第24章 一元二次方程 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(冀教版)

年级上册·JJ 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第二十四章　一元二次方程 本章综合提升 1. 转化思想 通过对条件、结论的转化，使问题化难为易，根据知识间内在的联系，恰当 地把题目中的数量关系，从一种形式转化为另一种形式，使问题顺利地得到解 决，这个过程体现了转化的思想方法. 在本章中，一元二次方程的解法，其实质就是把解一元二次方程转化为解一 元一次方程的问题进行解决. 　　【例1】　（2023·邯郸广平期末）用因式分解法解一元二次方程（ x －1）2 －4＝0时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是 x －1＋2＝0，则 另一个方程是 ，一元二次方程（ x －1）2－4＝0的解是 ⁠ ⁠. 　　【变式训练1】（2023·唐山迁安模拟）用配方法解一元二次方程 x2－4 x －6 ＝0，下列变形正确的是（　D　） A. （ x －2）2＝－6＋4 B. （ x －2）2＝6＋2 C. （ x －2）2＝－6＋2 D. （ x －2）2＝6＋4 x －1－2＝0　 x1＝ －1， x2＝3　 D 2. 整体思想 把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，有意识地进行整体 处理、整体代入、叠加叠乘，就是整体思想.从问题的整体性质出发，达到解决问 题的目的. 在本章中，一元二次方程的解法中的直接开平方法、因式分解法中，常常涉 及到整体思想. 　　【例2】　解方程：（ x ＋2）（ x ＋3）＝（ x ＋2）. 解：（ x ＋2）（ x ＋3）＝（ x ＋2）， （ x ＋2）（ x ＋3）－（ x ＋2）＝0， （ x ＋2）（ x ＋3－1）＝0， 解得 x1＝ x2＝－2. 　　【变式训练2】（2023·石家庄藁城区期末）方程3 x （ x －1）＝2（ x －1）的 根为 ⁠. 解得 x1＝ x2＝－2. x1＝1， x2＝ 　 　　【例3】　推理能力　如图所示，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米 的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏 ABCD ，且中间共留两个1米的小 门，设栅栏 BC 长为 x 米. （1） AB ＝ 米.（用含 x 的代数式表示）. （51－3 x ）　 3. 数形结合思想 在本章中，一元二次方程的应用常常涉及数形结合思想. （2）若矩形围栏 ABCD 面积为210平方米，求栅栏 BC 的长. 解：（2）依题意，得 （51－3 x ） x ＝210， 整理，得 x2－17 x ＋70＝0， 解得 x1＝7， x2＝10. 当 x ＝7时， AB ＝51－3 x ＝30＞25，不合题意，舍去； 当 x ＝10时， AB ＝51－3 x ＝21，符合题意， 答：栅栏 BC 的长为10米. 解：（3）不可能.理由如下： 依题意，得（51－3 x ） x ＝240， 整理，得 x2－17 x ＋80＝0. ∵（－17）2－4×1×80＝－31＜0， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏 ABCD 面积不可能达到240平方米. （3）矩形围栏 ABCD 的面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相 应 x 的值；若不可能，请说明理由. 　　【变式训练3】如图所示，流感高发时期学生入校需晨检，体温超标的同学 须进入临时隔离区进行留观.我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用 学校边墙（墙长4.5米），其他三面用隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇 1米宽的进出口（不需材料），共用隔离材料8米. （1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？ 解：（1）设这个隔离区一边 AB 长为 x 米，则另一边 BC 长为 （8－ x ＋1）米. 依题意，得 x · （8－ x ＋1）＝10， 解得 x1＝5， x2＝4. 当 x ＝5时，5＞4.5，不符合题意，舍去； 当 x ＝4时， （8－ x ＋1）＝2.5＜4.5，符合题意. 答：若面积为10平方米，隔离区的长为4米，宽为2.5米. （2）隔离区的面积能为12平方米吗？请说明理由. 解：（2）隔离区的面积不能为12平方米，理由如下： 设这个隔离区一边 AB 长为 y 米， 则另一边 BC 长为 （8－ y ＋1）米， 依题意，得 y · （8－ y ＋1）＝12， 整理，得 y2－9 y ＋24＝0， ∵（－9）2－4×1×24＜0，∴此方程无实数解， ∴隔离区的面积不能为12平方米. 1. （2023·邯郸峰峰矿区期末）将方程7 x －3＝2 x2化为一般形式后，常数项为3， 则一次项系数为（　B　） A. 7 B. －7 C. 7 x D. －7 x 2. （2023·沧州南皮期中）若 m ， n 是方程 x2＋ x －1＝0的两个实数根，则 m2＋2 m ＋ n 的值为（　A　） A. 0 B. 2 C. －1 D. 3 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3. （2023·石家庄裕华区期中）如图所示，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用 81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米.