垂直的问题； （2）B中轨迹问题，关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角，即可得出所求轨迹为圆弧； （3）C中求不同表面线段和问题，一般展开成平面讨论. （4）D中截面问题，关键结合正方体的对称性，转化为三角形面积的和，再进一步转换成讨论高的范围问题； 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由排列数公式构造方程求得结果. 【详解】由得：且，解得：. 故答案为：. 13. 设，且，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】，,, ， . 故答案为：. 14. 在空间四边形ABCD中，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求异面直线与所成角余弦的取值范围. 【详解】因为， 则， 所以 ，是以为斜边的等腰直角三角形， 取中点，连接，则，， 所以即为二面角的平面角， 如图： 以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为， 则， 又，所以，则， 所以. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某批待出口的水果罐头，每罐净重（单位:）服从正态分布，求: （1）随机抽取1罐，其净重超过的概率; （2）随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. （参考数据:） 【答案】（1）0.4207 （2）0.9544. 【解析】 【分析】将正态分布转化为标准正态分布形式，结合正态分布的对称性求概率即可. 【小问1详解】 . 故随机抽取1罐，其净重超过的概率是0.4207. 【小问2详解】 . 故随机抽取1罐，其净重在与之间的概率为0.9544. 16. 五个不同的小球，全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中.回答下面几个问题（写出必要的算式，并以数字作答）: （1）可以有空盒，但球必须都放入盒中的放法有多少种? （2）四个盒都不空的放法有多少种? （3）恰有一个空盒的放法有多少种? 【答案】（1）1024 （2）240 （3）600 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理结合排列组合公式即可计算， 【小问1详解】 由于可以随便放，故每个小球都有4种放法，所以放法总数是：种． 【小问2详解】 因为有5个球，4个盒子，所以四个盒都不空，必然有且只有一个盒子放2个球， 所以放法共有种. 【小问3详解】 因为恰有一个空盒，所以取出一个盒子有种取法， 5个球放入三个盒子可分和两类方法， 所以共有种. 17. 冬季是某种流行疾病的高发季，为了检测预防这种疾病疫苗的免疫效果，对200名志愿者注射该疫苗，一段时间后，统计了这200名志愿者的年龄（单位:岁），并测量他们血液中的抗体医学指标现作出的散点图，如下: 抗体医学指标 年龄 合计 合计 图中，年龄岁的志愿者中抗体医学指标的有64人，的有36人;年龄岁的志愿者中抗体医学指标的有16人，的有84人. （1）请完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为抗体医学指标不小于80与年龄不小于50岁有关; （2）对数据初步处理后计算得的方差分别为50，162，y关于的线性回归方程为，且其样本相关系数，求的值.若一名65岁的志愿者注射该疫苗，经过和200名志愿者注射后相同长度的一段时间后，预测这名志愿者的抗体医学指标值. 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7.879 10.828 参考公式:（其中. 线性回归方程为，其中， 变量与变量的样本相关系数. 【答案】（1）列联表见解析，抗体医学指标不小于80与年龄不小于50岁有关． （2），这名志愿者的抗体医学指标的预测值为 【解析】 【分析】（1）由题意补充列联表后计算卡方即可得； （2）由所给数据可计算出、，结合与的关系，可计算出，即可得解. 【小问1详解】 补充完整的列联表如下： 抗体医学指标 年龄 合计 36 84 120 64 16 80 合计 100 100 200 零假设为：抗体医学指标不小于80与年龄不小于50岁无关． 根据列联表中的数据，得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 故抗体医学指标不小于80与年龄不小于50岁有关； 【小问2详解】 因为的方差分别为50，162， 所以， 由，得， 由样本相关系数定义，得， 所以， 则， 所以经验回归方程为， 当时，， 故这名志愿者的抗体医学指标的预测值为． 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，底面ABCD为直角梯形，. （1）求PB与平面PCD所成角的正弦值; （2）求平面PCD与平面PBA所成锐二面角的余弦值; （3）如果M是线段PC上的动点（不包括端点），N为AD中点，求点到平面BMN距离的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，求得向量，和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由平面的一个法向量，和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，则，则可得平面的一个法向量，通过点到平面距离的公式，得到参数表示的一个代数式，则可得到点到平面BMN距离的范围，即可得到最大值. 【小问1详解】 因为平面，且平面，所以，， 又因为，所以， 因为与底面所成的角为，所以，故， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示， 因为，，可得，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，可得， 取，则，可得， 设PB与平面PCD所成的角为, 则， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为. 【小问2详解】 根据题意，平面的一个法向量， 由（1）知，平面一个法向量为， 则， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 【小问3详解】 因为N为AD中点，所以， 设，则， ∴， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， ∵， ∴点到平面距离为， 当时，则， ∴，当时取等号， 则， 综上，点到平面距离的取值范围的最大值为. 19. 某学校食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现:学生第一天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为;前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. （1）求同学甲第二天选择套餐的概率; （2）证明:数列为等比数列; （3）从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择套餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择套餐的概率，求取最大值时对应的的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）37 【解析】 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合全概率公式可得，结合等比数列的定义分析证明； （3）根据题意分析可得，结合二项分布的概率公式列式求解. 【小问1详解】 设“第1天选择B套餐”，“第2天选择B套餐”， 则“第1天不选择B套餐”. 根据题意可知：. 由全概率公式可得. 【小问2详解】 设“第天选择B套餐”，则， 根据题意. 由全概率公式可得 ， 整理得，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 小问3详解】 第二天选择A类套餐的概率 由题意可得：学生第二天选择A类套餐的概率为，则不选择A类套餐的概率为， 所以，则， 当取最大值时，则， 即，即， 解得，且，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二下学期5月调研测试数学试题 （考试时间:120分钟 总分:150分） 注意事项: 1.请将选择题、填空题的答案和解答题的解题过程涂写在答题卷上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、考试号涂写在答题卷上. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知四个点，以其中两个点为端点的有向线段共有（ ）条 A. 6 B. 3 C. 12 D. 18 2. 现有1号，2号两个罐子，1号罐子中装有2个红球、1个黑球，2号罐子中装有3个红球、1个黑球.现从中随机取一个罐子，再在该罐子中随机取出一个球，则取出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 为单位向量 B. 若，则 C. 若，，共面，则它们所在的直线共面 D. 已知，，则在上的投影向量为 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 对于数据组，如果由线性回归方程得到的自变量的估计值是，那么将称为样本点处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到表所示数据.若销量（单位:件）与单价（单位:元）之间的线性回归方程为，且样本点处的残差为3，则（ ） 单价/元 8.2 8.4 8.6 8.8 销量件 84 83 78 m A. 65 B. 67 C. 73 D. 75 7. 甲、乙、丙等7人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ）种 A 96 B. 128 C. 240 D. 672 8. 如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，为BC的中点，.则平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确是（ ） A. B. C. 除以5所得的余数是1 D. 10. 袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，经过点的正方体截面面积的取值范围为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 13. 设，且，则_____________. 14. 在空间四边形ABCD中，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是_____________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某批待出口的水果罐头，每罐净重（单位:）服从正态分布，求: （1）随机抽取1罐，其净重超过的概率; （2）随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. （参考数据:） 16. 五个不同的小球，全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中.回答下面几个问题（写出必要的算式，并以数字作答）: （1）可以有空盒，但球必须都放入盒中的放法有多少种? （2）四个盒都不空的放法有多少种? （3）恰有一个空盒的放法有多少种? 17. 冬季是某种流行疾病的高发季，为了检测预防这种疾病疫苗的免疫效果，对200名志愿者注射该疫苗，一段时间后，统计了这200名志愿者的年龄（单位:岁），并测量他们血液中的抗体医学指标现作出的散点图，如下: 抗体医学指标 年龄 合计 合计 图中，年龄岁的志愿者中抗体医学指标的有64人，的有36人;年龄岁的志愿者中抗体医学指标的有16人，的有84人. （1）请完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为抗体医学指标不小于80与年龄不小于50岁有关; （2）对数据初步处理后计算得的方差分别为50，162，y关于的线性回归方程为，且其样本相关系数，求的值.若一名65岁的志愿者注射该疫苗，经过和200名志愿者注射后相同长度的一段时间后，预测这名志愿者的抗体医学指标值. 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7879 10.828 参考公式:（其中. 线性回归方程为，其中， 变量与变量样本相关系数. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，底面ABCD为直角梯形，. （1）求PB与平面PCD所成角的正弦值; （2）求平面PCD与平面PBA所成锐二面角余弦值; （3）如果M是线段PC上的动点（不包括端点），N为AD中点，求点到平面BMN距离的最大值. 19. 某学校食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现:学生第一天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为;前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. （1）求同学甲第二天选择套餐的概率; （2）证明:数列为等比数列; （3）从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择套餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择套餐的概率，求取最大值时对应的的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$