精品解析：江苏省盐城市毓龙路实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023～2024学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 考试时间：100分钟 卷面总分：120分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “明天会下雨”这是一个（　　） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上说法都不对 3. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 要反映某地一天内气温的变化情况宜采用（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 频数分布直方图 D. 折线统计图 5. 下列调查中，适合进行普查的是(　　) A. 《王牌对王牌》电视节目的收视率 B. 防控期间，一个班级每个学生的体温 C. 一批灯泡的使用寿命 D. 我国中学生对防疫知识的掌握情况 6. 如果将分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小到原来的 B. 扩大到原来的3倍 C. 不变 D. 扩大到原来的9倍 7. 如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 当x＝____时，分式的值为零． 10. 一个袋中装有3个红球，5个黄球，4个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到______球的可能性最大． 11. 若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为___________． 12. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）． 13. 如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则______． 14. 如图是七年级（21）班学生上学的不同方式的扇形统计图，若步行人数所占的圆心角的度数为72°，坐车的人数占40%，骑车人数为20人，则该班人数为_____人． 15. 若关于x的方程有增根，则________. 16. 如图，中，，，P是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 化简：，并从﹣1、0、1中选取合适的数代入求值． 19. 如图，在中，E、F分别是边、的一点，且，连接、．求证：． 20. （1）如图①，等边三角形ABC的3个顶点都在上，仅用无刻度的直尺画出关于点O 的中心对称图形. （2）如图②，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接AF、DE，△ABF按顺时针方向旋转后得到△DAE，仅用无刻度的直尺画出旋转中心． 21. 某校数学兴趣小组成员小华对本班上学期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成频数分布直方图和频数、频率分布表，请你根据图表提供的信息，解答下列问题： 分组 49.5~59.5 59.5~69.5 69.5~79.5 79.5~89.5 89.5~100.5 合计 频数 2 20 16 4 50 频率 0.04 0.16 0.4 0.32 1 （1）频数、频率分布表中______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的小华被选上的概率是______． 22. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求菱形的面积． 23. 已知函数经过点． （1）求的值； （2）完成下列表格，并在平面直角坐标系中画出该函数图像； … ① －2 －1 1 2 4 … … －1 －2 －4 4 ② 1 … （3）利用图像直接求出当时，的取值范围是______． 24. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 25. 【问题提出】 课堂上，老师提出了下面的问题： ，，，试比较M与N的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵ ． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】 （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为． 实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”． （2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 26. 已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S． （1）如图1，当四边形是正方形时，x的值为________，S的值为_______； （2）如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求S与x的函数关系式； （3）当_______时，的面积S最小； （4）在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 考试时间：100分钟 卷面总分：120分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义直接判断即可． 【详解】A、是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. “明天会下雨”这是一个（　　） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．据此可得． 【详解】解：“明天会下雨”这是一个随机事件， 故选：C． 【点晴】本题主要考查随机事件，解题的关键是掌握随机事件的概念：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 3. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此解题． 【详解】解：要使分式有意义，则， ， 故选：D． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识是解题关键 4. 要反映某地一天内气温的变化情况宜采用（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 频数分布直方图 D. 折线统计图 【答案】D 【解析】 【分析】条形统计图及频数统计图容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图你呢个反映部分与整体的关系；据此求解即可． 【详解】解：要反映某地一天内气温的变化情况宜采用折线统计图， 故选：D. 【点睛】本题主要考查统计图的选择，熟练掌握各个统计图的特点是解题关键． 5. 下列调查中，适合进行普查的是(　　) A. 《王牌对王牌》电视节目的收视率 B. 防控期间，一个班级每个学生的体温 C. 一批灯泡的使用寿命 D. 我国中学生对防疫知识的掌握情况 【答案】B 【解析】 【分析】根据普查概念解答即课，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式. 【详解】解：选项A：调查范围广，适合采用抽样调查，故不符合题意， 选项B：要求结果非常精确，故适合普查，符合题意， 选项C：调查具有破坏性，故选项C适合抽样调查，故不符合题意， 选线D：调查范围广，无法普查，故不符合题意. 故答案为：B 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 6. 如果将分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小到原来的 B. 扩大到原来的3倍 C. 不变 D. 扩大到原来的9倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 将分式中的x、y分别用代替，然后利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴缩小到原来的， 故选：A． 7. 如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理； 根据题意可知是的中位线，然后由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半计算即可． 【详解】解：∵点D， E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 8. 已知点，均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象的增减性即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数图象在第二、四象限，如图所示， ∴在每个象限中随的增大而增大， ∵， ∴，   故选： A． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 当x＝____时，分式的值为零． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，可得，据此求出x的值是多少即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴ 解得x=3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． 10. 一个袋中装有3个红球，5个黄球，4个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到______球的可能性最大． 【答案】黄 【解析】 【分析】本题考查等可能事件发生的可能性大小，根据不同颜色的球的个数进行判断即可． 【详解】解：∵每个球除颜色外都相同， ∴任意摸出一球的可能性相同， ∵， ∴摸到黄球的可能性最大； 故答案为：黄． 11. 若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题．反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此作答即可． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， 两函数的交点关于原点对称， 一个交点的坐标是， 另一个交点的坐标是． 故答案为：． 12. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）． 【答案】0.8 【解析】 【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，据此可估计出这种玉米种子发芽的概率． 【详解】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近， ， 则这种玉米种子发芽的概率是0.8， 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查概率计算．当频数足够大时，所对应的频率相当于概率． 13. 如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则______． 【答案】##62度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键． 根据旋转的性质知，，然后利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后与重合， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图是七年级（21）班学生上学的不同方式的扇形统计图，若步行人数所占的圆心角的度数为72°，坐车的人数占40%，骑车人数为20人，则该班人数为_____人． 【答案】50 【解析】 【详解】∵步行的人数占总人数的百分比为 ∴骑车人数占总人数的百分比为1﹣40%﹣20%=40%， ∵骑车人数为20人， ∴该班人数为20÷40%=50（人）， 故答案为：50． 15. 若关于x的方程有增根，则________. 【答案】5 【解析】 【分析】先去分母求出方程的根用含m的式子表示，再把增根x=1代入解中求出m. 【详解】解 故x+3=m-1, 故x=m-4， 把增根x=1代入得1=m-4， 解得m=5 故填：5. 【点睛】此题主要考查含增根的分式方程求解，解题的关键是熟知分式方程的求解. 16. 如图，中，，，P是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质，勾股定理及三角形等面积法、等腰三角形的性质，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质得出当时，最小，然后连接，利用等腰三角形的性质得出，再由勾股定理及三角形等面积法即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵P是边上的一个动点， ∴当时，最小， ∵与是对角线，交于点O，， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴即， 解得， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的除法运算，根据运算法则正确的计算是解题的关键． （1）根据异分母的分式的加法法则计算即可； （2）根据分式的除法法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 化简：，并从﹣1、0、1中选取合适的数代入求值． 【答案】 ；当时，原式= 【解析】 【分析】先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴当时，原式= 【点睛】本题考查了分式的混合运算与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 19. 如图，在中，E、F分别是边、的一点，且，连接、．求证：． 【答案】 证明：， ，， ∵， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质和判定是解题的关键． 根据四边形为平行四边形，可得，，再由全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】略 20. （1）如图①，等边三角形ABC的3个顶点都在上，仅用无刻度的直尺画出关于点O 的中心对称图形. （2）如图②，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接AF、DE，△ABF按顺时针方向旋转后得到△DAE，仅用无刻度的直尺画出旋转中心． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）作直线，交于点D，则点D为点A的对称点，同理可作出点B的对称点E，点C的对称点F，依次连接点D，E，F，则为所求； （2）连接，，相交于点O，则点O为所求． 