第22章 专题四 二次函数的综合应用(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)

年级上册·RJ 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第二十二章　二次函数 专题四　二次函数的综合应用 线段和的最小值问题 1. 几何直观　如图所示，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 的顶点为 Q ，与 x 轴交于 A （－1，0）， B （5，0）两点，与 y 轴交于 C 点. （1）直接写出抛物线的函数解析式及其顶点 Q 的坐标. 解：（1）∵抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 经过 A （－1，0）， B （5，0）两点，∴解得 ∴抛物线的函数解析式为 y ＝－ x2＋4 x ＋5. ∵ y ＝－ x2＋4 x ＋5＝－（ x －2）2＋9， ∴ Q （2，9）. 1 2 3 4 5 6 （2）在该抛物线的对称轴上求一点 P ，使得△ PAC 的周长最小.请在图中画出点 P 的位置，并求点 P 的坐标. 解：（2）如图所示，连接 BC ，交对称轴于点 P ，连接 AP ， AC . ∵ AC 长为定值，∴要使△ PAC 的周长最小，只需 PA ＋ PC 最小. ∵点 A 关于对称轴 x ＝2的对称点是点 B （5，0）， 抛物线 y ＝－ x2＋4 x ＋5与 y 轴交点 C 的坐标为（0，5）， ∴由几何知识可知， PA ＋ PC ＝ PB ＋ PC 为最小. 设直线 BC 的函数解析式为 y ＝ kx ＋ t （ k ≠0）， 将（5，0），（0，5）代入，得解得 ∴ y ＝－ x ＋5.当 x ＝2时， y ＝－2＋5＝3， ∴点 P 的坐标为（2，3）. 1 2 3 4 5 6 图形面积的最大值问题 2. 如图所示，抛物线 y ＝ x2＋ x －2交 x 轴于 A ， B 两点，交 y 轴于点 C ，其对 称轴交 AC 于点 D . （1）求出 A ， B ， C ， D 四点的坐标. 1 2 3 4 5 6 解：（1）令 y ＝0，则 x2＋ x －2＝0，解得 x ＝－4或1， ∴点 A 的坐标为（－4，0），点 B 的坐标为（1，0）. 令 x ＝0，得 y ＝－2， ∴点 C 的坐标为（0，－2）. 设直线 AC 的函数解析式为 y ＝ kx ＋ b ， 则解得 ∴直线 AC 的函数解析式为 y ＝－ x －2. ∵抛物线对称轴为直线 x ＝－ ， ∴点 D 的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 （2）在直线 AC 下方的抛物线上是否存在一点 T ，使得△ ADT 的面积最大？若存 在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（2）存在. 如图所示，设 T （ m ， m2＋ m －2），连接 AT ， TD ，作 TG ∥ OC 交 AC 于点 G ，则 G . ∴ S△ ADT ＝ S△ TGA ＋ S△ TGD ＝ ×（－ m －2－ m2－ m ＋2）× ＝－ （ m ＋2）2＋ . ∵－ ＜0，∴当 m ＝－2时，△ ADT 的面积最大， 此时点 T 的坐标为（－2，－3）. 1 2 3 4 5 6 探究平分三角形面积的条件问题 3. 如图所示，已知抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 经过点 A （1，0）和 B （0，5）. （1）求这个抛物线的函数解析式. 解：（1）把（1，0），（0，5）代入 y ＝－ x2＋ bx ＋ c ，得 解得 故抛物线的函数解析式为 y ＝－ x2－4 x ＋5. 1 2 3 4 5 6 （2）设（1）中抛物线与 x 轴的另一交点为 C ，抛物线的顶点为 D ，试求出点 C ， D 的坐标和△ BCD 的面积. 解：（2）令 y ＝0，则0＝－ x2－4 x ＋5， 解得 x1＝1， x2＝－5，∴ C （－5，0）， 由 y ＝－ x2－4 x ＋5＝－（ x ＋2）2＋9，得顶点 D 的坐标为（－ 2，9）. 过顶点 D 作 DE ⊥ x 轴交线段 BC 于点 E ，如图①所示，由点 B ， C 得直线 BC 的函数解析式为 y ＝ x ＋5，∴当 x ＝－2时， y ＝3， ∴点 E 的坐标为（－2，3），∴ DE ＝6， ∴ S△ BCD ＝ S△ BDE ＋ S△ CDE ＝ ×5×6＝15. 1 2 3 4 5 6 （3）点 P 是线段 OC 上一点，过点 P 作 PH ⊥ x 轴，与抛物线交于 H 点.是否存在 点 P ，使得线段 BC 把△ PCH 分成面积相等的两部分？若存在，请求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由. 解：（3）存在. 如图②所示，若 BC 把△ PCH 分成面积相等的两部分，则需 PH 与线段 BC 的交点是线段 PH 的中点. 设 PH 与线段 BC 的交点为 Q ，设点 P （ x ，0），则 Q （ x ， x ＋5）， H （ x ，－ x2－4 x ＋5），由 HQ ＝ QP ，得－ x2－4 x ＋5－（ x ＋5）＝ x ＋5，解得 x1＝－1， x2＝－5（舍去）， ∴存在这样的点 P ，其坐标为（－1，0）. 1 2 3 4 5 6 探究三角形全等的条件问题 4. 如图所示，抛物线 y ＝－ x2＋ m －3与 x 轴交于 A ， B 两点，且 OA ＝ OC . （1）求 m 的值与抛物线的函数解析式. 解：（1）∵当 x ＝0时， y ＝－ x2＋ m －3＝ m －3，∴ C （0， m －3）. ∵ OA ＝ OC ＝ m －3，∴ A （ m －3，0）， 把（ m －3，0）代入 y ＝－ x2＋ m －3， 得－ （ m －3）2＋ m －3＝0， 解得 m1＝5， m2＝3（舍去），∴ m 的值为5， ∴抛物线的函数解析式为 y ＝－ x2＋2. 1 2 3 4 5 6 （2）在抛物线上是否存在另一点 M ，使△ MAC ≌△ OAC ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由. 解：（2）在抛物线上不存在另一点 M ，使△ MAC ≌△ OAC . 理由如下： ∵△ OAC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形， ∴当△ MAC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形时，△ MAC ≌△ OAC ， 则点 M 为 AC 的垂直平分线与抛物线的交点，于是此时△ MAC 不能为直角三角形，∴在抛物线上不存在另一点 M ， 使△ MAC ≌△ OAC . 1 2 3 4 5 6 探究特殊三角形是否成立问题 5. 探究拓展　如图所示，已知抛物线 y ＝－ x2－ x ＋2与 x 轴交于 A ， B 两点， 交 y 轴于点 C ，连接 AC ， BC . （1）判断△ ABC 的形状，并说明理由. 解：（1）△ ABC 是直角三角形.理由如下： 当 y ＝0时，－ x2－ x ＋2＝0， 解得 x1＝－4， x2＝1， 即 B （－4，0）， A （1，0）. 当 x ＝0时， y ＝2，即 C （0，2）. AB ＝1－（－4）＝5， AB2＝25， AC2＝（1－0）2＋（0－2）2＝5， BC2＝（－4－0）2＋（0－2）2＝20. ∵ AC2＋ BC2＝ AB2，∴△ ABC 是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 解：（2）存在. 抛物线 y ＝－ x2－ x ＋2的对称轴是直线 x ＝－ ，设 P ，由勾股定理，得 PA2＝ ＋ n2＝ ＋ n2， PC2＝ ＋（2－ n ）2， AC2＝5. 分类讨论： ①当 AP ＝ AC 时， AP2＝ AC2， ＋ n2＝5，方程无解，不存在； ②当 PA ＝ PC 时， PA2＝ PC2， （2）在抛物线对称轴上是否存在一点 P ，使得以 A ， C ， P 为顶点的三角形是等 腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由. 1 2 3 4 5 6 ＋ n2＝ ＋（2－ n ）2，解得 n ＝0，即 P1 ； ③当 CA ＝ CP 时， CA2＝ CP2，5＝ ＋（2－ n ）2， 解得 n1＝2＋ ， n2＝2－ ， 故 P2（－ ，2＋ ）， P3（－ ，2－ ）. 综上所述，使得以 A ， C ， P 为顶点的三角形是等腰三角形，点 P 的坐标为（－ ，0）或（－ ，2＋ ）或（－ ，2－ ）. 1 2 3 4 5 6 探究平行四边形是否成立问题 6. 探究拓展　如图所示，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 经过 A （－1，0）， C （0， 3）两点，并交 x 轴于另一点 B ，点 M 是抛物线的顶点，直线 AM 与 y 轴交于点 D . （1）求该抛物线的函数解析式. 解：（1）∵抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 经过 A （－1，0）， C （0，3）两点， ∴解得 ∴该抛物线的函数解析式为 y ＝－ x2＋2 x ＋3. 1 2 3 4 5 6 （2）若点 H 是 x 轴上一动点，分别连接 MH ， DH ，求 MH ＋ DH 的最小值. 解：（2）∵ y ＝－ x2＋2 x ＋3＝－（ x －1）2＋4， ∴顶点 M 的坐标为（1，4）. 设直线 AM 的函数解析式为 y ＝ kx ＋ d ， 则解得 ∴直线 AM 的函数解析式为 y ＝2 x ＋2. 当 x ＝0时， y ＝2，∴ D （0，2）. 作点 D 关于 x 轴的对称点D'（0，－2），连接D'M，D'H，如图 所示，则 DH ＝D'H， ∴ MH ＋ DH ＝ MH ＋ D ' H ≥ D ' M ，即 MH ＋ DH 的最小值为 D ' M . ∵ D ' M ＝ ＝ ， ∴ MH ＋ DH 的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 （3）若点 P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点 Q ，使得以 D ， M ， P ， Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（3）对称轴上存在点 Q ，使得以 D ， M ， P ， Q 为顶点的 四边形是平行四边形. 由（2）得 D （0，2）， M （1，4）. ∵点 P 是抛物线上一动点， ∴设 P （ m ，－ m2＋2 m ＋3）. ∵抛物线 y ＝－ x2＋2 x ＋3的对称轴为直线 x ＝1， ∴设 Q （1， n ）. ①当 DM ， PQ 为对角线时， DM ， PQ 的中点重合， ∴解得∴ Q （1，3）； 1 2 3 4 5 6 ②当 DP ， MQ 为对角线时， DP ， MQ 的中点重合， ∴解得 ∴ Q （1，1）； ③当 DQ ， PM 为对角线时， DQ ， PM 的中点重合， ∴解得 ∴ Q （1，5）. 综上所述，对称轴上存在点 Q ，使得以 D ， M ， P ， Q 为顶点的四边形是平行 四边形，点 Q 的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）. 1 2 3 4 5 6 $$