第21章 一元二次方程 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)

年级上册·RJ 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第二十一章　一元二次方程 本章综合提升 1. 转化思想 在数学研究中，常常将复杂问题转化为简单问题，将生疏问题转化为熟悉问 题，把未知问题转化为已知问题，这种思想在数学中称为转化思想. 在本章中，各种解一元二次方程的方法都是通过“降次”，转化为一元一次 方程求解；高于二次的方程，也可以通过转化思想进行降次求解. 　　【例1】　阅读理解　解方程（ x2－1）2－5（ x2－1）＋4＝0时，我们可以将 x2－1视为一个整体，设 x2－1＝ y ，则 y2＝（ x2－1）2，原方程化为 y2－5 y ＋4＝ 0，解此方程，得 y1＝1， y2＝4. 当 y ＝1时， x2－1＝1， x2＝2，∴ x ＝± ； 当 y ＝4时， x2－1＝4， x2＝5，∴ x ＝± . ∴原方程的解为 x1＝－ ， x2＝ ， x3＝－ ， x4＝ . 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想. 运用上述方法解答下列方程： （1） x4－3 x2－4＝0. 解：（1） x4－3 x2－4＝0， （ x2）2－3 x2－4＝0， （ x2－4）（ x2＋1）＝0， x2－4＝0， x2＋1＝0， 解得 x2＝4， x2＝－1（不合题意，舍去）， 则 x1＝2， x2＝－2. （2）（ x2＋2 x ）2－（ x2＋2 x ）－6＝0. 解：（2）设 y ＝ x2＋2 x ，则 y2－ y －6＝0， ∴（ y －3）（ y ＋2）＝0， y1＝3， y2＝－2. 当 y ＝3时， x2＋2 x －3＝0， x1＝－3， x2＝1； 当 y ＝－2时， x2＋2 x ＋2＝0，无解. 故方程的解为 x1＝－3， x2＝1. 　　【变式训练1】 （2023·重庆垫江期末）阅读理解：已知 m2－2 mn ＋2 n2－8 n ＋16＝0，求 m ， n 的值. 解：∵ m2－2 mn ＋2 n2－8 n ＋16＝0， ∴（ m2－2 mn ＋ n2）＋（ n2－8 n ＋16）＝0. ∴（ m － n ）2＋（ n －4）2＝0. ∴（ m － n ）2＝0，（ n －4）2＝0. ∴ n ＝4， m ＝4. （1）∵ a2＋ b2－10 a ＋4 b ＋29＝0， ∴（ a2－10 a ＋25）＋（ b2＋4 b ＋4）＝0， ∴（ a －5）2＋（ b ＋2）2＝0， ∴（ a －5）2＝0，（ b ＋2）2＝0， ∴ a ＝5， b ＝－2. 方法应用：（1）已知 a2＋ b2－10 a ＋4 b ＋29＝0，求 a ， b 的值. 解：方法应用： ①用含 y 的式子表示 x ： ⁠. ②若 xy － z2－6 z ＝10，求 yx＋ z 的值. （2）②∵ xy － z2－6 z ＝10， ∴ y （4－4 y ）－ z2－6 z ＝10， ∴4 y －4 y2－ z2－6 z ＝10， ∴4 y2－4 y ＋ z2＋6 z ＋10＝0， ∴（2 y －1）2＋（ z ＋3）2＝0， ∴ y ＝ ， z ＝－3，∴ x ＝2，∴ yx＋ z ＝ ＝2. ①4－4 y 　 （2）已知 x ＋4 y ＝4. 2. 整体思想 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改 造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成 一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理. （1）对于一些与一元二次方程有关的求代数式的值的题目，运用整体代入 法，仔细观察所求的代数式与已知条件的关系，通过变形，整体代入计算，可起 到了化繁为简的目的. （2）根与系数关系的有关问题大多采用整体代入法. 　　【例2】　模型观念　已知 a 是一元二次方程 x2－2 023 x ＋1＝0的一个根，试 求 a2－2 022 a － 的值. 解：由题意，把 x ＝ a 代入方程 x2－2 023 x ＋1＝0中，得 a2－2 023 a ＋1＝0， ∴ a2＋1＝2 023 a ， a2－2 023 a ＝－1， ∴ a2－2 022 a － ＝ a2－2 022 a － ＝ a2－2 022 a － a ＝ a2－2 023 a ＝－1， ∴ a2－2 022 a － 的值为－1. 　　【变式训练2】 （2023·山东威海文登区期末）关于 x 的一元二次方程 x2－3 x － mx ＋ m －1＝0. （1）试判断该方程根的情况并说明理由. 解：（1）该方程有两个不等的实数根. 理由： x2－3 x － mx ＋ m －1＝0， x2＋（－3－ m ） x ＋ m －1＝0， Δ＝（－3－ m ）2－4×1×（ m －1）＝ m2＋2 m ＋13＝（ m ＋1）2＋12. ∵不论 m 为何值，（ m ＋1）2≥0，∴Δ＞0， 即该方程有两个不等的实数根. （2）若 x1， x2是该方程的两个实数根，且3 x1－ x1 x2＋3 x2＝12，求该 方程的解. 解：（2）∵ x1， x2是方程 x2－3 x － mx ＋ m －1＝0的两个实数根，∴ x1＋ x2＝3 ＋ m ， x1 x2＝ m －1. ∵3 x1－ x1 x2＋3 x2＝12，∴3（ x1＋ x2）－ x1 x2＝12， ∴3（3＋ m ）－（ m －1）＝12，解得 m ＝1. 