第2章 解直角三角形 自我测评卷(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(青岛版)

年级上册·QD 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第2章自我测评卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， BC ＝3， AB ＝4，那么下列结论正确的是（　B　） A. cos A ＝ B. sin A ＝ C. tan B ＝ D. tan A ＝ 2. 已知在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， sin A ＝ ，则tan B 的值为（　A　） A. B. C. D. B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3. 在△ ABC 中，已知∠ A ，∠ B 均为锐角，且有｜tan2 B －3｜＋（2 sin A － ）2＝0，则△ ABC 是（　A　） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 4. 一个等腰三角形的边长分别是6和8，则这个三角形底角的余弦值为（　D　） A. B. C. D. 或 A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5. 如图所示，在菱形 ABCD 中， DE ⊥ AB ， cos A ＝ ， BE ＝2，则 BD 的值为 （　C　） A. 2 B. C. 2 D. 5 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6. 如图所示，在▱ ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交所成的锐角为α.若 AC ＝ a ， BD ＝ b ，则▱ ABCD 的面积是（　A　） A. ab sin α B. ab sin α C. ab cos α D. ab cos α 第6题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7. 已知直线 l1∥ l2∥ l3∥ l4，相邻的两条平行直线间的距离均为 h ，矩形 ABCD 的 四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示， AB ＝4， BC ＝6，则tan α的 值为（　C　） A. B. C. D. 第7题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8. 如图所示，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A 的距离是（　D　） A. 30 n mile B. 60 n mile C. 120 n mile D. （30＋30 ） n mile 第8题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9. 如图所示，在四边形 ABCD 中，∠ DAB ＝90°， AD ∥ BC ， BC ＝ AD ， AC 与 BD 交于点 E ， AC ⊥ BD ，则tan ∠ BAC 的值是（　C　） A. B. C. D. 第9题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10. 学校在小明家南偏东30°方向上，距小明家6 km，以小明家所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，1 km为一个单位长度，则学校所在位置的坐标为（　D　） A. B. C. D. 11. 如图所示，在6×7的网格图中，每个小正方形的边长均为1.若点 A ， B ， C 都 在格点上，则 sin B 的值为（　A　） A. B. C. D. D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12. 阅读理解　规定： sin （－ x ）＝－ sin x ， cos （－ x ）＝ cos x ， cos （ x ＋ y ）＝ cos x cos y － sin x sin y ，给出以下四个结论： ① sin （－30°）＝－ ； ② cos 2 x ＝ cos 2 x － sin 2 x ； ③ cos （ x － y ）＝ cos x cos y ＋ sin x sin y ； ④ cos 15°＝ . 其中正确的结论有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 13. 若 cos （α－10°）＝ ，则∠α的度数为 ⁠. 14. （2023·泰安宁阳期中）如图所示，在边长相同的小正方形网格图中，点 A ， B ， C ， D 都在这些小正方形的顶点上， AB 与 CD 相交于点 P ，则tan∠ APD 的 值为 ⁠. 第14题图 70°　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15. 如图所示，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， D 是 AB 的中点，过点 D 作 AB 的 垂线交 AC 于点 E . 若 BC ＝6， sin A ＝ ，则 DE 的长为 　 　. 第15题图 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16. 如图所示，某校教学楼 AC 与实验楼 BD 的水平间距 CD ＝15 米，在实验楼 的顶部 B 点测得教学楼顶部 A 点的仰角是30°，底部 C 点的俯角是45°，则教学楼 AC 的高度是 米.（结果保留根号） 第16题图 （15＋15 ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17. 