为了方便 取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1 米宽的缺口作小门.若设 AB ＝ x 米，则可列方程（　D　） A. x （81－4 x ）＝440 B. x （78－2 x ）＝440 C. x （81－2 x ）＝440 D. x （84－4 x ）＝440 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4. （2023·保定莲池区期末）有两个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有392 人患了该流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　C　） A. 14 B. 15 C. 13 D. 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5. （2023·唐山滦州二模）已知实数 k ，现有甲、乙、丙、丁四人对关于 x 的方程 kx2－（ k ＋2） x ＋ k ＝0进行了讨论： 甲说：这一定是关于 x 的一元二次方程； 乙说：这有可能是关于 x 的一元一次方程； 丙说：当 k ≥－1时，该方程有实数根； 丁说：只有当 k ≥－1且 k ≠0时，该方程有实数根. 正确的说法是（　A　） A. 乙和丙说得对 B. 甲和丁说得对 C. 甲和丙说得对 D. 乙和丁说得对 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6. （2023·石家庄赵县月考）某药品经过连续两次降价后，每盒的零售价由40元 降为25.6元，若两次降价的百分率相等，则降价的百分率为（　B　） A. 10％ B. 20％ C. 25％ D. 30％ 7. （2023·石家庄裕华区模拟）老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元 二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结 果传递给下一人，最后得到方程的解.部分过程如图所示，接力中，谁负责的一步 开始出现错误（　A　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8. （2023·承德期末）某节数学课上，甲、乙、丙三位同学都在黑板上解关于 x 的 方程 x （ x －1）＝3（ x －1），下列解法完全正确的个数为（　C　） 甲 乙 丙 两边同时除以（ x －1）， 得 x ＝3. 整理，得 x2－4 x ＝－3， 配方，得 x2－4 x ＋2＝－1， ∴（ x －2）2＝－1， ∴ x －2＝±1， ∴ x1＝1， x2＝3. 移项，得 x （ x －1）－3（ x －1）＝0， ∴（ x －3）（ x －1）＝0， ∴ x －3＝0或x －1＝0， ∴ x1＝1， x2＝3. A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9. （2023·保定高碑店月考）若关于 x 的一元二次方程 ax2＝ b （ ab ＞0）的两个根 分别为 m 与2 m －6，则 m 的值为 ⁠. 10. （2023·唐山丰润区期中）方程 x （ x ＋3）＝4（ x ＋3）的解是 ⁠ ⁠. 11. （2023·石家庄栾城区期中）已知 x1， x2是一元二次方程 x2－4 x －1＝0的两实 数根，则代数式 ＋ －4＝ ⁠. 12. （2023·石家庄赵县月考）若 x ＝2是关于 x 的一元二次方程 x2－4 mx ＋ m2＝0 的一个根，求 m 的值. 解：将 x ＝2代入方程，得22－8 m ＋ m2＝0， 解得 m ＝4±2 ，所以 m 的值是4＋2 或4－2 . 2　 x1＝－3， x2 ＝4　 14　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13. （2023·保定期末）若关于 x 的一元二次方程（ k －1） x2＋3 x ＋ k2－1＝0有一 个解为 x ＝0，求 k 的值. 解：把 x ＝0代入一元二次方程（ k －1） x2＋3 x ＋ k2－1＝0，得 k2－1＝0，解得 k1＝1， k2＝1. ∵ k －1≠0，∴ k ≠1，∴ k ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）（2023·唐山丰润区期中）3（ x －1）2－27＝0； 解：3（ x －1）2－27＝0， 移项，得3（ x －1）2＝27， ∴（ x －1）2＝9， 开方，得 x －1＝±3， 解得 x1＝4， x2＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）（2023·唐山丰润区期中） x2－8 x －9＝0（配方法）； 解： x2－8 x －9＝0， 移项，得 x2－8 x ＝9， 配方，得 x2－8 x ＋16＝25，即（ x －4）2＝25， 开方，得 x －4＝±5， 解得 x1＝9， x2＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （3）（2023·唐山月考） x2－6 x －4＝0； 解：移项，得 x2－6 x ＝4， 配方，得 x2－6 x ＋9＝4＋9， 即（ x －3）2＝13， 开方，得 x －3＝± ， ∴ x1＝3＋ ， x2＝3－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （4）（2023·唐山月考）3 x2＋1＝4 x . 