方程为 x2－4 x ＝0，解得 x1＝0， x2＝4. 3. 分类讨论思想 分类讨论就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解 决，且做到“不重复、不遗漏”. （1）在已知方程解的情况下求字母系数的值或取值范围，往往需要分 类讨论. （2）一元二次方程的根作为三角形的边长时，往往需要分类讨论求解. 　　【例3】　推理能力　已知关于 x 的方程 mx2－（ m ＋2） x ＋2＝0. （1）求证：不论 m 为何值，方程总有实数根. 解：（1）证明：当 m ＝0时，方程变形为－2 x ＋2＝0，解得 x ＝1，方程 有实数根； 当 m ≠0时，Δ＝（ m ＋2）2－4 m ·2＝（ m －2）2≥0，方程有两个实数解. 所以不论 m 为何值，方程总有实数根. （2）若方程的一个根是2，求 m 的值及方程的另一个根. 解：（2）设方程的另一个根为 t ， 根据题意，得2＋ t ＝ ，2 t ＝ ， 则2＋ t ＝1＋2 t ，解得 t ＝1，所以 m ＝1， 即 m 的值为1，方程的另一个根为1. 　　【变式训练3】 已知△ ABC 的两边 AB ， AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2－（2 k ＋3） x ＋ k2＋3 k ＋2＝0的两个实数根，第三边 BC 的长为4，若△ ABC 是等腰三角形， 求△ ABC 的周长. 解：∵ x2－（2 k ＋3） x ＋ k2＋3 k ＋2＝0， ∴ x1＝ k ＋1， x2＝ k ＋2. ∵△ ABC 是等腰三角形， ① k ＋1＝ k ＋2，不成立； ② k ＋1＝4，∴ k ＝3，∴ k ＋2＝5，周长为4＋4＋5＝13； ③ k ＋2＝4，∴ k ＝2，∴ k ＋1＝3，周长为3＋4＋4＝11. ∴△ ABC 的周长为11或13. 1. （2023·河南南阳桐柏模拟）关于 x 的方程（ m ＋1） x｜ m｜＋1－ mx ＋6＝0是一 元二次方程，则 m 的值是（　C　） A. －1 B. 3 C. 1 D. 1或－1 2. （2023·天津南开区模拟）关于 x 的方程 x2＋ bx ＋ c ＝0的两根为1和－2，则 b ， c 的值分别为（　A　） A. b ＝1， c ＝－2 B. b ＝－1， c ＝－2 C. b ＝3， c ＝2 D. b ＝－3， c ＝2 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3. （2022·安徽合肥瑶海区三模）若关于 x 的一元二次方程 nx2－2 x －1＝0无实数 根，则一次函数 y ＝（ n ＋1） x － n 的图象不经过（　C　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4. 学科融合　根据物理学规律，如果把一个小球从地面以10 m/s的速度竖直上 抛，那么小球经过 x s离地面的高度（单位：m）为10 x －4.9 x2.根据该规律，下列 对方程10 x －4.9 x2＝5的两根 x1≈0.88与 x2≈1.16的解释正确的是（　D　） A. 小球经过约1.02 s离地面的高度为5 m B. 小球离地面的高度为5 m时，经过约0.88 s C. 小球经过约1.16 s离地面的高度为5 m，并将继续上升 D. 小球两次到达离地面的高度为5 m的位置，其时间间隔约为0.28 s D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5. （2022·江苏宿迁月考）已知 a 是一元二次方程2 x2－3 x －5＝0的根，则代数式 2 a － 的值为 ⁠. 6. （2023·山东德州陵城区模拟）若关于 x 的一元二次方程 mx2＋2 mx ＋4＝0有两 个相等的实数根，则 m 的值为 ⁠. 7. 几何直观　由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6 m2的长方形 ABCD （如 图所示），则长方形 ABCD 的周长为 ⁠. 3　 4　 5.2 m　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8. 运算能力　解下列方程. （1） x2＋6 x ＋2＝0； 解： x2＋6 x ＋2＝0， x2＋6 x ＝－2， 则 x2＋6 x ＋9＝－2＋9，即（ x ＋3）2＝7， x ＋3＝± ， x1＝－3＋ ， x2＝－3－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）（ x －5）（3 x －2）＝10； 解：整理为一般式，得3 x2－17 x ＝0， x （3 x －17）＝0， 则 x ＝0，或3 x －17＝0， 解得 x1＝0， x2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （3）3 x2－10 x ＋6＝0. 解：3 x2－10 x ＋6＝0. a ＝3， b ＝－10， c ＝6. Δ＝（－10）2－4×3×6＝28＞0. x ＝ ＝ ＝ ， ∴ x1＝ ， x2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9. （2023·湖北襄阳老河口模拟）已知：关于 x 的一元二次方程 x2－14 x ＋4 m ＝0 有实数根. （1）求 m 的取值范围. 解：（1）由题意，知Δ＝（－14）2－4×4 m ≥0， 解得 m ≤12.25. 