第1章 特殊平行四边形 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

年级上册·BS 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第一章　特殊平行四边形 本章综合提升 1. 转化思想 通过对条件的转化，结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，化未知为已 知，最终解决问题，这个过程体现了转化的思想方法. 在求特殊平行四边形边长的问题时往往会把四边形转化为直角三角形的问题 予以解决，使复杂的问题简单化. 【例1】　如图所示，在矩形 ABCD 中，过对角线 BD 的中点 O 作 BD 的垂线 EF ，分别交 AD ， BC 于点 E ， F ，连接 BE ， DF . （1）求证：△ DOE ≌△ BOF . 解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD ∥ BC ，∴∠ OED ＝∠ OFB . ∵ O 是 BD 的中点，∴ OD ＝ OB . 在△ DOE 和△ BOF 中，∠ OED ＝∠ OFB ，∠ DOE ＝∠ BOF ， OD ＝ OB ，∴△ DOE ≌△ BOF （AAS）. （2）若 AB ＝4， AD ＝8，求四边形 EBFD 的周长. 解：（2）∵ AD ∥ BC ，点 E ，点 F 分别在 AD ， BC 上，∴ DE ∥ BF . ∵△ DOE ≌△ BOF ，∴ DE ＝ BF ，∴四边形 BFDE 是平行四边形. ∵ EF ⊥ BD ，∴平行四边形 BFDE 是菱形，∴ BE ＝ DE ＝ BF ＝ DF . ∵∠ A ＝90°， AB ＝4， AD ＝8，∴ AB2＋ AE2＝ BE2， AE ＝8－ DE ＝8－ BE ，∴42＋（8－ BE ）2＝ BE2，解得 BE ＝5， ∴ BE ＋ DE ＋ BF ＋ DF ＝4 BE ＝4×5＝20，∴四边形 BFDE 的周长为20. 【变式训练1】如图所示，在四边形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AB ＝ CD ，对角线 AC ， BD 交于点 O ，过点 C 作 CE ⊥ AB 交 AB 延长线于点 E ，且∠ ABO ＝∠ ACE ，连接 OE . （1）求证：四边形 ABCD 是菱形. 解：（1）证明：∵ CE ⊥ AB ，∴∠ CEA ＝90°， ∴∠ CAE ＋∠ ACE ＝90°. ∵∠ ABO ＝∠ ACE ， ∴∠ ABO ＋∠ BAO ＝90°，∴∠ AOB ＝90°， ∴ AO ⊥ OB . ∵ AB ∥ CD ， AB ＝ CD ，∴四边形 ABCD 是平行 四边形.又∵ AC ⊥ BD ，∴平行四边形 ABCD 是菱形. （2）若 CE ＝3 ，∠ ADC ＝120°，求菱形 ABCD 的面积. 解：（2）∵四边形 ABCD 是菱形，∠ ADC ＝120°， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ，∠ DAB ＝60°，∠ CAB ＝30°. 在Rt△ ACE 中， AC ＝2 CE ＝6 ， AB ＝2 OB ， ∴ AO ＝ CO ＝3 .在Rt△ ABO 中， AB2＝ OB2＋ OA2，∴4 OB2－ OB2＝（3 ）2， 解得 OB ＝3（负值舍去），∴ BD ＝6， ∴ S菱形 ABCD ＝ ×6×6 ＝18 . 2. 分类讨论思想 分类讨论思想在研究与解决数学问题时，如果问题不能以同一种方法处理或 同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定 的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又 有区别的部分，然后进行讨论，再把这几类结论汇总，从而得出问题的答案. 在利用动点问题判定特殊四边形的形状或利用特殊四边形的性质时，如果不 能确定动点的位置时往往需要进行分类讨论. 【例2】　如图所示，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，动点 E 以每秒1个单位长度的速度从点 A 出发沿 AC 方向运动，点 F 同时以每秒1个单位长度的速度从点 C 出发沿 CA 方向运动.若 AC ＝12， BD ＝8，则经过多少秒后，四边形 BEDF 是矩形？ 解：设运动的时间为 t 秒，∵四边形 ABCD 是平行四边形， AC ＝12， BD ＝8， ∴ OA ＝ OC ＝ AC ＝6， OB ＝ OD ＝ BD ＝4. ∵ AE ＝ CF ＝ t ，∴ OE ＝ OF ＝6－ t 或 OE ＝ OF ＝ t －6， ∴四边形 BEDF 是平行四边形.