第22章 专题六 二次函数的动态临界问题及整点问题(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版 河北专用)

2024-08-09
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年级上册·RJ河北专用 数 学 本课件使Office 2016制作,请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作,如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本,会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题,请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑,单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能,点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第二十二章 二次函数 专题六 二次函数的动态临界问题及整点问题 动态抛物线中的临界问题 1. (2023·石家庄新华区一模)如图所示,已知抛物线 L : y =- x ( x -3)+ n 与 x 轴交于 A , B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 M . (1)若该抛物线过点(1,6), ①求该抛物线的函数解析式,并求出此时 A , B 两点的坐标. 解:(1)①将(1,6)代入 y =- x ( x -3)+ n , ∴6=-1×(1-3)+ n ,解得 n =4,∴抛物线的函数解析式为 y =- x2+3 x +4, 令 y =0,则0=- x2+3 x +4, 解得 x1=-1, x2=4, ∴点 A 的坐标为(-1,0),点 B 的坐标为(4,0). 1 2 3 4 5 解:(1) ②将抛物线 y =- x2+3 x +4向上平移2个单位长度可以得到 y =- x ( x -3)+6, ∴点 A 向上平移最短距离是2个单位长度,得到点A'. ②将该抛物线进行平移,平移后的抛物线对应的函数解析式为 y =- x ( x -3) +6, A 点的对应点为A',求点 A 移动的最短距离. 1 2 3 4 5 (2)点 M 关于抛物线 L : y =- x ( x -3)+ n 的对称轴的对称点坐标 为 (用含 n 的代数式表示). (3, n )  1 2 3 4 5 (3)将抛物线 L : y =- x ( x -3)+ n 上0≤ x ≤3的一段图象记作 C ,若 C 与 直线 y = x +2有唯一公共点,直接写出 n 的取值范围. 解:(3)①当 x +2=- x ( x -3)+ n 有唯一实数根时,Δ=4 n -4=0,解得 n =1, 此时图象 C 与抛物线有唯一公共点. ②当抛物线经过(0,2)时, n =2,此时图象 C 与抛物线有两 个公共点, 当抛物线经过(3,5)时, n =5,此时图象 C 与抛物线有一个 公共点,∴2< n ≤5时,图象 C 与抛物线有唯一公共点. 综上所述,2< n ≤5或 n =1时,图象 C 与抛物线有唯一公共点. 1 2 3 4 5 2. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = mx2-2 mx + m -3( m >0)与 x 轴的交 点为 A , B . (1)求抛物线的顶点坐标. 解:(1)∵ y = mx2-2 mx + m -3= m ( x -1)2-3, ∴抛物线的顶点坐标为(1,-3). 1 2 3 4 5 (2)若线段 AB 上有且只有5个点的横坐标为整数,求 m 的取值范围. 解:(2)∵抛物线 y = mx2-2 mx + m -3( m >0)的对称轴 为直线 x =1, 线段 AB 上有且只有5个点的横坐标为整数,这些整数为-1, 0,1,2,3, ∴当 x =3时, y ≤0,即9 m -6 m + m -3≤0,解得 m ≤ . 当 x =4时, y >0,即16 m -8 m + m -3>0,解得 m > , ∴ m 的取值范围为 < m ≤ . 1 2 3 4 5 (3)若抛物线在-1< x <0位于 x 轴下方,在3< x <4位于 x 轴上方,求 m 的值. 解:(3)∵抛物线 y = mx2-2 mx + m -3( m >0)的对称轴 为直线 x =1,而在3< x <4位于 x 轴上方, ∴抛物线在-2< x <-1这一段位于 x 轴的上方. ∵在-1< x <0位于 x 轴下方,∴抛物线过点(-1,0), 把(-1,0)代入 y = mx2-2 mx + m -3,得 m +2 m + m -3=0,解得 m = . 1 2 3 4 5 动态抛物线中的整点问题 3. 创新意识 如图所示,若抛物线 y = x2与直线 y = x +3围成的封闭图形内部 有 k 个整点(不包括边界),则一次函数 y = kx + k 的图象为( D ) D 1 2 3 4 5 4. (2023·承德一模)如图所示是某位同学设计的动画,随着音乐节奏起伏变 化,屏幕上就会闪现不同的抛物线.抛物线的统一形式为 y = ax2+ bx ( a 为整 数, x ≥0, y ≥0),且顶点始终在直线 y = kx 上. (1)若 k =1,且抛物线顶点纵坐标为3,求 a , b 的值. 解:(1)∵ k =1,则 y = x , ∴解得 ∴ a =- , b =2. 1 2 3 4 5 (2)试推断: k 与 b 的数量关系. 解:(2)依题意,顶点始终在直线 y = kx 上, ∴ = k ×(- ).又 a ≠0, b ≠0,解得 b =2 k . 1 2 3 4 5 (3)横、纵坐标都是整数的点称为整点,若抛物线的顶点恰好是整点时,抛物 线就会改变颜色.那么,当 k =6时,这组抛物线中有几条会改变颜色. 解:(3)∵ k =6, ∴ b =12,顶点在直线 y =6 x 上. ∵对称轴为直线 x =- =- =- 是整数, ∴当 a =±1,±2,±3,±6时, x 为整数. ∵抛物线开口向下,所以 a 为负数, ∴ a =-1,-2,-3,-6, ∴当 k =6时,这组抛物线中有4条会改变颜色. 1 2 3 4 5 5. (2023·石家庄藁城区二模)已知抛物线 G : y = ax2-2 ax + a + m ( a , m 均 为常数,且 a ≠0),交 y 轴于点 C (0,-3),点 P 在抛物线 G 上,连接 CP , 且 CP 平行于 x 轴. (1)用 a 表示 m ,并求抛物线 G 的对称轴及 P 点的坐标. 解:(1)将(0,-3)代入 y = ax2-2 ax + a + m , 得 m =-3- a .对称轴为 x =- =1. ∵ CP 平行于 x 轴. ∴点 P 与点 C 关于对称轴对称, ∴点 P 的坐标为(2,-3). 1 2 3 4 5 (2)当抛物线 G 经过(-1,3)时,求抛物线 G 的函数解析式及其顶点坐标. 解:(2)将(-1,3)代入 y = ax2-2 ax -3,得 a +2 a -3= 3,解得 a =2, ∴抛物线 G 的函数解析式为 y =2 x2-4 x -3. ∵ y =2 x2-4 x -3=2( x -1)2-5, ∴其顶点坐标为(1,-5). 1 2 3 4 5 解:(3)∵ a >0,抛物线 G 位于线段 CP 下方的部分与线段 CP 所围成的区域内(不含边界)恰有5个“整点”,且 C (0,-3), P (2,-3), ∴区域内的整点为(1,-4),(1,-5),(1,-6), (1,-7),(1,-8), 将(1,-8)代入 y = ax2-2 ax -3,得 a =5, 将(1,-9)代入 y = ax2-2 ax -3,得 a =6, ∴ a 的取值范围为5< a ≤6. (3)如果把横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”. 如图所示,当 a >0时,若抛物线 G 位于线段 CP 下方的部分与线段 CP 所围成的 区域内(不含边界)恰有5个“整点”,求 a 的取值范围. 1 2 3 4 5 $$

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