第21章 一元二次方程 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版 河北专用)

年级上册·RJ河北专用 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第二十一章　一元二次方程 本章综合提升 1. 整体思想 把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化，将问题移至新对象的知识 背景中去研究，能使复杂问题简单化. 通过将一元二次方程的解代入得到一个代数式的值，再将所求代数式进行化 简变形，利用整体代入法，求出代数式的值. 【例1】　已知 a 为方程2 x2－3 x －1＝0的一个根，求代数式（ a ＋1）（ a － 1）＋3 a （ a －2）的值. 解：∵ a 为方程2 x2－3 x －1＝0的一个根， ∴2 a2－3 a ＝1， 原式＝ a2－1＋3 a2－6 a ＝4 a2－6 a －1， ∴原式＝2（2 a2－3 a ）－1＝1. 【变式训练1】已知实数 x 满足（ x2－ x ）2－4（ x2－ x ）－12＝0，则代数式 x2－ x ＋1的值是（　A　） A. 7 B. －1 C. 7或－1 D. －5或3 A 【变式训练2】若 a 为方程 x2－3 x －6＝0的一个根，求代数式－3 a2＋9 a －5 的值. 解：∵ a 为方程 x2－3 x －6＝0的一个根， ∴ a2－3 a －6＝0，∴ a2－3 a ＝6，∴－3 a2＋9 a －5＝－3（ a2－3 a ）－5＝－ 3×6－5＝－23. 2. 转化思想 通过对条件的转化，结论化繁为简，使问题化难为易，化生为熟，化未知为 已知，最终求解一元二次方程，这个过程体现了转化的思想方法. 解某些高次方程或具有一定结构特点的方程时，我们可以通过换元转化的方 法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的. 【例2】　解方程：（ x2－6）2－（ x2－6）－2＝0. 解：设 x2－6＝ m ，则原方程换元为 m2－ m －2＝0. （ m －2）（ m ＋1）＝0，解得 m1＝2， m2＝－1. ∴ x2－6＝2或 x2－6＝－1. 解得 x1＝2 ， x2＝－2 ， x3＝－ ， x4＝ . 【变式训练3】解方程：（2 x ＋1）2－3（2 x ＋1）＝－2. 解：设2 x ＋1＝ y ，则原方程可变形为 y2－3 y ＝－2，解得 y1＝1， y2＝2. 当 y ＝1时，2 x ＋1＝1，∴ x ＝0； 当 y ＝2时，2 x ＋1＝2，∴ x ＝ . ∴原方程的解为 x1＝0， x2＝ . 【变式训练4】若实数 a ， b 满足 a2－8 a ＋5＝0， b2－8 b ＋5＝0，求 ＋ 的值. 解：当 a ≠ b 时，由实数 a ， b 满足 a2－8 a ＋5＝0， b2－8 b ＋5＝0，可把 a ， b 看成是方程 x2－8 x ＋5＝0的两个根，∴ a ＋ b ＝8， ab ＝5， ∴ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－20； 当 a ＝ b ≠1时，∴ ＋ ＝ ＋ ＝1＋1＝2. 3. 分类讨论思想 当所研究的情形符合题意的值不止一个可分情况进行分析，可以采用逆向思 维、逻辑推理、抽象分析等不同的策略进行分类讨论，以便更好地解决问题. 根据题目中的隐含条件或实际意义确定未知数的值，题目中情形不唯一时， 需进行分类讨论. 【例3】　已知关于 x 的方程 x2－（2 k ＋1） x ＋4（ k － ）＝0. （1）求证：无论 k 取何值，这个方程总有实数根. 解：（1）证明：Δ＝（2 k ＋1）2－4×4（ k － ） ＝4 k2＋4 k ＋1－16 k ＋8， ＝4 k2－12 k ＋9 ＝（2 k －3）2. ∵（2 k －3）2≥0，即Δ≥0， ∴无论 k 取何值，这个方程总有实数根. （2）若等腰三角形 ABC 的一边长 a ＝4，另两边 b ， c 恰好是这个方程的两 个根，求△ ABC 的周长. 解：（2）当 b ＝ c 时，Δ＝（2 k －3）2＝0，解得 k ＝ ，方程化为 x2－4 x ＋4＝ 0，解得 b ＝ c ＝2，而2＋2＝4，故舍去； 当 a ＝ b ＝4或 a ＝ c ＝4时，把 x ＝4代入方程，得16－4（2 k ＋1）＋4（ k － ） ＝0，解得 k ＝ ，方程化为 x2－6 x ＋8＝0，解得 x1＝4， x2＝2，即 a ＝ b ＝4， c ＝2或 a ＝ c ＝4， b ＝2， 所以△ ABC 的周长＝4＋4＋2＝10. 