解：原方程可化为3 x2－4 x ＋1＝0. ∵ a ＝3， b ＝－4， c ＝1， ∴（－4）2－4×3×1＝16－12＝4， ∴ x ＝ ＝ ，∴ x1＝1， x2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15. 应用意识　已知关于 x 的方程（ x －3）（ x －2）－ p2＝0. （1）求证：无论 p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根. 解：（1）证明：原方程可化为 x2－5 x ＋（6－ p2）＝0， b2－4 ac ＝（－5）2－ 4×（6－ p2）＝1＋4 p2.∵无论 p 取何值时，4 p2≥0，∴1＋4 p2＞0，即 b2－4 ac ＞0，∴无论 p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根. （2）设方程两实数根分别为 x1， x2，且满足 ＋ ＝3 x1 x2，求实数 p 的值. 解：（2）由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝5， x1· x2＝6－ p2. ∵ ＋ ＝3 x1 x2， ∴（ x1＋ x2）2－5 x1 x2＝0，∴25－5（6－ p2）＝0，解得 p1＝1， p2＝－1， 由 （1），得 p 可取任何实数，故 p 的值为1或－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16. 毕业在即，某商店抓住商机准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50 本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多 8元. （1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？ 解：（1）设学生纪念品的成本为 x 元. 根据题意，得50 x ＋10（ x ＋8）＝440， 解得 x ＝6，∴ x ＋8＝6＋8＝14. 答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）如果商店购进1 200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第 二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价 销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进 价），单价降低 x 元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的 价格全部售出，如果这批纪念品共获利2 500元，问第二周每个纪念品的销售价格 为多少元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解：（2）设第二周单价降低 x 元后，这周的销量为（400＋100 x ）本.由题意， 得400×（10－6）＋（10－ x －6）（400＋100 x ）＋（4－6）[（1 200－400）－（400＋100 x ）]＝2 500， 即1 600＋（4－ x ）（400＋100 x ）－2（400－100 x ）＝2 500， 整理，得 x2－2 x ＋1＝0， 解得 x1＝ x2＝1， 则10－1＝9（元）. 答：第二周每个纪念品的销售价格为9元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. （2023·唐山遵化月考）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的 经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和 3月到4月两次的增长率相同. （1）求该公司销售A产品每次的增长率. 解：（1）设该公司销售A产品每次的增长率为 x ， 依题意，得20（1＋ x ）2＝45， 解得 x1＝0.5＝50％， x2＝－2.5（不合题意，舍去）. 答：该公司销售A产品每次的增长率为50％. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公 司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每 月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？ 解：（2）设每套A产品需降价 y 万元，则平均每月可售出 套， 依题意，得（2－ y ） ＝70， 整理，得4 y2－5 y ＋1＝0， 解得 y1＝ ， y2＝1. ∵尽量减少库存，∴ y ＝1. 答：每套A产品需降价1万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18. （河北中考） a ， b ， c 为常数，且（ a － c ）2＞ a2＋ c2，则关于 x 的方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝0根的情况是（　B　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$