∵当 EF ＝ BD 时，平行四边形 BEDF 是矩形， ∴ OE ＝ OD ，∴6－ t ＝4或 t －6＝4，∴ t ＝2或 t ＝10， ∴经过2秒或10秒，四边形 BEDF 是矩形. 【变式训练2】如图所示，在矩形 ABCD 中， AB ＝16厘米， BC ＝24厘米，点 P 在线段 BC 上以4厘米/秒的速度向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CD 上向 D 点运动，当点 Q 的运动速度为多少厘米/秒时，能够在某时刻使△ ABP 与△ PCQ 全等. 解：设点 Q 的速度为 x cm/s分两种情形讨论： ②当 BP ＝ PC ， AB ＝ CQ 时，△ ABP 与△ PCQ 全等，即4 t ＝ ×24＝12， t ＝3，∴3 x ＝16， x ＝ . 综上所述，满足条件的点 Q 的速度为4 cm/s或 cm/ s . ①当 AB ＝ PC ， BP ＝ CQ 时，△ ABP 与△ PCQ 全等，即16＝24－4 t ，解得 t ＝2，∴2 x ＝2×4，∴ x ＝4； 3. 数形结合思想 数形结合通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结 合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的. 在本章利用几何图形拼图的方式，运用面积的方法来验证乘法公式的过程 中，体现了数形结合思想. 【例3】　如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A ， C ， F 在坐标轴上， E 是 OA 的中点，四边形 AOCB 是矩形，四边形 BDEF 是正方形.若点 C 的坐标为 （3，0），则点 D 的坐标为（　C　） A. （1，2.5） B. （1，1＋ ） C. （1，3） D. （1，2 ） C 【变式训练3】如图所示，菱形 ABDC 的顶点 A （－1，0）， B （3，0）在 x 轴上，点 C 在 y 轴正半轴上，那么菱形 ABDC 的面积是（　D　） A. 16 B. 4 C. 12 D. 2 D 4. 方程思想 方程的思想是对问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识.它通过 对数学问题中变量间等量关系的分析，构建方程或方程组，或利用方程的性质去 分析、转换、解决问题. 本章用到的方程思想解决的问题一般是求特殊平行四边形中的线段长. 【例4】　如图所示，在矩形 ABCD 中， AB ＝8， AD ＝6，点 O 是对角线 BD 的中点，过点 O 的直线分别交 AB ， CD 边于点 E ， F ，连接 DE ， BF . （1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形. 解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB ∥ CD ， OD ＝ OB ， ∴∠ DFO ＝∠ BEO . 又∵∠ DOF ＝∠ BOE ， ∴△ DOF ≌△ BOE （AAS），∴ DF ＝ BE . 又∵ DF ∥ BE ， ∴四边形 DEBF 是平行四边形. （2）当 DE ＝ DF 时，求 EF 的长. 解：（2）∵ DE ＝ DF ，四边形 DEBF 是平行四边形，∴平行四边形 DEBF 是菱形，∴ DE ＝ BE ， EF ⊥ BD ，OE ＝ OF . 设 AE ＝ x ，则 DE ＝ BE ＝8－ x .在Rt△ ADE 中，根据勾股定理，有 AE2＋ AD2＝ DE2，∴ x2＋62＝（8－ x ）2，解得 x ＝ ， ∴ DE ＝8－ ＝ .在Rt△ ABD 中，根据勾股定理，有 AB2＋ AD2＝ BD2， ∴ BD ＝ ＝10，∴ OD ＝ BD ＝5. 在Rt△ DOE 中，根据勾股定理，有 DE2 － OD2＝ OE2， ∴ OE ＝ ＝ ，∴ EF ＝2 OE ＝ . 【变式训练4】如图所示，正方形 ABCD 的边长为6，点 E ， F 分别在 AB ， AD 上.若 CE ＝3 ，且∠ ECF ＝45°.求 CF 的长. 解：如图所示，延长 FD 到点 G ，使 DG ＝ BE . 连接 CG ， EF . ∵四边形 ABCD 为正方形，在△ BCE 与△ DCG 中， CB ＝ CD ，∠ CBE ＝∠ CDG ， BE ＝ DG ， ∴△ BCE ≌△ DCG （SAS）， ∴ CG ＝ CE ，∠ DCG ＝∠ BCE . ∵∠ ECF ＝45°，∠ BCD ＝90°， ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝45°， ∴∠ DCG ＋∠ DCF ＝45°， ∴∠ GCF ＝45°.在△ GCF 与△ ECF 中， GC ＝ EC ，∠ GCF ＝∠ ECF ， CF ＝ CF ，∴△ GCF ≌△ ECF （SAS），∴ GF ＝ EF . ∵ CE ＝3 ， CB ＝6， ∴ BE ＝ ＝ ＝3，∴ AE ＝3. 设 AF ＝ x ，则 DF ＝6－ x ， GF ＝3＋（6－ x ）＝9－ x ， 又 EF ＝ ＝ ， ∴（9－ x ）2＝9＋ x2， ∴ x ＝4，即 AF ＝4， ∴ GF ＝5， DF ＝2， ∴ CF ＝ ＝ ＝2 . 1. （2023·南阳唐河模拟）如图所示，在菱形 ABCD 中，过点 C 作 CE ⊥ BC 交 BD 于点 E . 若∠ BAD ＝118°，则∠ CEB ＝（　A　） A. 59° B. 62° C. 69° D. 72° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. （2023·惠州惠城一模）如图所示，在矩形 ABCD 中， AC ， BD 交于点 O ， M ， N 分别为 BC ， OC 的中点.若∠ ACB ＝30°， AB ＝8，则 MN 的长为（　B　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. （2023·安徽二模）如图所示，在∠ AOB 中，以点 O 为圆心，任意长为半径作 弧，交射线 OA 于点 C ，交射线 OB 于点 D ，再分别以点 C ， D 为圆心， OC 的长 为半径，两弧在∠ AOB 的内部交于点 E ，作射线 OE . 若 OC ＝10， OE ＝16，则 C ， D 两点之间距离为（　B　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. （2023·深圳福田区期中）如图所示，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠ AEB ＝90°， AE ＝5， BE ＝12，则阴影部分的面积是（　C　） A. 119 B. 129 C. 139 D. 149 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. （2023·临沂河东一模）如图所示，在△ ABC 中， BC ＝18.若 BD ⊥ AC 于点 D ， CE ⊥ AB 于点 E ， F ， G 分别为 BC ， DE 的中点.若 ED ＝10，则 FG 的长为（　A　） A. 2 B. 9 C. 10 D. 无法确定 第5题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. （2023·常德模拟）如图所示，在▱ ABCD 中， M ， N 是 BD 上的两点， BM ＝ DN . 连接 AM ， MC ， CN ， NA . 请你添加一个条件 ⁠ ；使得四边形 AMCN 是矩形. 第6题图 OM ＝ AC （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. （2023·东莞一模）如图所示，在正方形 ABCD 的外侧作等边△ ADE ，则∠ ABE 的度数为 ⁠. 8. （2023·盐城期末）如图所示，过四边形 ABCD 的四个顶点分别作对角线 AC ， BD 的平行线，如所围成的四边形 EFGH 是矩形，则原四边形 ABCD 需满足的条 件是 .（只需写出一个符合要求的条件） 15°　 AC ⊥ BD 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. （2023·商丘梁园期末）如图所示，在矩形 ABCD 中， AB ＝2， AD ＝1， E 为 AB 的中点， F 为 EC 上一动点， P 为 DF 的中点，连接 PB ，则 PB 的最小值 是 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. （2023·广元旺苍模拟）如图所示，在△ ABC 中，∠ BCA ＝90°， CD 是边 AB 上的中线，分别过点 C ， D 作 BA 和 BC 的平行线，两线交于点 E ，且 DE 交 AC 于点 O ，连接 AE . （1）求证：四边形 ADCE 是菱形. 解：（1）证明：∵ DE ∥ BC ， EC ∥ AB ， ∴四边形 DBCE 是平行四边形，∴ EC ∥ DB ，且 EC ＝ DB . 在Rt△ ABC 中， CD 为 AB 边上的中线， ∴ AD ＝ DB ＝ CD ，∴ EC ＝ AD ，∴四边形 ADCE 是平行四边形. ∵ AD ＝ CD ，∴平行四边形 ADCE 是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）若∠ B ＝60°， BC ＝6，求四边形 ADCE 的面积. 解：（2）在Rt△ ABC 中， CD 为 AB 边上的中线，∠ B ＝60°， BC ＝6，∴△ BCD 为等边三角形， ∴ AD ＝ DB ＝ CD ＝6， ∴ AB ＝12，由勾股定理得 AC ＝6 . ∵四边形 DBCE 是平行四边形，∴ DE ＝ BC ＝6. ∴ S菱形 ADCE ＝ ＝ ＝18 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. （青岛崂山区一模）如图所示，正方形 ABCD ，点 P 在边 BC 的延长线上，连 接 AP 交 BD 于点 F ，过点 C 作 CG ∥ AP 交 BD 于点 G ，连接 AG ， CF . （1）求证：△ ADF ≌△ CBG . 解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD ＝ BC ，∠ DBC ＝∠ ADB ＝45°. ∵ CG ∥ AP ，∴∠ BGC ＝∠ BFP . ∵∠ BFP ＝∠ AFD ，∴∠ AFD ＝∠ BGC . 在△ ADF 和△ CBG 中， ∴△ ADF ≌△ CBG （AAS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）判断四边形 AGCF 是什么特殊四边形？请说明理由. 解：（2）四边形 AGCF 是菱形.理由如下： 连接 AC ，设 AC 与 BD 交于点 O ，如图所示. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ， AC ⊥ BD . 由（1）知△ ADF ≌△ CBG ， ∴ DF ＝ BG ，∴ OB － BG ＝ OD － FD ， ∴ OG ＝ OF . ∵ OG ＝ OF ， OA ＝ OC ， ∴四边形 AGCF 为平行四边形. ∵ AC ⊥ FG ，∴平行四边形 AGCF 是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. （2023·上海中考）在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ＝ CD . 下列说法能使 四边形 ABCD 为矩形的是（　C　） A. AB ∥ CD B. AD ＝ BC C. ∠ A ＝∠ B D. ∠ A ＝∠ D 13. （2023·湘西州中考）如图所示，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 是 AE 的中点， AB ＝8， AD ＝ DE ＝10，则 BF 的长为 ⁠. C 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （2023·广西中考）如图所示，在边长为2的正方形 ABCD 中， E ， F 分别是 BC ， CD 上的动点， M ， N 分别是 EF ， AF 的中点，则 MN 的最大值为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明：（1）∵∠ ABO ＝∠ DCO ＝90°，∴ AB ∥ CD ，∴∠ A ＝∠ D . 在△ AOB 与△ DOC 中， ∴△ AOB ≌△ DOC （AAS），∴ AO ＝ DO . ∵点 E ， F 分别是 AO ， DO 的中点，∴ OE ＝ OA ， OF ＝ OD ，∴ OE ＝ OF . 15. （2023·新疆中考）如图所示， AD 和 BC 相交于点 O ，∠ ABO ＝∠ DCO ＝90°， OB ＝ OC ，点 E ， F 分别是 AO ， DO 的中点. （1）求证： OE ＝ OF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）当∠ A ＝30°时，求证：四边形 BECF 是矩形. 证明：（2）∵ OB ＝ OC ， OE ＝ OF ，∴四边形 BECF 是平行四边形. ∵∠ A ＝30°，∴ OB ＝ OA ＝ OE . ∵ OE ＝ OF ， OB ＝ OC ，∴ BC ＝ EF ，∴平行四边形 BECF 是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$