【变式训练5】若方程4 x2－（ m －2） x ＋1＝0的左边是一个完全平方式，求 m 的值. 解：∵4 x2－（ m －2） x ＋1＝（2 x ）2－（ m －2） x ＋12，∴－（ m －2） x ＝±2×2 x ×1， ∴ m －2＝4，或 m －2＝－4， 解得 m ＝6或 m ＝－2. 【变式训练6】已知 x1， x2是关于 x 的方程 x2＋（2 a －1） x ＋ a2＝0的两个实 数根. （1）当 a 取何值时，方程两根互为倒数. 解：（1）方程两根互为倒数，根据根与系数的关系 x1· x2＝1且Δ≥0，即 a2 ＝1且（2 a －1）2－4 a2≥0， a ＝±1且 a ≤ ， ∴当 a 为－1时，方程两根互为倒数. （2）如果方程的两个实数根 x1， x2满足｜ x1｜＝ x2，求 a 的值. 解：（2）∵｜ x1｜＝ x2，∴ x1＝ x2或 x1＝－ x2. 当 x1＝ x2时，Δ＝0， 即（2 a －1）2－4 a2＝0，－4 a ＋1＝0， a ＝ ； 当 x1＝－ x2时，2 a －1＝0， a ＝ . ∵ a ≤ ，∴ a 的值是 . 1. （2023·石家庄新华区模拟）方程 x2－5 x ＝0的解是（　D　） A. x1＝ x2＝0 B. x1＝ x2＝5 C. x1＝0， x2＝－5 D. x1＝0， x2＝5 2. （2023·唐山古冶区期中）一元二次方程（ x ＋3）（ x －1）＝2 x －4化为一般 形式是（　D　） A. x2－1＝0 B. x2－7＝0 C. x2＋4 x ＋1＝0 D. x2＋1＝0 D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. （2023·廊坊香河三模）若关于 x 的一元二次方程 x2－6 x － m ＝0有两个相等的 实数根，则这两个根的和是（　A　） A. 6 B. 3 C. －6 D. －9 4. （2023·廊坊广阳区模拟）关于 x 的一元二次方程 x2＋ mx －2＝0有一个解为 x ＝ 1，则该方程的另一个解为（　D　） A. 0 B. －1 C. 2 D. －2 A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. （2023·保定高碑店模拟）已知关于 x 的一元二次方程2 x2－（ m ＋ n ） x ＋ mn ＝0，其中 m ， n 在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　A　） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. （2023·石家庄桥西区模拟）已知直线 y ＝ mx ＋ n 如图所示，则关于 x 的方程 x2 ＋ mx ＝ n 的根是（　D　） A. 1，5 B. 2，3 C. 1，－5 D. 1，－6 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. （2023·唐山丰润区二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问 题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.” 其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文， 那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多 少株椽？设这批椽的数量为 x 株，则下列结论正确的是（　D　） A. （3 x －1） x ＝6 210 B. 3 x ＝6 210 C. x ＝45 D. x ＝46 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. （2023·邯郸武安模拟）如果关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有两个实数 根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下 说法不正确的是（　B　） A. 方程 x2－3 x ＋2＝0是2倍根方程 B. 若关于 x 的方程（ x －2）（ mx ＋ n ）＝0是2倍根方程，则 m ＋ n ＝0 C. 若 m ＋ n ＝0且 m ≠0，则关于 x 的方程（ x －2）（ mx ＋ n ）＝0是2倍根方程 D. 若2 m ＋ n ＝0且 m ≠0，则关于 x 的方程 x2＋（ m － n ） x － mn ＝0是2倍根方 程 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. （2023·保定顺平期中）若关于 x 的方程（ a －2） x2＋2 x －1＝0是一元二次方 程，则 a 满足的条件是 ⁠. 10. （2023·廊坊安次区一模）若 a ， b 是方程 x2－2 023 x ＋2＝0的两个实数根， 则 ab （ a ＋ b ）的值为 ⁠. 11. 应用意识　非零实数 m ， n （ m ≠ n ）满足 m2－ m －2＝0， n2－ n －2＝0，则 ＋ 的值为 　－ 　. a ≠2　 4 046　 － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 小丽： 两边同除以（ x －3），得 3＝ x －3， 解得 x ＝6. 小霞： 移项，得3（ x －3）－（ x －3）2＝0， 提取公因式，得（ x －3）（3－ x －3）＝0. ∴， x －3＝0或3－ x －3＝0， 解得 x1＝3， x2＝0. 12. （2023·河北模拟）小丽与小霞两位同学解方程3（ x －3）＝（ x －3）2的过程 如下框： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （1）你认为她们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打 “×”，并写出你的解答过程. 解：（1）她们的解法都不正确，打“×”略.正确的解答过程如下： 3（ x －3）＝（ x －3）2， 移项，得3（ x －3）－（ x －3）2＝0， 提取公因式，得（ x －3）（3－ x ＋3）＝0， ∴ x －3＝0或6－ x ＝0， 解得 x1＝3， x2＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）请结合上述题目总结：形如 ax2＝ bx （ a ≠0）的一元二次方程的一般解法. 解：（2） ax2＝ bx （ a ≠0）的一般解法： 移项，得 ax2－ bx ＝0， 提取公因式，得 x （ ax － b ）＝0， ∴ x ＝0或 ax － b ＝0， 解得 x1＝0， x2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. （2023·衡水模拟）某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30 元销售，平均每月能卖出200本.经市场调研发现：在不亏本的情况下，为减少库 存，若每本售价降低1元，则平均每月可多卖出20本.设每本科普读物的售价降低 x 元. （1）小宇说：“既然是薄利多销，那么平均每月的销售量一定能达到500本，列 出方程：200＋20 x ＝500.”请判断小宇的说法是否正确，并说明理由. 解：（1）小宇的说法不正确. 理由如下：解方程200＋20 x ＝500，得 x ＝15， ∴30－15＝15元， ∴15元＜16元，∴亏本， ∴小宇的说法不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）若该书店销售此科普读物想平均每月的销售利润为2 860元，求 x 的值. 解：（2）由题意，得（30－16－ x ）（200＋20 x ）＝2 860， 解得 x1＝1， x2＝3. 由于增加销售量可以减少库存，故 x ＝1不合题意舍去， ∴每本科普读物的售价降低3元.即 x 的值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. （河北中考改编）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上 a2，同时B区就会自动减去3 a ，且均显示化简后的结果.已知A，B两区初始显示 的分别是25和－16，如图所示.例如：第一次按键后，A，B两区分别显 示 . （1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果. 解：（1）A区显示的结果为25＋2 a2，B区显示的结果为－16－ 6 a . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为－1 吗？请说明理由. 解：（2）这个和不能为－1. 理由：根据题意，得25＋4 a2＋（－16－12 a ）＝－1. 4 a2－12 a ＋10＝0，2 a2－6 a ＋5＝0. ∵Δ＝（－6）2－4×2×5＝－4＜0， ∴这个和不能为－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$