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年级上册·RJ河北专用
数 学
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第二十二章 二次函数
专题六 二次函数的动态临界问题及整点问题
动态抛物线中的临界问题
1. (2023·石家庄新华区一模)如图所示,已知抛物线 L : y =- x ( x -3)+ n
与 x 轴交于 A , B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 M .
(1)若该抛物线过点(1,6),
①求该抛物线的函数解析式,并求出此时 A , B 两点的坐标.
解:(1)①将(1,6)代入 y =- x ( x -3)+ n ,
∴6=-1×(1-3)+ n ,解得 n =4,∴抛物线的函数解析式为
y =- x2+3 x +4,
令 y =0,则0=- x2+3 x +4,
解得 x1=-1, x2=4,
∴点 A 的坐标为(-1,0),点 B 的坐标为(4,0).
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解:(1) ②将抛物线 y =- x2+3 x +4向上平移2个单位长度可以得到 y =- x ( x -3)+6,
∴点 A 向上平移最短距离是2个单位长度,得到点A'.
②将该抛物线进行平移,平移后的抛物线对应的函数解析式为 y =- x ( x -3)
+6, A 点的对应点为A',求点 A 移动的最短距离.
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(2)点 M 关于抛物线 L : y =- x ( x -3)+ n 的对称轴的对称点坐标
为 (用含 n 的代数式表示).
(3, n )
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(3)将抛物线 L : y =- x ( x -3)+ n 上0≤ x ≤3的一段图象记作 C ,若 C 与
直线 y = x +2有唯一公共点,直接写出 n 的取值范围.
解:(3)①当 x +2=- x ( x -3)+ n 有唯一实数根时,Δ=4
n -4=0,解得 n =1,
此时图象 C 与抛物线有唯一公共点.
②当抛物线经过(0,2)时, n =2,此时图象 C 与抛物线有两
个公共点,
当抛物线经过(3,5)时, n =5,此时图象 C 与抛物线有一个
公共点,∴2< n ≤5时,图象 C 与抛物线有唯一公共点.
综上所述,2< n ≤5或 n =1时,图象 C 与抛物线有唯一公共点.
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2. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = mx2-2 mx + m -3( m >0)与 x 轴的交
点为 A , B .
(1)求抛物线的顶点坐标.
解:(1)∵ y = mx2-2 mx + m -3= m ( x -1)2-3,
∴抛物线的顶点坐标为(1,-3).
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(2)若线段 AB 上有且只有5个点的横坐标为整数,求 m 的取值范围.
解:(2)∵抛物线 y = mx2-2 mx + m -3( m >0)的对称轴
为直线 x =1,
线段 AB 上有且只有5个点的横坐标为整数,这些整数为-1,
0,1,2,3,
∴当 x =3时, y ≤0,即9 m -6 m + m -3≤0,解得 m ≤ .
当 x =4时, y >0,即16 m -8 m + m -3>0,解得 m > ,
∴ m 的取值范围为 < m ≤ .
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(3)若抛物线在-1< x <0位于 x 轴下方,在3< x <4位于 x 轴上方,求 m 的值.
解:(3)∵抛物线 y = mx2-2 mx + m -3( m >0)的对称轴
为直线 x =1,而在3< x <4位于 x 轴上方,
∴抛物线在-2< x <-1这一段位于 x 轴的上方.
∵在-1< x <0位于 x 轴下方,∴抛物线过点(-1,0),
把(-1,0)代入 y = mx2-2 mx + m -3,得
m +2 m + m -3=0,解得 m = .
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动态抛物线中的整点问题
3. 创新意识 如图所示,若抛物线 y = x2与直线 y = x +3围成的封闭图形内部
有 k 个整点(不包括边界),则一次函数 y = kx + k 的图象为( D )
D
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4. (2023·承德一模)如图所示是某位同学设计的动画,随着音乐节奏起伏变
化,屏幕上就会闪现不同的抛物线.抛物线的统一形式为 y = ax2+ bx ( a 为整
数, x ≥0, y ≥0),且顶点始终在直线 y = kx 上.
(1)若 k =1,且抛物线顶点纵坐标为3,求 a , b 的值.
解:(1)∵ k =1,则 y = x ,
∴解得
∴ a =- , b =2.
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(2)试推断: k 与 b 的数量关系.
解:(2)依题意,顶点始终在直线 y = kx 上,
∴ = k ×(- ).又 a ≠0, b ≠0,解得 b =2 k .
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(3)横、纵坐标都是整数的点称为整点,若抛物线的顶点恰好是整点时,抛物
线就会改变颜色.那么,当 k =6时,这组抛物线中有几条会改变颜色.
解:(3)∵ k =6,
∴ b =12,顶点在直线 y =6 x 上.
∵对称轴为直线 x =- =- =- 是整数,
∴当 a =±1,±2,±3,±6时, x 为整数.
∵抛物线开口向下,所以 a 为负数,
∴ a =-1,-2,-3,-6,
∴当 k =6时,这组抛物线中有4条会改变颜色.
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5. (2023·石家庄藁城区二模)已知抛物线 G : y = ax2-2 ax + a + m ( a , m 均
为常数,且 a ≠0),交 y 轴于点 C (0,-3),点 P 在抛物线 G 上,连接 CP ,
且 CP 平行于 x 轴.
(1)用 a 表示 m ,并求抛物线 G 的对称轴及 P 点的坐标.
解:(1)将(0,-3)代入 y = ax2-2 ax + a + m ,
得 m =-3- a .对称轴为 x =- =1.
∵ CP 平行于 x 轴.
∴点 P 与点 C 关于对称轴对称,
∴点 P 的坐标为(2,-3).
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(2)当抛物线 G 经过(-1,3)时,求抛物线 G 的函数解析式及其顶点坐标.
解:(2)将(-1,3)代入 y = ax2-2 ax -3,得 a +2 a -3=
3,解得 a =2,
∴抛物线 G 的函数解析式为 y =2 x2-4 x -3.
∵ y =2 x2-4 x -3=2( x -1)2-5,
∴其顶点坐标为(1,-5).
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解:(3)∵ a >0,抛物线 G 位于线段 CP 下方的部分与线段 CP
所围成的区域内(不含边界)恰有5个“整点”,且 C (0,-3),
P (2,-3),
∴区域内的整点为(1,-4),(1,-5),(1,-6),
(1,-7),(1,-8),
将(1,-8)代入 y = ax2-2 ax -3,得 a =5,
将(1,-9)代入 y = ax2-2 ax -3,得 a =6,
∴ a 的取值范围为5< a ≤6.
(3)如果把横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”.
如图所示,当 a >0时,若抛物线 G 位于线段 CP 下方的部分与线段 CP 所围成的
区域内(不含边界)恰有5个“整点”,求 a 的取值范围.
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