第22章 专题四 确定二次函数解析式的技巧(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版 河北专用)

年级上册·RJ河北专用 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第二十二章　二次函数 专题四　确定二次函数解析式的技巧 含有一个待定系数 1. （2023·唐山路南区二模）如图①所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 G ： y ＝ ax2－4 ax ＋1（ a ＞0）. （1）若抛物线过点 A （－1，6），求出抛物线的解析式. 解：（1）把（－1，6）代入 y ＝ ax2－4 ax ＋1，得 a ＋4 a ＋1＝6，解得 a ＝1， ∴抛物线的解析式为 y ＝ x2－4 x ＋1. 1 2 3 （2）当1≤ x ≤5时， y 的最小值是－1，求1≤ x ≤5时， y 的最大值. 解：（2）∵ y ＝ ax2－4 ax ＋1＝ a （ x －2）2－4 a ＋1， ∴抛物线的对称轴为直线 x ＝2. ∵抛物线的顶点的横坐标在1≤ x ≤5的范围内， ∴抛物线的顶点的纵坐标就是 y 的最小值－1， ∴－4 a ＋1＝－1，解得 a ＝ ， ∴抛物线的解析式为 y ＝ x2－2 x ＋1. 当1≤ x ≤2时， y 随 x 的增大而减小，当 x ＝1时， y最大＝ －2＋1＝－ ；当2＜ x ≤5时， y 随 x 的增大而增大，当 x ＝5时， y最大＝ －10＋1＝ .∵－ ＜ ， ∴ y 的最大值为 . 1 2 3 （3）已知直线 y ＝－ x ＋1与抛物线 y ＝ ax2－4 ax ＋1（ a ＞0）存在两个交点，若 两交点到 x 轴的距离相等，求 a 的值. 解：（3）∵直线 y ＝－ x ＋1及抛物线 y ＝ ax2－4 ax ＋1与 y 轴的交点都是（0，1）， ∴直线 y ＝－ x ＋1与抛物线 y ＝ ax2－4 ax ＋1的两个交点到 x 轴的距离都是1，且 其中一个交点坐标为（0，1）， ∴另一个交点的纵坐标为－1， 当 y ＝－1时，由－1＝－ x ＋1，得 x ＝2， ∴另一交点坐标为（2，－1）， 把（2，－1）代入 y ＝ ax2－4 ax ＋1，得4 a －8 a ＋1＝－1，解得 a ＝ . 1 2 3 （4）如图②所示，作与抛物线 G 关于 x 轴对称的抛物线G'，当抛物线 G 与抛物线 G'围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，求 a 的取值范围. 解：（4）由题意可知，抛物线 G 与抛物线G'围成的 封闭区域是以 x 轴为对称轴的轴对称图形， ∴该区域内 x 轴上有三个横、纵坐标均为整数的点， x 轴的下方和上方各有四个这样的点，且两两关于 x 轴对称. 如图所示，对于抛物线 G ，当 x ＝1时， y ＝－3 a ＋1； 当 x ＝2时， y ＝－4 a ＋1， 由题意，得解得 ＜ a ≤1， ∴ a 的取值范围是 ＜ a ≤1. 1 2 3 含有两个待定系数 2. （2023·唐山丰润区期中）如图所示，二次函数 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴 交于 A （－3，0）， B （1，0）两点，与 y 轴交于点 C ，点 C 与 D 是二次函数图 象上的一对对称点，一次函数的图象经过 B ， D . （1）求二次函数的解析式及点 C 的坐标. 解：（1）∵二次函数 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴交于 A （－3，0）， B （1，0）两点， ∴可知二次函数的解析式为 y ＝－（ x ＋3）（ x －1），∴二次 函数的解析式为 y ＝－ x2－2 x ＋3， 令 x ＝0， y ＝3， ∴点 C 的坐标为（0，3）. 1 2 3 （2）结合图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围. 解：（2）∵ y ＝－（ x ＋1）2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线 x ＝－1. ∵ C ， D 两点关于直线 x ＝－1对称，且点 C 的坐标为（0，3）， ∴ D （－2，3）. 观察图象可知当 x ＜－2或 x ＞1时，一次函数值大于二次函数值. 1 2 3 解：（3）∵ D （－2，3）， B （1，0），∴直线 BD 的解析式为 y ＝－ x ＋1. 设 E （ m ，－ m ＋1）， 则 F （ m ，0）， H （ m ，－ m2－2 m ＋3）， 当 EF ＝ EH 时，－ m ＋1＝ （－ m2－2 m ＋3）， 解得 m ＝1（舍去）或－1； 当 HE ＝ HF 时，－ m2－2 m ＋3＝ （－ m ＋1）， 解得 m ＝1（舍去）或－2.5； 当 FH ＝ FE 时，－ m ＋1＋（－ m2－2 m ＋3）＝0， 解得 m ＝1（舍去）或－4. 综上所述，满足条件的点 E 的横坐标为－1或－2.5或－4. （3）若点 E （不在 x 轴上）是直线 BD 上一动点，过点 E 作 EF ⊥ x 轴于点 F 交抛 物线于点 H ，且点 E ， F ， H 三点中有两点关于第三点成中心对称，直接写出点 E 的横坐标. 1 2 3 含有三个待定系数 3. 已知抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 经过 A （2，0）， B （3 n －4， y1）， C （5 n ＋ 6， y2）三点，对称轴是直线 x ＝1.关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ x 有两个相等的实 数根. （1）求抛物线的函数解析式. 1 2 3 解：（1）∵抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 经过 A （2，0）， ∴0＝4 a ＋2 b ＋ c .① ∵对称轴是直线 x ＝1，∴－ ＝1.② ∵关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ x 有两个相等的实数根， ∴Δ＝（ b －1）2－4 ac ＝0.③ 由①②③可解得 ∴抛物线的函数解析式为 y ＝－ x2＋ x . 1 2 3 （2）若 n ＜－5，试比较 y1与 y2的大小. 解：（2）∵ n ＜－5，∴3 n －4＜－19，5 n ＋6＜－19， ∴点 B ，点 C 在对称轴直线 x ＝1的左侧. ∵抛物线 y ＝－ x2＋ x ，－ ＜0， ∴在对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大. ∵（3 n －4）－（5 n ＋6）＝－2 n －10＝－2（ n ＋5）＞0， ∴3 n －4＞5 n ＋6，∴ y1＞ y2. 1 2 3 $$