2.5 第1课时 利用仰角、俯角解决问题(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(鲁教版五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第二章　直角三角形的边角关系 5　三角函数的应用 第1课时　利用仰角、俯角解决问题 　利用仰角、俯角解决问题 1. （2023·烟台期末）如图所示，电线杆 AB 的中点 C 处有一标志物，在地面 D 点 处测得标志物的仰角为32°.若点 D 到电线杆底部点 B 的距离为 a 米，则电线杆 AB 的长可表示为（　C　） A. 米 B. 米 C. 2 a ·tan 32°米 D. 2 a · cos 32°米 第1题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. （2023·泰安模拟）如图所示，从一热气球的探测器 A 点，看一栋高楼顶部的仰 角为55°，看这栋高楼底部的俯角为35°.若热气球与高楼的水平距离为35 m，则这 栋高楼高约是（　A　）（参考数据： sin 55°≈ ， cos 55°≈ ，tan 55°≈ ） A. 74米 B. 80米 C. 84米 D. 98米 第2题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 应用意识　安装了软件“Smart Measure”的智能手机可以测量物高.其数学原 理：该软件通过测量手机离地面的高度、物体底端的俯角和顶端的仰角即可知道 物体高度.如图②所示小明测得大树底端 C 点的俯角α，顶端 D 点的仰角β，点 A 离 地面的高度 AB ＝ a m，则大树 CD 的高为（　D　） A. a （tan α＋tan β）米 B. a （ sin α＋ sin β）米 C. a 米 D. a 米 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. （2023·泰安岱岳区二模）如图所示，山顶上有一个信号塔 AC ，已知山高 CD ＝75米，在山脚下点 B 处测得塔底 C 的仰角∠ CBD ＝36.9°，塔顶 A 的仰角∠ ABD ＝42.0°，则信号塔 AC ＝ .（点 A ， C ， D 在同一条竖直线上，参考 数据：tan 36.9°≈0.75， sin 36.9°≈0.60，tan 42.0°≈0.90） 15米　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. （2023·济宁中考变式）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图所示， 他们在建筑物前的平地上选择一点 A ，在点 A 和建筑物之间选择一点 B ，测得 AB ＝30 m，用高1 m（ AC ＝1 m）的测角仪在 A 处测得建筑物顶部 E 的仰角为30°， 在 B 处测得仰角为60°，求该建筑物的高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：如图所示，延长 CD 交 EF 于点 G . 由题意得 DB ＝ AC ＝ FG ＝1 m， CG ⊥ EF ， DC ＝ AB ＝30 m，∠ EDG ＝ 60°，∠ ECG ＝30°. ∵∠ EDG 是△ EDC 的一个外角， ∴∠ DEC ＝∠ EDG －∠ ECG ＝30°， ∴∠ DEC ＝∠ ECD ＝30°， ∴ ED ＝ CD ＝30 m. 在Rt△ EGD 中， EG ＝ ED · sin 60°＝30× ＝15 （m） ， ∴ EF ＝ EG ＋ FG ＝ （15 ＋1） m， ∴该建筑物的高是（15 ＋1） m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 模型观念　如图所示，某数学活动小组进行综合实践活动，测量学校旗杆 AB 的高度，从旗杆正前方2 米处的点 C 出发，沿斜坡 CD 前进4米到达点 D ，在点 D 处安置测角仪，测得旗杆顶部 A 的仰角为37°，仪器的高 DE 为1.5米.已知 A ， B ， C ， D ， E ， M 在同一平面内，∠ DCM ＝30°， AB ⊥ BC ， AB ∥ DE . 求旗杆 AB 的高度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：过点 E 作 EF ⊥ AB 于点 F ，延长 ED 交 BC 于点 G ，如图所示. 在Rt△ CDG 中， ∠ DCG ＝30°， ∴ GD ＝ CD ＝2米， CG ＝ CD · cos ∠ DCG ＝2 米， ∴ BG ＝ CB ＋ CG ＝2 ＋2 ＝4 （米）. 易得 EF ＝ BG ＝4 米.在Rt△ AFE 中， AF ＝ EF ·tan∠ AEF ＝4 × ＝3 （米），∴ AB ＝ AF ＋ BF ＝ AF ＋ ED ＋ DG ＝3 ＋1.5＋2＝ （3 ＋3.5）米. 答：旗杆 AB 的高度为（3 ＋3.5）米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 应用意识　太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排.某 校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度.如图所示，太阳 能电池板宽为 AB ，点 O 是 AB 的中点， OC 是灯杆.地面上三点 D ， E 与 C 在一条 直线上， DE ＝1.5 m， EC ＝5 m.该校学生在 D 处测得电池板边缘点 B 的仰角为 37°，在 E 处测得电池板边缘点 B 的仰角为45°.此时点 A ， B 与 E 在一条直线上.求 太阳能电池板宽 AB 的长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：过点 B 作 BH ⊥ DC 于点 H ，过点 B 作 BF ⊥ OC 于点 F ，如图所示. 依题意得 OC ⊥ DC ，∠ BDH ＝37°，∠ BEH ＝45°.又 BH ⊥ DC ， ∴△ BEH 和△ OEC 均为等腰直角三角形，∴ EH ＝ BH ， EC ＝ OC . ∵ DE ＝1.5 m， EC ＝5 m. ∴ OC ＝ EC ＝5 m. ∵ BH ⊥ DC ， BF ⊥ OC ， OC ⊥ DC ，∴四边形 BHCF 为矩形， ∴ BF ＝ CH ， BH ＝ CF ， BF ∥ CH ，∴∠ OBF ＝∠ BEH ＝45°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴△ OBF 为等腰直角三角形， ∴ BF ＝ OF ＝ CH . 设 BF ＝ x m，则 OF ＝ CH ＝ x m， ∴ EH ＝ BH ＝ EC － CH ＝（5－ x ） m， ∴ DH ＝ DE ＋ EH ＝1.5＋5－ x ＝（6.5－ x ）m. 在Rt△ BDH 中，tan∠ BDH ＝ ， 即tan 37°＝ ，∴ ≈ ，解得 x ≈0.5， 检验后知道 x ＝0.5是原方程的根. ∴ BF ＝ OF ＝0.5 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 在等腰Rt△ OBF 中，由勾股定理得 OB ＝ ＝0.5× ≈0.5×1.41＝0.705（m）. ∵点 O 为 AB 的中点， ∴ AB ＝2 OB ≈2×0.705≈1.4（m）. 答：太阳能电池板宽 AB 的长度约为1.4 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 新情境　如图①所示是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏 AB 可以绕 O 点旋转 一定角度，研究表明：如图②所示，当眼睛 E 与显示屏顶端 A 在同一水平线上， 且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心 P 的视线 EP 与水平线 EA 的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端 A 与底座 C 的连线 AC 与水平 线 CD 垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得∠ BCD ＝30°，∠ APE ＝90°，液晶显 示屏的宽 AB 为34 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：（1）由已知得 AP ＝ BP ＝ AB ＝17 cm. 在Rt△ APE 中， ∵ sin ∠ AEP ＝ ， ∴ AE ＝ ＝ ≈ ≈57（cm）. 答：眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE 约为 57 cm. （1）求眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）求显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC . （结果精确到1 cm.参考数据： sin 18°≈ 0.3， cos 18°≈0.95， ≈1.4， ≈1.7） 解：（2）如图所示，过点 B 作 BF ⊥ AC 于点 F . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∵∠ EAB ＋∠ BAF ＝90°，∠ EAB ＋∠ AEP ＝90°， ∴∠ BAF ＝∠ AEP ＝18°. 在Rt△ ABF 中， AF ＝ AB · cos ∠ BAF ＝34× cos 18°≈34×0.95＝32.3（cm）， BF ＝ AB · sin ∠ BAF ＝34× sin 18°≈34×0.3＝10.2（cm）. ∵ BF ∥ CD ，∴∠ CBF ＝∠ BCD ＝30°，∴ CF ＝ BF ·tan∠ CBF ＝10.2×tan 30°＝10.2× ≈5.78（cm）， ∴ AC ＝ AF ＋ CF ＝32.3＋5.78≈38（cm）. 答：显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC 约为38 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 为了提高学生应用数学方法解决实际问题的能力，老师组织全班同学开展了测 量物体高度的实践活动.小明所在的小组要测量学校教学楼的高度，经讨论之后， 他们准备以学校的旗杆为参照物进行测量，教学楼和旗杆底部均不可到达，如图 所示，教学楼 AB 与旗杆 CD 的底部 B ， D 在同一平面内，经查阅有关资料得知教 学楼和旗杆之间的距离 BD 长为70米，旗杆 CD 高度为11.5米.经过分析，他们设 计了以下测量方案：小明站在 MN 处，标杆立在 EF 处，点 B ， N ， F ， D 共线， 此时小明的眼睛 M 点、标杆的顶部 E 点和旗杆的顶部 C 点 在一条直线上，然后，小明原地转身180°后，利用自制的 测角器测得教学楼的顶部 A 的仰角为40°.已知： AB ⊥ BD ， MN ⊥ BD ， EF ⊥ BD ， CD ⊥ BD ，测得 MN ＝1.5米， EF ＝2米， FN ＝2米，利用以上测量数据求教学楼 AB 的高度.（参考数据： sin 40°≈0.64， cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：如图所示，作 MH ⊥ AB 于点 H ，延长 HM 交 EF 于点 J ，交 CD 于点 K ，则 BH ＝ MN ＝ JF ＝ DK ＝1.5米， MJ ＝ FN ＝2米， EJ ＝ EF － JF ＝0.5米， CK ＝ CD － DK ＝10米. ∵ EJ ∥ CK ，∴ ＝ ， ∴ ＝ ，∴ MK ＝40米. ∵ BD ＝70米， DN ＝ MK ＝40米， ∴ BN ＝ HM ＝30米. 在Rt△ AHM 中， AH ＝ HM ·tan 40°≈30×0.84＝25.2（米）， ∴ AB ＝ AH ＋ BH ＝25.2＋1.5＝26.7（米）. 答：教学楼 AB 的高度为26.7米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$