第2章 专题三 一元二次方程根的判别式的应用(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

年级上册·BS 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第二章　一元二次方程 专题三　一元二次方程根的判别式的应用 不解方程直接判断根的情况 1. 不解方程，判断下列方程根的情况： （1） y2－2 y ＋1＝0； 解： y2－2 y ＋1＝0， ∵Δ＝（－2）2－4×1×1＝0， ∴此方程有两个相等的实数根. （2）（2 x －1）2＋ x （ x ＋2）＝0. 解：（2 x －1）2＋ x （ x ＋2）＝0， 方程可变形为5 x2－2 x ＋1＝0. ∵Δ＝（－2）2－4×5×1＝－16＜0， ∴此方程没有实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 已知 a ， b ， c 分别是三角形的三条边长，不解方程，判断方程（ a ＋ b ） x2＋ 2 cx ＋（ a ＋ b ）＝0的根的情况. 解：Δ＝（2 c ）2－4（ a ＋ b ）2＝4（ c ＋ a ＋ b ）（ c － a － b ）. ∵ a ， b ， c 分别是三角形的三条边长， ∴ a ＋ b ＞ c ， a ＋ b ＋ c ＞0， c － a － b ＜0， ∴4（ c ＋ a ＋ b ）（ c － a － b ）＜0，即Δ＜0， ∴方程（ a ＋ b ） x2＋2 cx ＋（ a ＋ b ）＝0没有实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围 3. 已知关于 x 的一元二次方程（ m －2）2 x2＋（2 m ＋1） x ＋1＝0. （1）当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ 解：（1）由题意知，Δ＝（2 m ＋1）2－4（ m －2）2＞0， ∴20 m －15＞0，∴ m ＞ .∵ m －2≠0，∴ m ≠2，故 m 的取值范围是 m ＞ 且 m ≠2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）当 m 为何值时，方程有两个相等的实数根？ 解：（2）由题意知，Δ＝（2 m ＋1）2－4（ m －2）2＝0， ∴20 m －15＝0，∴ m ＝ .∵ m －2≠0， ∴ m ≠2，故 m 的值是 m ＝ . （3）当 m 为何值时，方程没有实数根？ 解：（3）由题意知，Δ＝（2 m ＋1）2－4（ m －2）2＜0， 20 m －15＜0，∴ m ＜ .∵ m －2≠0， ∴ m ≠2，故 m 的取值范围是 m ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 若关于 x 的方程 kx2－（ k ＋1） x ＋ ＝0有两个不相等的实数根. （1）求 k 的取值范围. 解：（1）∵关于 x 的方程 kx2－（ k ＋1） x ＋ ＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0且 k ≠0，即[－（ k ＋1）]2－4 k × ＞0且 k ≠0，解得 k ＞－ 且 k ≠0. （2）是否存在实数 k ，使方程的一个实数根是1？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由. 解：（2）存在.若方程的一个实数根是1，则 k －（ k ＋1）＋ ＝0，解得 k ＝4， 符合条件. 即当 k ＝4时，方程有一个实数根为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明含字母系数的方程有实数根或无实数根 5. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－ mx －2 m2＝0. （1）求证：不论 m 为何值，该方程总有两个实数根. 解：（1）证明：∵ a ＝1， b ＝－ m ， c ＝－2 m2， ∴ b2－4 ac ＝（－ m ）2－4×1×（－2 m2）＝9 m2. ∵不论 m 为何值，总有 m2≥0，即9 m2≥0，∴ b2－4 ac ≥0， ∴不论 m 为何值，该方程总有两个实数根. （2）若 x ＝1是该方程的根，求代数式4 m2＋2 m ＋5的值. 解：（2）∵ x ＝1是 x2－ mx －2 m2＝0的根，∴1－ m －2 m2＝0，即2 m2＋ m ＝1，∴4 m2＋2 m ＋5＝2（2 m2＋ m ）＋5＝2×1＋5＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 已知方程 x2＋2 x － m ＋1＝0没有实数根. 求证：方程 x2＋ mx ＝1－2 m 一定有两个不相等的实数根. 证明：∵方程 x2＋2 x － m ＋1＝0没有实数根， ∴Δ＝22－4（－ m ＋1）＜0，∴4 m ＜0，∴ m ＜0. ∵方程 x2＋ mx ＝1－2 m 可化为 x2＋ mx ＋2 m －1＝0， ∴Δ＝ m2－8 m ＋4.∵ m2＞0，－8 m ＞0， ∴ m2－8 m ＋4＞0，∴Δ＞0， ∴方程 x2＋ mx ＝1－2 m 一定有两个不相等的实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 应用根的判别式判断三角形的形状 7. 已知 a ， b ， c 为三角形三边长，且方程 b （ x2－1）－2 ax ＋ c （ x2＋1）＝0有 两个相等的实数根.试判断此三角形的形状，并说明理由. 解：此三角形为直角三角形.理由如下：方程整理，得（ b ＋ c ）· x2－2 ax －（ b － c ）＝0.∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝4 a2－4（ b ＋ c ）·[－（ b － c ）]＝0， ∴ a2＋ b2＝ c2，∴此三角形为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 判别式与几何知识的综合应用 8. 在等腰三角形 ABC 中，三条边分别是 a ， b ， c ，其中 b ＝5.若关于 x 的一元二次方程 x2＋（ a ＋2） x － a ＋7＝0有两个相等的实数根，求△ ABC 的周长. 解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（ a ＋2）2－4×1×（－ a ＋7）＝0， ∴ a2＋5 a －24＝0，∴ a1＝－8， a2＝3.∵ a 是正数，∴ a ＝3. 在等腰三角形 ABC 中， ①当 b ＝5为底时，则 a ＝ c ＝3，此时△ ABC 的周长为3＋3＋5＝11. ②当 b ＝5为腰时， c ＝ b ＝5.此时△ ABC 的周长为5＋5＋3＝13.综上可知△ ABC 的周长为11或13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋（2 m ＋1） x ＋ m2－4＝0. （1）若此方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围. 解：（1）∵方程 x2＋（2 m ＋1） x ＋ m2－4＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即（2 m ＋1）2－4×1×（ m2－4）＞0， ∴4 m ＋17＞0，解得 m ＞－ .∴当 m ＞－ 时，方程有两个不相等的实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）若方程的两个根分别是四边形的一组邻边的长，且该四边形为菱形，求这个四边形的周长. 解：（2）∵方程的两个根分别是四边形的一组邻边的长，且该四边形为菱形， ∴方程有两个相等的实数根，∴4 m ＋17＝0，解得 m ＝－ ， ∴方程为 x2－ x ＋ ＝0，解得 x1＝ x2＝ ， ∴菱形的周长为4× ＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$