【详解】（1）如图，为所求． （2）如图，点O为所求． 【点睛】本题考查作中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 21. 某校数学兴趣小组成员小华对本班上学期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成频数分布直方图和频数、频率分布表，请你根据图表提供的信息，解答下列问题： 分组 49.5~59.5 59.5~69.5 69.5~79.5 79.5~89.5 89.5~100.5 合计 频数 2 20 16 4 50 频率 0.04 0.16 0.4 0.32 1 （1）频数、频率分布表中______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的小华被选上的概率是______． 【答案】（1），； （2）补全频数分布直方图如图： （3）． 【解析】 【分析】（1）利用频数=频率×总数可得的值，利用频率=频数÷总数可得的值； （2）由（1）的结论中，补全频数分布直方图； （3）根据频率分布表可得信息90分以上的同学有4人，根据概率的公式即可得答案； 【详解】（1）； 故答案为：，； （2）由（1）a=8， （3）根据频率分布表可得信息90分以上的同学有4人， ∴小华被选上的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数分布表和频数分布直方图的综合，概率的简单计算，解答此类题目，要善于发现二者之间的关联点，用频数分布表中某部分的频数除以它的频率求出样本容量，进而求解其它未知的量． 22. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 解：四边形是矩形． 证明：， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． （2）96 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可证明，然后再证明四边形为平行四边形，从而可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，再利用三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 菱形， ， ， ， ， 的面积， 菱形的面积的面积． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 23. 已知函数经过点． （1）求的值； （2）完成下列表格，并在平面直角坐标系中画出该函数图像； … ① －2 －1 1 2 4 … … －1 －2 －4 4 ② 1 … （3）利用图像直接求出当时，的取值范围是______． 【答案】（1）； （2） 故完成表格如下： … -4 －2 －1 1 2 4 … … －1 －2 －4 4 2 1 … 在平面直角坐标系中画出该函数图像如下： （3）0＜y＜4 【解析】 【分析】（1）将点（1，4）代入函数解析式，即可求出k的值，从而得到反比例函数解析式； （2）先完成表格，再在直角坐标系中描点，最后用平滑的曲线连接； （3）根据图像直接回答即可 【小问1详解】 将点（1，4）代入函数得， k=1×4=4， 函数解析式为：； 【小问2详解】 将y=-1代入函数中，得x=-4，将x=2代入函数中，得y=2， 【小问3详解】 由图像可得，当时，的取值范围是0＜y＜4， 故答案为：0＜y＜4， 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求反比例函数的解析式以及函数与不等式的关系等知识，注意掌握函数思想与数形结合思想的应用． 24. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 【答案】（1）新能源车的每千米行驶费用为元， （2）①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可得， 新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； 【小问2详解】 解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 25. 【问题提出】 课堂上，老师提出了下面的问题： ，，，试比较M与N的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵ ． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】 （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为． 实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”． （2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 【答案】 （1） ，， ； （2）解： 证明如下： 加入m克糖后，糖水浓度为， ， ∵， ， 又∵ ， 故答案为：； （3）证明：∵a、b、c为的三边长， ，， ，，． 由（2）的结论知道：，，， 三式相加得： ． 【解析】 【分析】题目主要考查分式的加减运算及分式的基本性质，理解题意，列出分式进行运算是解题关键． （1）根据分式的加减法运算求解即可； （2）根据题意得出加入m克糖后，糖水浓度为，然后利用分式作差求解即可； （3）根据三角形三边关系得出，，，再由分式的性质及加减法证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 26. 已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S． （1）如图1，当四边形是正方形时，x的值为________，S的值为_______； （2）如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求S与x的函数关系式； （3）当_______时，的面积S最小； （4）在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_________． 【答案】（1）2；5 （2） ①连接 四边形为矩形， 四边形为菱形， 即 ② （3） （4） 【解析】 【分析】（1）只要证明即可解决问题； （2）①连接，理由平行线的性质证明即可； ②如图，作于Q，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大，在中，，S的最大．②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小； （4）如图3中，在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长． 【小问1详解】 解：如图1中， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 过点M作于点H． 同法可证， 可得， ． 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 ②， 过点M作，垂足为Q 四边形为矩形 四边形为菱形 在和中 ， ∴ ． 【小问3详解】 如图4中， 当点M在上时，x的值最大，的面积最小， 此时同（2）, ， ∴， ∴， ∴S的最小时，x为； 故答案为： ． 【小问4详解】 解：如图3中， 在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用一次函数的性质确定最值问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $