第1章 图形的相似 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(青岛版)

年级上册·QD 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第1章　图形的相似 本章综合提升 1. 分类讨论思想 在数学中，当所求解的问题存在多种情况，我们又不能一概而论时，就需要 按照可能出现的各种情况分类讨论，从而得到各种情况下的结论，这种处理问题 的方法就是分类讨论的思想方法.应用分类讨论思想方法解题的关键是要按照一定 的标准，把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地进行分类. 利用相似三角形的知识解题时经常会遇到多解问题，如果在没有指明对应关 系的情况下求解，必须考虑各种可能的情况，并加以讨论，分类讨论是防止出现 漏解的有效方法. 　　【例1】　推理能力　将△ ABC 纸片按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B '，折痕为 EF . 已知 AB ＝3， AC ＝4， BC ＝5，若以 B '， F ， C 为顶点的三角形与△ ABC 相似，那么 CF 的长度是 .　 或 　 【变式训练1】（2023·聊城一模）如图所示，在正方形 ABDC 和正方形 OEFG 中，点 C 和点 F 的坐标分别为（－3，2），（1，－1），则两个正方形的 位似中心的坐标是 ⁠. （－1，0）或（5，－2）　 2. 方程思想 方程思想就是指把所研究数学问题中的已知量与未知量之间的等量关系，转 化为方程（组），从而达到解决数学问题的一种思维方法. 本章中利用相似三角形的性质列方程可求某些线段的长.在利用面积比与对应 边的比的关系解题时，注意其中的对应关系，以防出错. 　　【例2】　如图所示，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， BC ＝8 cm， AC ∶ AB ＝ 3∶5，点 P 从点 B 出发，沿 BC 以2 cm/s的速度向点 C 移动，点 Q 从点 C 出发，沿 CA 以1 cm/s的速度向点 A 移动，如果点 P ， Q 分别从点 B ， C 同时出发，问：经 过多少秒时，以点 P ， Q ， C 为顶点的三角形和△ CBA 相似？ 解：在Rt△ABC中，BC＝8 cm，AC∶AB＝3∶5，易求得AB＝10 cm，AC ＝6 cm. 设经过x s时，以点P，Q，C为顶点的三角形与△CBA相似，此时BP＝2x cm，CP＝（8－2x） cm，CQ＝x cm.根据相似三角形对应点顺序相同，有两种 可能情况. ①若△CPQ∽△CBA，则 ＝ ，即 ＝ ，解得x＝2.4. ②若△CPQ∽△CAB，则 ＝ ，即 ＝ ，解得x＝ . 综上所述，当经过2.4 s或 s时，以点P，Q，C为顶点的三角形和 △CBA相似. 　　【变式训练2】几何直观　如图所示，在△ ABC 中， BC ＝12，高 AD ＝6， 正方形 EFGH 一边在 BC 上，点 E ， F 分别在 AB ， AC 上， AD 交 EF 于点 N ，求 AN 的长. 解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x. ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC. ∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x. ∵△AEF∽△ABC，∴ ＝ . ∵BC＝12，AD＝6，∴AN＝6－x， ∴ ＝ ，解得x＝4， ∴AN＝6－x＝6－4＝2. 3. 转化思想 通过对条件、结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，化未知为已知，最 终解决问题，这个过程体现了转化的思想方法. 本章的许多问题都应用了转化思想，如把多边形的问题转化为三角形问题， 把等积式转化成比例式，从而转化为证明三角形相似，把实际问题转化为相似多 边形、相似三角形等问题来解决. 　　【例3】　如图所示，在四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ， CE 平分∠ BCD ， CE ⊥ AD ， DE ＝2 AE . 若△ CED 的面积为1，求四边形 ABCE 的面积. 解：如图所示，延长CB，DA相交于点F. 因为CE平分∠BCD，CE⊥AD，所以 △FCD为等腰三角形，点E为FD的中点. 因为S△CED＝1，所以S△FCD＝ FD·CE＝ ×2ED·CE＝2S△CED＝2. 所以S△FCE＝S△CED＝1. 因为DE＝2AE，DE＝EF， 所以EF＝2AE，所以FA＝AE＝ FD. 又因为AB∥CD， 所以∠FBA＝∠FCD，∠FAB＝∠D， 所以△FBA∽△FCD， 所以 ＝ ＝ ＝ ， 所以S△FBA＝ ×S△FCD＝ ×2＝ ， 所以S四边形ABCE＝S△FCE－S△FBA＝1－ ＝ . 　　【变式训练3】现有一块直角三角形木板，它的两条直角边分别为3米和4米. 要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人加工方法分别如图①和图②所 示.请你运用所学知识说明谁的加工方法符合要求. 解：甲的加工方法符合要求. 设图①加工桌面长x m， ∵FD∥BC，∴Rt△AFD∽Rt△ACB， ∴AF∶AC＝FD∶CB， 即（4－x）∶4＝x∶3，解得x＝ . 设图②加工桌面长y m，过点C作CM⊥AB，垂足是M，与GF相交于点N，如图 所示. ∵GF∥DE，∴△CGF∽△CAB，∴CN∶CM＝GF∶AB， ∴（CM－y）∶CM＝y∶AB. ∴AB＝ . 由面积相等可求得CM＝2.4，故此可求得y＝ . 很明显x＞y，故x2＞y2，∴甲的加工方法符合要求. 1. （2023·潍坊诸城期末）如图所示，在平面直角坐标系中，△ ABC 与△A'B'C'位 似，位似中心为原点 O ，相似比为1∶2.若点 C （－2，3），则点C'的坐标为 （　C　） A. （6，－3） B. （3，－6） C. （4，－6） D. （6，－4） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. （2023·菏泽牡丹区三模）如图所示，△ ABC 和△ DEF 是以点 O 为位似中心的 位似图形.若 OA ∶ AD ＝2∶3，则△ ABC 与△ DEF 的周长比是（　C　） A. 2∶3 B. 4∶9 C. 2∶5 D. 4∶25 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. （2023·泰安宁阳期末）如图所示，在三角形纸片 ABC 中， AB ＝9， AC ＝6， BC ＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ ABC 相似的是（　B　） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. （2023·聊城东阿月考）若△ ABC ∽△ DEF ，△ ABC 与△ DEF 的相似比为 1∶3，则 S△ ABC ∶ S△ DEF 为（　B　） A. 1∶3 B. 1∶9 C. 1∶ D. 3∶1 5. （2023·泰安东平一模）如图所示，在平行四边形 ABCD 中， AC ， BD 相交于 点 O ，点 E 是 OA 的中点，连接 BE 并延长交 AD 于点 F . 已知 S△ AEF ＝3，则下列 结论：① ＝ ；② S△ BCE ＝27；③ S△ ABE ＝12；④△ AEF ∽△ ACD . 其中一定 正确的是（　D　） A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①② B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. （多选题）（2023·潍坊临朐期末）如图所示，在△ ABC 中， AB ＝4 cm， AC ＝3 cm， BC ＝6 cm， D 是 AC 上一点， AD ＝2 cm，点 P 从 C 出发沿 C → B → A 方向，以1 cm/s的速度运动至点 A 处，线段 DP 将△ ABC 分成两部分，其中一部 分与△ ABC 相似，则运动时间可能是（　AC　） A. s B. 3 s C. s D. 8 s AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. （2023·菏泽成武期末）若△ ABC ∽△ DEF ，△ ABC 的周长是6，面积是4，△ DEF 的周长是9，则△ DEF 的面积是 ⁠. 8. （2023·潍坊潍城区期末）如图所示是小孔成像的示意图，已知物距 OB ＝6 cm，像距为OB'＝18 cm，则当火焰高度为3 cm时，火焰的像A'B'的高度是 ⁠cm. 9　 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. （2023·潍坊潍城区期末）如图所示，在菱形 ABCD 中，点 E ， F 分别在 BC ， CD 上，连接 AE ， AF ， BD ， AE 与 BD 交于点 H ，延长 AE ， DC 交于点 G ，∠ BAE ＝∠ DAF . （1）求证：△ AGD ∽△ FAD . 证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠G. ∵∠BAE＝∠DAF， ∴∠G＝∠DAF. ∵∠ADG＝∠FDA，∴△AGD∽△FAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）求证： AH · DH ＝ BH · GH . 证明：（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠GDB，∠BAG＝∠G， ∴△ABH∽△GDH，∴ ＝ ， ∴AH·DH＝BH·GH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. （2023·潍坊中考）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问 题：如图所示， AB 表示塔的高度， CD 表示竹竿顶端到地面的高度， EF 表示人 眼到地面的高度， AB ， CD ， EF 在同一平面内，点 A ， C ， E 在一条水平直线 上.已知 AC ＝20米， CE ＝10米， CD ＝7米， EF ＝1.4米，人从点 F 远眺塔顶 B ， 视线恰好经过竹竿的顶端 D ，可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度 为 米. 18.2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. （菏泽中考）如图所示，在△ ABC 中， AD ⊥ BC ，垂足为 D ， AD ＝5， BC ＝10，四边形 EFGH 和四边形 HGNM 均为正方形，且点 E ， F ， G ， N ， M 都在 △ ABC 的边上，那么△ AEM 与四边形 BCME 的面积比为 ⁠. 1∶3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. （潍坊中考）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知 圆，感悟数学之美.如图所示，正方形 ABCD 的面积为4，以它的对角线的交点为 位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'.若A'B'∶ AB ＝2∶1，则四边形A'B'C'D'的外 接圆的周长为 ⁠. 4 π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. （菏泽中考）如图所示，在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， E 是边 AC 上一点， 且 BE ＝ BC ，过点 A 作 BE 的垂线，交 BE 的延长线于点 D ，求证：△ ADE ∽△ ABC . 证明：∵BE＝BC， ∴∠C＝∠CEB. ∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED. ∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°， ∴△ADE∽△ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. （泰安中考）如图所示，在矩形 ABCD 中，点 E 在 DC 上， DE ＝ BE ， AC 与 BD 相交于点 O ， BE 与 AC 相交于点 F . （1）若 BE 平分∠ CBD ，求证： BF ⊥ AC . 解：（1）证明：如图所示. 在矩形ABCD中，OD＝OC，∠BCD＝90°，AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝∠4，∠3＋∠5＝90°. ∵DE＝BE，∴∠1＝∠2. 又∵BE平分∠DBC，∴∠1＝∠6， ∴∠3＝∠6，∴∠6＋∠5＝90°， ∴∠BFC＝90°，即BF⊥AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）找出图中与△ OBF 相似的三角形，并说明理由. 解：（2）与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF. 理由如下： ∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠OFB， ∴△ECF∽△OBF. ∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠4， 又∵∠BFA＝∠OFB，∴△BAF∽△OBF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3）若 OF ＝3， EF ＝2，求 DE 的长度. 解：（3）由（2）知，△ECF∽△OBF. ∴ ＝ ，∴ ＝ ，即3CF＝2BF， ∴3（CF＋OF）＝3CF＋9＝2BF＋9， ∴3OC＝2BF＋9，∴3OA＝2BF＋9①. 由（2）知，△BAF∽△OBF，∴ ＝ ， ∴BF2＝OF·AF，∴BF2＝3（OA＋3）②. 联立①②，可得BF＝1＋ （负值舍去）， ∴DE＝BE＝2＋1＋ ＝3＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$