第22章 专题五 二次函数与几何图形的小综合(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版 河北专用)

年级上册·RJ河北专用 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第二十二章　二次函数 专题五　二次函数与几何图形的小综合 线段长、图形面积最值问题 1. 如图所示，直线 y ＝ x ＋2与抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋6（ a ≠0）相交于 A （4，6） 和 B 两点，点 P 是线段 AB 上异于 A ， B 的动点，过点 P 作 PD ⊥ x 轴于点 E ，交抛物线于点 D . （1）求抛物线的函数解析式. 解：（1）将点 A ，点 B 的坐标代入抛物线的函数解析式，得 解得 ∴抛物线的函数解析式为 y ＝2 x2－8 x ＋6. 1 2 3 4 5 （2）当 D 为抛物线的顶点时，求△ ADC 的面积. 解：（2）∵抛物线的对称轴为直线 x ＝2， ∴点 D （2，－2），当 x ＝2时， y ＝ x ＋2＝4， ∴ P （2，4），则 PD ＝6， 当 y ＝0时， x ＋2＝0， x ＝－2， ∴ C （－2，0）， ∴△ ACD 的面积＝ PD （ xA － xC ）＝ ×6×6＝18. 1 2 3 4 5 （3）是否存在这样的点 P ，使△ ADC 的面积有最大值？若存在，求出这个最大 值；若不存在，请说明理由. 解：（3）存在，理由： 设点 P （ x ， x ＋2），点 D （ x ，2 x2－8 x ＋6）， ∴ S△ ADC ＝ PD （ xA － xC ）＝ ×（ x ＋2－2 x2＋8 x －6）×6＝ －6 x2＋27 x －12. ∵－6＜0，故 S△ ADC 有最大值，当 x ＝ 时， S△ ADC 最大值为 . 1 2 3 4 5 线段和、周长最值问题 2. （2023·廊坊广阳一模）如图所示是某家具厂的抛物线形木板余料，其最大高 度为9 dm，最大宽度为12 dm，现计划将此余料进行切割. 1 2 3 4 5 （1）如图①所示，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物 线的函数解析式. 解：（1）根据已知可得抛物线顶点坐标为（0，9）， A （－6，0）， B （6，0）. 设抛物线对应的函数解析式为 y ＝ ax2＋9， 把 B （6，0）代入，得0＝36 a ＋9，解得 a ＝－ ， ∴木板边缘所对应的抛物线的函数解析式为 y ＝－ x2＋9. 1 2 3 4 5 （2）如图②所示，若切割成矩形 HGNM ，求此矩形的最大周长. 解：（2）在矩形 HGNM 中，设 M （ m ，－ m2＋9）（0＜ m ＜6）， 由抛物线的对称性可知 H （－ m ，－ m2＋9）， ∴矩形 HGNM 的周长为2（2 m － m2＋9）＝－ （ m －4）2＋26. ∵－ ＜0，且0＜ m ＜6， ∴当 m ＝4时，矩形 HGNM 的周长有最大值，最大值为26， 即矩形 HGNM 的最大周长为26 dm. 1 2 3 4 5 特殊三角形、四边形问题 3. 如图①所示，已知抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于点 A ， B （3，0），与 y 轴交于点 C （0，3），直线 l 经过 B ， C 两点.抛物线的顶点为 D . 1 2 3 4 5 （1）分别求抛物线和直线 l 的函数解析式. 解：（1）∵抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于点 A ， B （3，0），与 y 轴交于 点 C （0，3），∴ y ＝－ x2＋ bx ＋3， 将点 B （3，0）代入 y ＝－ x2＋ bx ＋3，得0＝－9＋3 b ＋3，解得 b ＝2，∴抛物 线的函数解析式为 y ＝－ x2＋2 x ＋3. ∵直线 l 经过 B （3，0）， C （0，3）， ∴可设直线 l 的函数解析式为 y ＝ kx ＋3， 将点 B （3，0）代入，得0＝3 k ＋3，解得 k ＝－1， ∴直线 l 的函数解析式为 y ＝－ x ＋3. 1 2 3 4 5 （2）判断△ BCD 的形状并说明理由. 解：（2）△ BCD 是直角三角形，理由如下： 如图①所示，过点 D 作 DH ⊥ y 轴于点 H . ∵ y ＝－ x2＋2 x ＋3＝－（ x －1）2＋4， ∴抛物线的顶点 D （1，4）.∵ C （0，3）， B （3，0）， ∴ HD ＝ HC ＝1， OC ＝ OB ＝3，∴△ DHC 和△ OCB 是等腰直角三角形， ∴∠ HCD ＝∠ OCB ＝45°，∴∠ DCB ＝180°－∠ HCD －∠ OCB ＝90°， ∴△ BCD 是直角三角形. 1 2 3 4 5 （3）如图②所示，若点 E 是线段 BC 上方的抛物线上的一个动点，过 E 点 作 EF ⊥ x 轴于点 F ， EF 交线段 BC 于点 G ，当△ ECG 是直角三角形时， 求点 E 的坐标. 解：（3）∵ EF ⊥ x 轴，∠ OBC ＝45°， ∴∠ FGB ＝90°－∠ OBC ＝45°， ∴∠ EGC ＝45°，∴若△ ECG 是直角三角形， 只可能存在∠ CEG ＝90°或∠ ECG ＝90°. ①如图②所示，当∠ CEG ＝90°时， ∵ EF ⊥ x 轴，∴ EF ∥ y 轴， 1 2 3 4 5 ∴∠ ECO ＝∠ COF ＝∠ CEF ＝90°，∴四边形 OFEC 为矩形， ∴ yE ＝ yC ＝3，在 y ＝－ x2＋2 x ＋3中，当 y ＝3时， x1＝0， x2＝2，∴点 E （2，3）； ②如图③所示，当∠ ECG ＝90°时，由（2）知，∠ DCB ＝90°， ∴此时点 E 与点 D 重合.∵点 D （1，4），∴点 E （1，4）. 综上所述，当△ ECG 是直角三角形时，点 E 的坐标为（2，3）或（1，4）. 1 2 3 4 5 线段数量关系、面积数量关系问题 4. 如图所示，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A （－1，0）， B （5，0）两 点，直线 y ＝－ x ＋3与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 D . 点 P 是第一象限内抛物 线上一动点，过点 P 作 PF ⊥ x 轴于点 F ，交直线 CD 于点 E . 设点 P 的横坐标为 m ，若 PE ＝5 EF ，求 m 的值. 1 2 3 4 5 解：抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 经过 A （－1，0）， B （5，0）两点，将点 A ， B 的坐标代入，得解得 故 y ＝－ x2＋4 x ＋5. 由题意可设点 P （ m ，－ m2＋4 m ＋5）， 则点 E ，点 F （ m ，0）. 因为点 P 在 x 轴上方，要使 PE ＝5 EF ，则0＜ m ＜5，所以 PE ＝－ m2＋4 m ＋5 － ＝－ m2＋ m ＋2， EF ＝｜－ m ＋3｜.∵ PE ＝5 EF ， ∴－ m2＋ m ＋2＝5｜－ m ＋3｜. 当－ m2＋ m ＋2＝5 ， 1 2 3 4 5 解得 m1＝6.5（舍去）， m2＝2. 当－ m2＋ m ＋2＝－5 ， 解得 m3＝ （舍去）， m4＝ . 综上所述， m 的值为2或 . 1 2 3 4 5 角度数量关系问题 5. 如图所示，抛物线 y1＝ ax2＋ bx ＋ 与 x 轴交于点 A （－3，0），点 B ，点 D 是 抛物线 y1的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为点 C （－1，0）.点 M 在抛物线 上，横坐标为 m ，连接 MC ，若∠ MCB ＝∠ DAC ，求 m 的值. 解：由题意得 1 2 3 4 5 解得故抛物线所对应的函数解析式为 y ＝－ x2－ x ＋ . 当 x ＝－1时， y ＝－ ＋ ＋ ＝1， ∴点 D （－1，1）. 设直线 AD 的函数解析式为 y ＝ kx ＋ c ， ∴解得 ∴直线 AD 的函数解析式为 y ＝ x ＋ . 1 2 3 4 5 如图所示，①当点 M 在 x 轴上方时. ∵∠ M1 CB ＝∠ DAC ，∴ DA ∥ CM1. 设直线 CM1的函数解析式为 y ＝ x ＋ b1. ∵直线经过点 C ，∴－ ＋ b1＝0，解得 b1＝ ， ∴直线 CM1的函数解析式为 y ＝ x ＋ . 1 2 3 4 5 联立解得 x1＝－2＋ ， x2＝－2－ （舍去），∴ m ＝－2＋ . ②当点 M 在 x 轴下方时，直线 CM2与直线 CM1关于 x 轴对称，由轴对称的性质可 得直线 CM2的解析式为 y ＝－ x － ， 联立 解得 x1＝ ， x2＝－ （舍去），∴ m ＝ . 综上所述， m 的值为 或－2＋ . 1 2 3 4 5 $$