故 m 的取值范围是 m ≤12.25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）Rt△ ABC 的斜边长 p ＝ m －2，两条直角边长 r ， s 恰好是方程 x2－14 x ＋4 m ＝0的两个根，求 m 的值. 解：（2）由题意，知 r ＋ s ＝14， rs ＝4 m ， 由勾股定理，知 r2＋ s2＝（ m －2）2， ∴（ r ＋ s ）2－2 rs ＝（ m －2）2， ∴196－2×4 m ＝（ m －2）2，即 m2＋4 m －192＝0， 解得 m1＝－16（舍去）， m2＝12. 故 m 的值为12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10. （2021·黑龙江中考）关于 x 的一元二次方程（ m －3） x2＋ m2 x ＝9 x ＋5化为 一般形式后不含一次项，则 m 的值为（　D　） A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 11. （2022·山东聊城中考）用配方法解一元二次方程3 x2＋6 x －1＝0时，将它化 为（ x ＋ a ）2＝ b 的形式，则 a ＋ b 的值为（　B　） A. B. C. 2 D. D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12. （2023·山东菏泽中考）一元二次方程 x2＋3 x －1＝0的两根为 x1， x2，则 ＋ 的值为（　C　） A. B. －3 C. 3 D. － C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13. （2023·上海中考）已知关于 x 的一元二次方程 ax2＋6 x ＋1＝0没有实数根， 那么 a 的取值范围是 ⁠. 14. （2023·湖南娄底中考）若 m 是方程 x2－2 x －1＝0的根，则 m2＋ ＝ ⁠. 15. （2022·上海中考）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已 知6，7月的增长率相同，则增长率为 ⁠. a ＞9　 6　 20％　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解方程：2 x2＋ x －2＝0. 解：2 x2＋ x －2＝0. ∵ a ＝2， b ＝1， c ＝－2， ∴ b2－4 ac ＝12－4×2×（－2）＝17， ∴ x ＝ ＝ ， ∴ x1＝ ， x2＝ . 16. （2023·江苏无锡中考） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. （2023·湖北潜江中考）已知关于 x 的一元二次方程 x2－（2 m ＋1） x ＋ m2＋ m ＝0. （1）求证：无论 m 取何值时，方程都有两个不等的实数根. 解：（1）证明：∵Δ＝[－（2 m ＋1）]2－4（ m2＋ m ） ＝4 m2＋4 m ＋1－4 m2－4 m ＝1＞0. ∴无论 m 取何值时，方程都有两个不等的实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解：（2）∵该方程的两个实数根为 a ， b ， ∴ a ＋ b ＝－ ＝2 m ＋1，ab ＝ ＝ m2＋ m . ∵（2 a ＋ b ）（ a ＋2 b ）＝2 a2＋4 ab ＋ ab ＋2 b2 ＝2（ a2＋2 ab ＋ b2）＋ ab ＝2（ a ＋ b ）2＋ ab ， ∴2（ a ＋ b ）2＋ ab ＝20，∴2（2 m ＋1）2＋ m2＋ m ＝20，整理，得 m2＋ m －2 ＝0，解得 m1＝－2， m2＝1，∴ m 的值为－2或1. （2）设该方程的两个实数根为 a ， b ，若（2 a ＋ b ）（ a ＋2 b ）＝20， 求 m 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18. 应用意识　（2023·山东东营中考）如图所示，老李想用长为70 m的栅栏，再 借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 ABCD ，并在边 BC 上留一个2 m宽的门（建在 EF 处，另用其他材料）. （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？ 解：（1）设矩形 ABCD 的边 AB ＝ x m，则边 BC ＝70－2 x ＋2 ＝（72－2 x ）m. 根据题意，得 x （72－2 x ）＝640， 化简，得 x2－36 x ＋320＝0，解得 x1＝16， x2＝20. 当 x ＝16时，72－2 x ＝72－32＝40； 当 x ＝20时，72－2 x ＝72－40＝32. 答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时， 能围成一个面积为640 m2的羊圈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请 说明理由. 解：（2）不能. 理由如下：由题意，得 x （72－2 x ）＝650， 化简，得 x2－36 x ＋325＝0， Δ＝（－36）2－4×325＝－4＜0， ∴一元二次方程没有实数根. ∴羊圈的面积不能达到650 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$