几何直观　如图所示，某飞机于空中 A 处探测到某地面目标在点 B 处，此时 飞行高度 AC ＝1 200米，从飞机上看到点 B 的俯角为37°，飞机保持飞行高度不 变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动.当飞机飞行943米到达点 D 时，地面目标此时运动到点 E 处，从点 E 看到点 D 的仰角为47.4°，则地面目标运 动的距离 BE 约为 米.（参考数据：tan 37°≈ ，tan 47.4°≈ ） 423　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题（本大题共7个小题，共82分） 18. （本题满分8分）计算下列各题： （1） （2 cos 45°－ sin 60°）＋ ； 解： （2 cos 45°－ sin 60°）＋ ＝ （2× － ）＋ ＝2－ ＋ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2） sin 60°· cos 60°－tan 30°·tan 60°＋ sin 245°＋ cos 245°. 解： sin 60°· cos 60°－tan 30°·tan 60°＋ sin 245°＋ cos 245° ＝ × － × ＋（ ）2＋（ ）2 ＝ －1＋ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19. （本题满分10分）如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝5， BC ＝8， D 是边 AB 上一点，且tan∠ DCB ＝ . （1）求 cos B 的值. 解：（1）过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ，如图所示. ∵ AB ＝ AC ， ∴ BE ＝ CE ＝ BC ＝ ×8＝4. 在Rt△ ABE 中， cos B ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）求△ BCD 的面积. 解：（2）过点 D 作 DF ⊥ BC 于点 F ，如图所示.在Rt△ CDF 中，tan∠ DCF ＝ ＝ .设 DF ＝3 x （ x ＞0），则 CF ＝5 x . 在Rt△ ABE 中， AE ＝ ＝3，∴tan B ＝ ＝ . 在Rt△ BDF 中，tan B ＝ ＝ ，而 DF ＝3 x ，∴ BF ＝4 x ， ∴ BC ＝ BF ＋ CF ＝4 x ＋5 x ＝9 x ，即9 x ＝8，解得 x ＝ ， ∴ DF ＝3 x ＝ ，∴ S△ BCD ＝ × DF × BC ＝ × ×8＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20. （本题满分12分）如图所示，某兴趣小组为了测量大楼 CD 的高度，先沿着斜 坡 AB 走了52米到达坡顶点 B 处，然后在点 B 处测得大楼顶点 C 的仰角为53°.已知 斜坡 AB 的坡度 i ＝1∶2.4，点 A 到大楼的距离 AD 为72米，求大楼的高度 CD . （参考数据： sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，tan 53°≈ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：如图所示，过点 B 作 BE ⊥ AD 于点 E ， BF ⊥ CD 于点 F . ∵ CD ⊥ AD ， ∴四边形 BEDF 是矩形， ∴ FD ＝ BE ， FB ＝ DE . 在Rt△ ABE 中， BE ∶ AE ＝1∶2.4＝5∶12， 设 BE ＝5 x ， AE ＝12 x ， 根据勾股定理，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 AB ＝ ＝13 x ， ∴13 x ＝52米，解得 x ＝4米， ∴ BE ＝ FD ＝5 x ＝20米， AE ＝12 x ＝48米， ∴ DE ＝ FB ＝ AD － AE ＝72－48＝24（米）， ∴在Rt△ CBF 中， CF ＝ FB ×tan∠ CBF ≈24× ＝32（米）， ∴ CD ＝ FD ＋ CF ＝20＋32＝52（米）. 答：大楼的高度 CD 约为52米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. （本题满分12分）如图所示，在某海域，一艘指挥船在 C 处收到渔船在 B 处 发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的 B 处位于 C 处的南偏西45°方 向上，且 BC ＝60海里；指挥船搜索发现，在 C 处的南偏西60°方向上有一艘海监 船 A ，恰好位于 B 处的正西方向.于是命令海监船 A 前往搜救，已知海监船 A 的航 行速度为30海里/时，问渔船在 B 处需要等待多长时间才能得到海监船 A 的救援. （参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45，结果精确到0.1小时） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：∵ A 在 B 的正西方，延长 AB 交南北轴于点 D ，则 AB ⊥ CD 于点 D ， 如图所示. ∵∠ BCD ＝45°， BD ⊥ CD ，∴ BD ＝ CD . ∵在Rt△ BDC 中， cos ∠ BCD ＝ ， BC ＝60海里， 即 cos 45°＝ ＝ ，解得 CD ＝30 海里， ∴ BD ＝ CD ＝30 海里. ∵在Rt△ ADC 中，tan∠ ACD ＝ ，即tan 60°＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解得 AD ＝30 海里， ∴ AB ＝ AD － BD ＝30 －30 ＝30（ － ）（海里）. ∵海监船 A 的航行速度为30海里/时， ∴ ＝ ＝ － ≈2.45－1.41＝ 1.04≈1.0（小时）， 即渔船在 B 处需要等待1.0小时才能得到海监船 A 的救援. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. （本题满分12分）（2023·菏泽三模）我市某消防支队在一幢居民楼前进行消 防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在 C 处的求救者后，发现在 C 处 正上方 D 处又有一名求救者，消防官兵立即升高云梯将其救出，经测量得点 A 与 居民楼的水平距离 AB 是15米，且在点 A 测得第一次施救时云梯与水平线的夹角 ∠ CAB ＝45°，第二次施救时云梯与水平线的夹角∠ BAD ＝55°，求 C ， D 两点间 的距离.（结果精确到0.1米.参考数据： sin 55°≈0.82， cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，∠ CAB ＝45°， AB ＝15米， 则 BC ＝ AB ＝15米. 在Rt△ ABD 中，∠ ABD ＝90°，∠ BAD ＝55°， AB ＝15米. ∵tan∠ BAD ＝ ， ∴ BD ＝ AB ·tan∠ BAD ≈15×1.43＝21.45（米）， ∴ CD ＝ BD － BC ＝21.45－15≈6.5（米）， ∴ C ， D 两点间的距离约为6.5米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. （本题满分14分）模型观念　如图所示，图①为放置在水平桌面 l 上的台灯， 底座的高 AB 为5 cm，长度均为20 cm的连杆 BC ， CD 与 AB 始终在同一平面上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （1）转动连杆 BC ， CD ，使∠ BCD 成平角，∠ ABC ＝150°，如图②所示，求连 杆端点 D 离桌面 l 的高度 DE . 解：（1）如图①所示，过点 B 作 BO ⊥ DE 于点 O . ∵∠ OEA ＝∠ BOE ＝∠ BAE ＝90°， ∴四边形 ABOE 是矩形. 又∵∠ ABC ＝150°， ∴∠ DBO ＝150°－90°＝60°， ∴ OD ＝ BD · sin 60°＝20 cm， ∴ DE ＝ OD ＋ OE ＝ OD ＋ AB ＝20 ＋5≈39.6（cm）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）将图②中的连杆 CD 再绕点 C 逆时针旋转，使∠ BCD ＝165°，如图③所 示，问此时连杆端点 D 离桌面 l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？ （精确到0.1 cm，参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：（2）如图②所示，过点 D 作 DF ⊥ l 于点 F ， CP ⊥ DF 于点 P ， BG ⊥ DF 于点 G ， CH ⊥ BG 于点 H ，则四边形 PCHG 是矩形. ∵∠ CBH ＝60°，∠ CHB ＝90°，∴ CH ＝ BC · sin 60°＝10 cm， ∴∠ BCH ＝30°.∵∠ BCD ＝165°，∴∠ DCP ＝45°. 在Rt△ DPC 中， DP ＝ CD · sin 45°＝10 cm， ∴ DF ＝ DP ＋ PG ＋ GF ＝ DP ＋ CH ＋ AB ＝（10 ＋10 ＋5） cm， ∴ DE － DF ＝20 ＋5－10 －10 －5＝10 －10 ≈3.2（cm）. 综上，连杆端点 D 离桌面 l 的高度减少了，减少了3.2 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. （本题满分14分）知识再现 如图①所示，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为 a ， b ， c . ∵ sin A ＝ ， sin B ＝ ， ∴ c ＝ ， c ＝ . ∴ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 拓展探究 如图②所示，在锐角△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为 a ， b ， c . 请探究 ， ， 之间的关系，并写出探究过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解决问题 如图③所示，为测量点 A 到河对岸点 B 的距离，选取与点 A 在河岸同一侧的点 C ，测得 AC ＝60 m，∠ A ＝75°，∠ C ＝60°.请用拓展探究中的结论，求点 A 到 点 B 的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：拓展探究 ＝ ＝ .如图所示，作 CD ⊥ AB 于点 D ， AE ⊥ BC 于点 E . 在Rt△ ABE 中， sin B ＝ ＝ ，同理： sin B ＝ ＝ ， sin ∠ BAC ＝ ＝ ， sin ∠ BCA ＝ ＝ ， ∴ AE ＝ c sin B ， AE ＝ b sin ∠ BCA ， CD ＝ a sin B ， CD ＝ b sin ∠ BAC ， ∴ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ＝ ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解决问题 在△ ABC 中，∠ B ＝180°－∠ A －∠ C ＝180°－75°－60°＝45°. ∵ ＝ ， ∴ ＝ ，∴ AB ＝30 m， 即点 A 到点 B 的距离为30 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $$