精品解析：福建省福州市闽侯县第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考（5月）数学试题

闽侯一中2023-2024学年第二学期高二数学第二次月考试卷 命题教师：黄美金 审核教师：黄容光 潘榕 傅秋月 考试时间：5月27日 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 集合，集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求解不等式化简，再用充分必要条件判定得答案. 【详解】或， 或， 则，反之不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C. 3. 为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数天 繁殖个数千个 由最小二乘法得与的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由回归直线必过样本中心求出，再将代入回归方程即可求解. 【详解】由题中数据可得：，， 因为回归直线必过样本中心， 所以， 所以， 所以当时，， 故选：B 4. 如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（　　） A. 72种 B. 48种 C. 24种 D. 12种 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4x3x2x3=72种，故选A． 考点：本题主要考查分步计数原理的应用． 点评：从某一区域涂起，按要求“要求相邻的矩形涂色不同”，分步完成． 5. 已知，均为正数，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】确定，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】当时，，，故，不符合题意，故， ，当，即时等号成立. 故选：B 6. 设是定义域为R的奇函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可 【详解】解：因为是定义域为R的奇函数， 由，得， 该函数的周期为2， 所以. 故选：A 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将和转化为都以为底的对数即可比较和，设，根据导数即可判断和大小关系. 【详解】因为，， 所以，设， 所以，令， 则，因为在上小于，在上大于， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以，， 所以，所以. 故选：D. 8. 定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（ ） A. B. 在取得极小值，极小值为 C. 只有一个零点 D. 若在上恒成立，则 【答案】B 【解析】 【分析】首先构造函数的导数，并求函数的解析式，得，再利用导数判断函数的单调性，即可判断AB；由函数的性质，确定函数的图象，即可判断C；利用参变分离，将不等式恒成立，转化为，利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的最大值. 【详解】∵且，可得， 则有，故（c为常数）， 又，则，得，故，， ， 当，即，解得：，，此时单调递增， 当，即，解得，， 当，即解得：，，此时单调递减， 对于A，由于，单调递增，，单调递减， ∵，可得， ∵，，∵. 故，故A正确： ∴，取得极大值，，故B错误； 对于C，当，，，，，， 画出草图，如图： 根据图象可知：只有一个零点，故C正确； 对D，要在上恒成立 即：在上恒成立， ∵，可在上恒成立， 只需，令，， 当，；单调递增， 当时，；单调递减， ，； 则，即，故D正确； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件构造函数的导数，即可求解函数的解析式. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 展开式中最大的系数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法判断AB，根据通项公式法判断C，根据列举的方法判断D. 【详解】A.令，得，令，得， 所以，故A正确； B.令，则， 所以， ， ，故B正确； C.是的系数，中的系数为，故C错误； D.展开式中，得到奇数次幂的项的系数都是负数，偶数次幂的项的系数都是正数， 正数项有，其中，, ，，所以展开式中的最大的系数是，故D正确. 故选：ABD 10. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和． B. 在线性回归模型拟合中，若相关系数的绝对值越小，则样本的线性相关性越强． C. 在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越大． D. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则． 【答案】AD 【解析】 【分析】对选项A，两边取对数，可得，即可判断A正确，对选项B，根据相关系数的性质即可判断B错误，对选项C，根据的性质即可判断C错误，对选项D，根据回归直线方程过点，即可判断D正确. 【详解】对于A，，两边取对数，可得，则， ，，，故A正确， 对于B，若越大，则样本的线性相关性越强，故B错误； 对于C，在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，回归效果就越好，故C错误； 对于D，回归直线方程中，，故D正确； 故选：AD 11. 已知函数（a为常数），若函数有两个零点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】函数有两个零点，直线与函数在上的图象有两个交点，由导数研究函数单调性，结合函数图象有，由，消去a可判断选项A；设，可得，，构造函数，利用单调性证明，可得判断选项B；，取，则，可判断选项C；构造函数，证时，可得，证得选项D. 【详解】函数，定义域为， 由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点. ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，则， 且当时，，如下图所示： 当时，直线与函数在上的图象有两个交点. 对于A选项，由已知可得，消去a可得，A对； 对于B选项，设，因为， 则， 所以，， 若证，需证，即证，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增，故，即有，B对； 对于C选项，设，取，则，所以，，故，C错； 对于D选项，若证，则需证，即证， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递减，则，即，D对. 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 我校高二年级人参加了期中数学考试，若数学成绩，统计结果显示数学考试成绩在分以上的人数为总人数的，则此次期中考试中数学成绩在分到分之间的学生有_________人. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，由正态密度曲线的对称性求出，乘以可得结果. 【详解】因为，由已知，则， 因此，此次期中考试中数学成绩在分到分之间的学生人数为. 故答案为：. 13. 命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由含有量词的命题的否定，转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】命题“，满足不等式”是假命题， 所以，不等式恒成立， 设，， 则有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，，设方程的3个实根分别为，且，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究的图象，令根据的图象以及已知条件可知，，且，进而可以求出的取值范围. 【详解】由已知可得的定义域为，，令， 得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当趋近于时，趋近于正无穷，当趋近于负无穷时，趋近于，且存零点， 所以的图象如图所示， 的定义域为，令，则，可知必有两个不相等的实数根， 不妨设，因为，所以，，要使有三个不等的实根，则，，即， 解得， 由于，则，， ， 故答案为：. 【点睛】解决嵌套函数零点个数问题的方法就是换元法令，先解决外层函数，再解决内层函数，不断分析，层层递进即可求解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求展开式中的常数项； （2）已知，，的展开式中含项的系数为，含项的系数为，求的近似值.（精确到0.01） 【答案】（1）60；（2）2.02 【解析】 【分析】（1）由，写出展开式的通项，利用通项计算可得； （2）依题意可得且，根据组合数公式求出、的值，再利用二项式展开式计算可得. 【详解】（1）因为， 又的展开式的通项公式为： ，， 令，则，令，则（舍去）， 所以的展开式中常数项为. （2）因为展开式的通项为（且）， 根据题意得，即①. 的展开式中的系数为. 将①变形为代入上式得， 解得或， 所以或，则， 所以. 16. 已知函数. （1）若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值； （2）若，，，求的单调区间. 【答案】（1）极小值，极大值为. （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义可求解，再利用导数判断函数的单调区间，从而可求得极值； （2）求出导函数，对进行分类讨论，即可求得单调区间. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为， ， 则，解得：， 所以， 令，解得：或， 当或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则当时，函数取得极小值，为， 当时，函数取得极大值，为； 【小问2详解】 ，， ，， 当时，，在单调递增， 当时，，，在上单调递增， ，，在上单调递减， ，，在上单调递增， 当时，，，在上单调递增， ，，在上单调递减， ，，在上单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为. 17. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中. （1）如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，设表示“第i次从乙箱中取到填空题”，，2，求第2题抽到的是填空题的概率； （2）若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目. 设：事件：为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题” 事件：“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题” 事件：为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题” ①求，， ②设事件C为：“第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题”，求的概率. 【答案】（1） （2）①，，；② 【解析】 【分析】（1）设表示“第i次从乙箱中取到填空题”，，2，然后根据题意求出，，，再利用全概率公式可求得结果； （2）①根据古典概型的概率公式结合题意直接求解，，，②先由题意求出，，，然后根据全概率公式求解即可. 小问1详解】 设表示“第i次从乙箱中取到填空题”，，2， ，，， 由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为： ； 【小问2详解】 设事件C为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都填空题”， 则，，彼此互斥，且， ①，，， ②，，， . 18. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 女生 16 30 合计 21 注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”． （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系； （2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差； （3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）表格见解析，性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2）， （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先根据题意完成列联表，代入公式可得，即可得到结论； （2）依题意可得X近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率为，从而可得，即可求得和； （3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到Y的分布列和期望值． 【小问1详解】 根据题意可得列联表如下； 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1． 【小问2详解】 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得， 故，． 【小问3详解】 易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以Y的所有可能取值为0，1，2，3， 且Y服从超几何分布： ， ， ， 故所求分布列为 Y 0 1 2 3 P 可得 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数， 是的导函数，则曲线在点处的曲率 （1）求曲线在的曲率； （2）已知函数，求曲率的平方的最大值； （3）函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）1； （3）. 【解析】 分析】（1）根据曲率公式求解即可； （2）根据曲率公式求解函数曲率平方最大值； （3）根据函数在两个不同点曲率为0，通过同构将原问题转换为有两个实数解，再判断单调性即可. 【小问1详解】 因为，则，， 所以. 【小问2详解】 因为（），则，， 所以， 则， 令，则，， 设，则， 显然当时，，单调递减， 所以，所以最大值为1. 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴，， 因为在两个不同的点处曲率为0， 所以有两个大于0的不同实数解， 即有两个不同的零点. 令， ∵， ∴在上单调递增，且值域为R， 所以有两个大于0的实数解， 等价于，有两个不同的实数解. 令，，则， 令得， 时，，即单调递增； 时，，即单调递减； 所以， 又因为当时，； 当时，； 的图象如下所示： 又因为有两个实数解， 所以. 所以m的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面入手： （1）根据曲率公式求解即可； （2）将函数在不同点的曲率问题，通过同构将原问题转换为有两个实数解，通过导数判断单调性，从而确定图象的变化趋势即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 闽侯一中2023-2024学年第二学期高二数学第二次月考试卷 命题教师：黄美金 审核教师：黄容光 潘榕 傅秋月 考试时间：5月27日 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 集合，集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A B. C. D. 3. 为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数天 繁殖个数千个 由最小二乘法得与的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（　　） A. 72种 B. 48种 C. 24种 D. 12种 5. 已知，均为正数，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 6. 设是定义域为R的奇函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，则（ ） A B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（ ） A. B. 在取得极小值，极小值为 C. 只有一个零点 D. 若在上恒成立，则 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 展开式中最大的系数为 10. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和． B. 在线性回归模型拟合中，若相关系数的绝对值越小，则样本的线性相关性越强． C. 在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越大． D. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则． 11. 已知函数（a为常数），若函数有两个零点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 我校高二年级人参加了期中数学考试，若数学成绩，统计结果显示数学考试成绩在分以上人数为总人数的，则此次期中考试中数学成绩在分到分之间的学生有_________人. 13. 命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为______. 14. 已知函数，，设方程的3个实根分别为，且，则的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求展开式中的常数项； （2）已知，，的展开式中含项的系数为，含项的系数为，求的近似值.（精确到0.01） 16. 已知函数. （1）若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值； （2）若，，，求的单调区间. 17. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中. （1）如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，设表示“第i次从乙箱中取到填空题”，，2，求第2题抽到的是填空题的概率； （2）若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目. 设：事件：为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题” 事件：为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题” 事件：为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题” ①求，， ②设事件C为：“第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题”，求的概率. 18. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 女生 16 30 合计 21 注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”． （1）请完成上面列联表，并依据小概率值独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系； （2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差； （3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数， 是的导函数，则曲线在点处的曲率 （1）求曲线在曲率； （2）已知函数，求曲率的平方的最大值； （3）函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$