第07讲 一元二次方程与实际问题（10考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第07讲 一元二次方程与实际问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.使学生会列出一元二次方程解应用题； 2.初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题. 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为1+x+x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 【考点一】传播/分裂问题 1．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？ 2．（2023·贵州黔东南·一模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 3．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36名同学会做这项实验．求每节课每名同学教会多少名同学做实验？ 【考点二】增长率问题 4．（2023·吉林长春·模拟预测）某商场在节日期间将单价200元的某商品经过连续两次降价后，现在的价格与原单价相比共降低了72元．求平均每次降价的百分率． 5．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2018年投资100万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2020年投资121万元． (1)求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； (2)从2018年到2020年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元． 【考点三】营销问题 6．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元． 7．（2023·江苏徐州·模拟预测）某超市将进货价为20元的玻璃杯以25元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种玻璃杯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月5500元的销售利润，超市决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种玻璃杯的售价应定为多少元? 8．（2023·贵州黔东南·一模）某商场将进货单价为30元/盏的台灯以40元/盏售出，平均每月能售出600盏，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就将减少10盏，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯每盏的售价应定为多少？这时平均每月的销售额是多少元？ 【考点四】工程问题 9．（20-21八年级下·浙江温州·期中）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 10．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【考点五】行程问题 11．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 12．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 13．（22-23九年级上·江西南昌·期中）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【考点六】图表信息题 14．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 15．（21-22九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【考点七】数字问退 16．（2024八年级下·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 17．（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 18．（23-24九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 【考点八】与图形有关的问题 19．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．               图1                                          图2 (1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 20．（23-24八年级下·山东淄博·期中）将一条长为的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？请说明理由； (2)这两个正方形的面积之和可能等于吗？请说明理由． 21．（2024·山西晋城·二模）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为米，宽为米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为，求和减少的长度是多少？ 【考点九】动态几何问题 22．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于 23．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 【考点十】其它问题 24．（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 25．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某人把元存入银行，定期一年，到期他取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期仍为一年，利率不变，到期后全部取出，正好是元，求这种存款的年利率（不计利息税） 26．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）【课本再现】 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛． （1）①共有______场比赛； ②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他______个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以可列方程：______． 【小试牛刀】 （2）参加聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了45次，有多少人参加聚会？ 一、单选题 1．（2023·贵州遵义·模拟预测）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，年销量为万辆，销量逐年增加，到年销量为万辆．设年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·山东青岛·模拟预测）某品牌衣服经过两次降价，每件售价由800元降为512元，若两次降价的百分率都为x，那么符合题意的方程（　　） A． B． C． D． 3．（2023·宁夏银川·模拟预测）商场将进货价为30元件的某种商品以60元/件出售时每天能卖出20件，若每降价1元，则每天可多卖出4件，若降价x元，每天盈利1200元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·重庆江津·期中）近年来，高利贷披上了“校园贷款”的外衣，将罪恶的魔爪伸向了纯洁的校园．不少学生因为借了校园贷，利滚利欠下了巨额贷款．假如小林贷款6万，“利滚利”的月平均利率为x，小林2个月总共需还18万元，根据题意，以下所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·吉林长春·模拟预测）《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距 步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·云南昆明·期末）2023年10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了我国乒乓球队员强大的实力，某小组赛采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为场．若设参赛队伍有支，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·福建厦门·模拟预测）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩余椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（    ） A．剩余椽的数量 B．这批椽的数量 C．剩余椽的运费 D．每株椽的价钱 8．（2023·贵州遵义·一模）如图，某小区计划在一个长，宽的长方形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·重庆铜梁·一模）从前，有一个木工师傅甲拿着木条进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一个木工师傅乙叫他沿着门的两个对角斜着拿木条，木工师傅甲按照木工师傅乙的方法一试，不多不少刚好进去了，你知道木条有多长吗？若设木条的长为尺，则下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 二、填空题 11．（2023·江苏盐城·模拟预测）一条长的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于，其中较小正方形的边长为 ． 12．（16-17九年级上·天津南开·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为 ． 13．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 ． 14．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为 ． 15．（23-24九年级上·四川遂宁·期中）如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为 ． 三、解答题 16．（2023·贵州铜仁·模拟预测）油菜是我国种植的第一大油料作物，菜籽油占国产食用植物油以上，选育高产油品种是保障食用油供给的重要举措．其中“油研2013”是贵州省农业科学院、油菜研究所、油料研究所联合禾睦福种子有限公司研发的一个新品种，攻坚第一阶段实现了亩产量公斤的目标，第三阶段实现了亩产量公斤的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； (2)按照（2）中亩产量增长率，科研团队期望在第四阶段实现亩产公斤的目标，请通过计算说明他们的目标能否实现． 17．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）小欣想要硬化自己家的院内的一块空地，经测量后设计了如右图的图纸（单位：厘米），阴影区域为宽度相等的一条“L”形的健身鹅卵石小路，空白部分为地砖铺设区域．要使地砖铺设区域的面积为14平方米，求地砖铺设区域的长和宽． 18．（2023·四川乐山·模拟预测）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”得到如图1所示大小两个正方形． (1)用含a的代数式表示图2中小正方形的边长； (2)若图2中，大正方形面积是小正方形面积的13倍，求a值． 19．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）某中学需要购进100个某品牌的足球供学生使用,经调查,该品牌足球2021年的单价为200元，2023年的单价为162元 (1)求2021年到2023年该品牌足球单价平均每年降低的百分率. (2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案: 试问去哪个商场购买足球更优惠? 20．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，， ， ，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 一元二次方程与实际问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.使学生会列出一元二次方程解应用题； 2.初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题. 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为1+x+x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 【考点一】传播/分裂问题 1．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？ 【答案】主干长出了6个支干 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设主干长出x个支干，则长出个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43列出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：设主干长出x个支干，则长出个小分支， 根据题意得：， 即， 解得： 或（不合题意舍去）． 答：主干长出了6个支干． 2．（2023·贵州黔东南·一模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染个人． (2)． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1） 解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染个人． （2） 则第三轮的患病人数为：． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36名同学会做这项实验．求每节课每名同学教会多少名同学做实验？ 【答案】5 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出两节课教会的人数是解题关键． 设平均每节课一人教会x人，第一节课后会做的有人，第二节课教会人，会做的有人，据此列方程求解即可． 【详解】解：设每节课一人教会x人，根据题意可得： ， 解得：（不合题意舍去） 答：每节课一人教会5人． 【考点二】增长率问题 4．（2023·吉林长春·模拟预测）某商场在节日期间将单价200元的某商品经过连续两次降价后，现在的价格与原单价相比共降低了72元．求平均每次降价的百分率． 【答案】平均每次降价的百分率为 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列出方程是解题的关键．设平均每次降价的百分率为x，列出方程求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：平均每次降价的百分率为． 5．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2018年投资100万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2020年投资121万元． (1)求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； (2)从2018年到2020年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元． 【答案】(1)该学校为新增电脑投资的年平均增长率为10%； (2)从2018年到2020年，该中学三年为新增电脑共投资331万元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意把不合题意的解舍去． （1）设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据以后每年以相同的增长率进行投资，2020年投资121万元，列出方程，求出方程的解即可； （2）分别求出该中学每年为新增电脑投资的钱数，再把所得的结果相加即可． 【详解】（1）解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为x， 根据题意得， 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 答：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为． （2）根据题意得：， （万元） 答：从2018年到2020年，该中学为三年新增电脑共投资331万元． 【考点三】营销问题 6．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元． 【答案】每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元． 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系正确列式．设每个粽子的定价为元时，由于每天的利润为800元，根据利润（定价进价）销售量，列出方程求解即可． 【详解】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元． 根据题意，得， 解得，， 售价不能超过进价的2倍， ．即， ， 答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元． 7．（2023·江苏徐州·模拟预测）某超市将进货价为20元的玻璃杯以25元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种玻璃杯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月5500元的销售利润，超市决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种玻璃杯的售价应定为多少元? 【答案】这种玻璃杯的售价应定为元 【分析】本题主要考查了一元二次方程在营销问题上的应用，解题的关键在于列出售价与利润之间的关系式，但是要注意，题意中的要求，为了扩大销售量，减少库存，所以在相同利润的情况下，应选取售价较低，销售量较高的方案． 【详解】解：设这种玻璃杯的售价应定为元，根据题意列方程为： ， 解得：或， 当时，销售量为个； 当时，销售量为个， ∵， ∴应舍去． 答：这种玻璃杯的售价应定为元． 8．（2023·贵州黔东南·一模）某商场将进货单价为30元/盏的台灯以40元/盏售出，平均每月能售出600盏，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就将减少10盏，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯每盏的售价应定为多少？这时平均每月的销售额是多少元？ 【答案】售价50元，销售额25000元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据定价和销售量的关系，利用利润列方程求解．设售价定为元/盏，那么就少卖出盏，列方程求解即可． 【详解】解：设售价定为元， ， 整理，得， 解得：，， 因售价在40元至60元范围内应舍去， 当时， （元）， 答：这种台灯每盏的售价应定为50元，这时平均每月的销售额是25000元？ 【考点四】工程问题 9．（20-21八年级下·浙江温州·期中）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 10．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【考点五】行程问题 11．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 12．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 13．（22-23九年级上·江西南昌·期中）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【考点六】图表信息题 14．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（21-22九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【考点七】数字问退 16．（2024八年级下·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 【答案】257 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解数字与每个位上的数字的关系是关键．设该三位数的百位数字是，则十位数字是，个位数字是．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程． 【详解】解：设该三位数的百位数字是为正整数），则十位数字是，个位数字是．则： ， 整理，得：， 所以． 所以或， 解得，或（舍去）， 则，， 则该三位数是257． 答：这个数是257． 17．（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是根据题意找到进制转化的方法． （1）根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得的结果相加即可； （2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2）依题意有：， 解得，负值舍去． 故的值是． 18．（23-24九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 【答案】(1) (2)这两个正整数分别是4和5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）首先求出这两个连续的正整数中较大的数是4，然后列式求解即可； （2）设较小的整数是，则较大的整数是，根据题意列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵这两个连续的正整数中，较小的数是3， ∴较大的数是4， ∴它们的平方之和为； （2）设较小的整数是，则较大的整数是， 由题可得：， 方程可化为：， 把方程左边因式分解，得：， 解得：，（舍去）， 答：这两个正整数分别是4和5． 【考点八】与图形有关的问题 19．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．               图1                                          图2 (1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【答案】(1)2cm (2)不能，详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖收纳盒的底面为长，宽为的长方形，根据该无盖收纳盒的底面积为，可列出关于的一元二次方程求解； （2）设剪去小长方形的宽为，则折成的有盖的长方体收纳盒的底面为长，宽为，根据盒子的底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出值，将其符合题意的值代入及中，可得出折成的有盖的长方体收纳盒的长、宽、高，再结合玩具机械狗的尺寸大小，即可得出玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，则该收纳盒的底面是长为，宽为的长方形， 根据题意得， 整理得：， 解得（不合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为． （2）（2）不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 理由如下： 设剪去的小长方形的宽为，则该收纳盒的底面是长为，宽为， 根据题意得， 整理得， 解得（不合题意，舍去）， ， 折成的有盖的长方体收纳盒的长为，宽为，高为， ， 不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 20．（23-24八年级下·山东淄博·期中）将一条长为的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？请说明理由； (2)这两个正方形的面积之和可能等于吗？请说明理由． 【答案】(1)剪成的一段为，另一段为 (2)不可能，理由见详解 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，此题等量关系是：两个正方形的边长之和一定．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键． （1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，根据“两个正方形的面积之和等于”作为相等关系列方程，解方程即可求解； （2）由题意建立方程，解方程发现一个根比14大，一个根为负数，均不符合题意． 【详解】（1）解：设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为， 依题意列方程得， 整理得：， ， 解方程得，， ，； 因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是、； （2）解：当，即时， 解得，， ，得，，均不符合题意，舍去， 这两个正方形的面积之和不可能等于． 21．（2024·山西晋城·二模）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为米，宽为米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为，求和减少的长度是多少？ 【答案】米 【分析】考查了一元二次方程的应用，设和减少的长度为米，根据题意列出方程求解即可， 理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键． 【详解】解：设和减少的长度为米， 根据题意，得， 解得：（不合题意，舍去），， 答：和减少的长度为米． 【考点九】动态几何问题 22．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．设出运动所求的时间，可将和的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出． 【详解】解：设点P，Q运动的时间为，则，，则， 的面积等于， ，即， 解方程得，，， 经过或时，的面积等于． 23．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 【答案】(1)当t为5时，四边形的面积为 (2)当t为或时．线段的长为 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键； （1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可； （2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，． 由题意得， 解得． 答；当t为5时，四边形的面积为． （2）如图，过点Q作于点M，则， 由题意知．． 在中．由勾股定理得， 即， 解得，．经检验符合题意； 答：当t为或时．线段的长为． 【考点十】其它问题 24．（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 【答案】(1)设应邀请6支球队参加比赛 (2)实际共比赛22场 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设应该邀请支球队参加比赛，根据双循环比赛安排30场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用比赛总场次数该球队参加的场次数剩下5支球队实行双循环比赛的场次数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设应邀请x支球队参加比赛， 由题意得： 解得：，（不合题意，舍去）． 答：设应邀请6支球队参加比赛． （2）解：（场） 答：实际共比赛22场． 25．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某人把元存入银行，定期一年，到期他取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期仍为一年，利率不变，到期后全部取出，正好是元，求这种存款的年利率（不计利息税） 【答案】定期一年的利率是 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设定期一年的利率是，则存入一年后的利息和本金是，取出300后为，再根据再存一年得出方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确得出方程是解此题的关键． 【详解】解：设定期一年的利率是， 根据题意得：一年时：， 取出300后剩：， 同理两年后是， 即方程为， 解得：，（不符合题意，故舍去）． 答：定期一年的利率是． 26．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）【课本再现】 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛． （1）①共有______场比赛； ②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他______个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以可列方程：______． 【小试牛刀】 （2）参加聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了45次，有多少人参加聚会？ 【答案】（1）①28；②，；（2）人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， （1）①利用乘法运算即可求解； ②可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程； （2）同（1）的方法列出一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可求解． 【详解】解：(1)①共有场比赛； ②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有场比赛， 根据题意，列出相应方程：， 故答案为：28；②，； (2)设有人参加聚会， 根据题意，得：， 解得，(舍去) 答：一共有人参加聚会． 一、单选题 1．（2023·贵州遵义·模拟预测）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，年销量为万辆，销量逐年增加，到年销量为万辆．设年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设年平均增长率为，由题意可知等量关系：年的销量，根据等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设年平均增长率为，可列方程为： ， 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意列出方程是解题的关键． 2．（2023·山东青岛·模拟预测）某品牌衣服经过两次降价，每件售价由800元降为512元，若两次降价的百分率都为x，那么符合题意的方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．设每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意得： ， 故选：A 3．（2023·宁夏银川·模拟预测）商场将进货价为30元件的某种商品以60元/件出售时每天能卖出20件，若每降价1元，则每天可多卖出4件，若降价x元，每天盈利1200元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 若降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该商品获得的总利润每件的销售利润日销售量，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：若降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 根据题意得：． 故选：A． 4．（23-24九年级上·重庆江津·期中）近年来，高利贷披上了“校园贷款”的外衣，将罪恶的魔爪伸向了纯洁的校园．不少学生因为借了校园贷，利滚利欠下了巨额贷款．假如小林贷款6万，“利滚利”的月平均利率为x，小林2个月总共需还18万元，根据题意，以下所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用小林2个月后总共需还18万元=小林借贷6万元月平均利率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】根据题意得：． 故选：C． 5．（2023·吉林长春·模拟预测）《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距 步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设正方形的边长是步，根据圆的面积减去正方形的面积即可求解． 【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是 故选：C． 6．（23-24九年级上·云南昆明·期末）2023年10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了我国乒乓球队员强大的实力，某小组赛采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为场．若设参赛队伍有支，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，由参赛队伍有支，知每只参赛队伍参加场比赛，根据题意可列出方程，解题关键是熟练掌握单循环制的特点：若参赛队伍有 支，则比赛总场数为场，对于双循环制，若参赛队伍有支，则比赛总场数为场． 【详解】解：设参赛队伍有支，则每只队伍参加场比赛， 根据题意得：， 故选：． 7．（2023·福建厦门·模拟预测）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩余椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（    ） A．剩余椽的数量 B．这批椽的数量 C．剩余椽的运费 D．每株椽的价钱 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，分式方程，可得出表示少拿一株掾后的运费，表示一株掾的价钱，进而可得出表示这批掾的数量． 【详解】解：每株掾的运费是3文，那么少拿一株掾后，剩下的掾的运费恰好等于一株掾的价钱， 表示少拿一株掾后的运费，表示一株掾的价钱， 表示这批掾的数量． 故选：B． 8．（2023·贵州遵义·一模）如图，某小区计划在一个长，宽的长方形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由小路的宽为，可得出种草的部分可合成长为，宽为的长方形，结合草坪部分的总面积为，可得出关于的一元二次方程，整理后即可得出结论． 【详解】 解：小路的宽为， 种草的部分可合成长为，宽为的长方形． 根据题意得：， 整理得：． 故选：C． 9．（2023·重庆铜梁·一模）从前，有一个木工师傅甲拿着木条进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一个木工师傅乙叫他沿着门的两个对角斜着拿木条，木工师傅甲按照木工师傅乙的方法一试，不多不少刚好进去了，你知道木条有多长吗？若设木条的长为尺，则下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握勾股定理是解决问题的关键． 先根据题意用木条的长为，表示出门框的长、宽、以及竹竿长是直角三角形的三个边长，然后根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺． ∴门框的长为尺，宽为尺， 由勾股定理可得：． 故选：A． 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 二、填空题 11．（2023·江苏盐城·模拟预测）一条长的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于，其中较小正方形的边长为 ． 【答案】4 【分析】考查了一元二次方程的应用，此题要数形结合，结合图形，设出未知数，然后根据题意列出方程，利用方程即可解决问题． 本题可设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，又因两个正方形的面积和等于，则可列出方程求解即可． 【详解】解：设一个正方形的边长为， 正方形的四边相等， 此正方形的周长是，另一个正方形的边长是， 根据题意得， 解得，． 当时，； 当时，， 所以另一个正方形的边长为和． 较小正方形的边长为． 故答案为：4． 12．（16-17九年级上·天津南开·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设主干长出个支干，由题意列出方程即可，根据题意的等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】设主干长出个支干，小分支的数量为（个）， 根据题意可列出方程：， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可． 【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为， 由题意得，， 解得：， ∴他去世时年龄为或， 又∵他去世时的年龄大于， ∴他去世时的年龄为 故答案为：． 14．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键．根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）， 即m的值为， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·四川遂宁·期中）如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 故答案为：． 三、解答题 16．（2023·贵州铜仁·模拟预测）油菜是我国种植的第一大油料作物，菜籽油占国产食用植物油以上，选育高产油品种是保障食用油供给的重要举措．其中“油研2013”是贵州省农业科学院、油菜研究所、油料研究所联合禾睦福种子有限公司研发的一个新品种，攻坚第一阶段实现了亩产量公斤的目标，第三阶段实现了亩产量公斤的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； (2)按照（2）中亩产量增长率，科研团队期望在第四阶段实现亩产公斤的目标，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用； （1）设亩产量的平均增长率为，依题意列出关于的一元二次方程，求解即可； （2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可． 【详解】（1）解：设亩产量的平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：亩产量的平均增长率为． （2）第四阶段的亩产量为（公斤）， ∵， ∴他们的目标可以实现． 17．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）小欣想要硬化自己家的院内的一块空地，经测量后设计了如右图的图纸（单位：厘米），阴影区域为宽度相等的一条“L”形的健身鹅卵石小路，空白部分为地砖铺设区域．要使地砖铺设区域的面积为14平方米，求地砖铺设区域的长和宽． 【答案】地砖铺设区域的长为4米，宽为米 【分析】本题考查了一元二次方程在图形方面的应用，根据题意正确列出方程是关键；设小路的宽为x米，则可分别表示出地砖铺设区域的长和宽，根据等量关系：地砖铺设区域的面积为14平方米，列出方程并解之即可．注意舍去不合题意的解． 【详解】解：设小路的宽为x米，则地砖铺设区域的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴（米），（米）； 答：地砖铺设区域的长为4米，宽为米． 18．（2023·四川乐山·模拟预测）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”得到如图1所示大小两个正方形． (1)用含a的代数式表示图2中小正方形的边长； (2)若图2中，大正方形面积是小正方形面积的13倍，求a值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】本题主要考查了勾股定理以及正方形的性质，解决问题的关键是依据大正方形面积是小正方形面积的13倍，列出一元二次方程进行计算． （1）图2中小正方形的边长等于直角三角形的两直角边的差； （2）依据大正方形面积是小正方形面积的13倍，列方程求解即可． 【详解】（1）解：图2中小正方形的边长为； （2）解：由题得：， 化简得：， ， 或． 19．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）某中学需要购进100个某品牌的足球供学生使用,经调查,该品牌足球2021年的单价为200元，2023年的单价为162元 (1)求2021年到2023年该品牌足球单价平均每年降低的百分率. (2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案: 试问去哪个商场购买足球更优惠? 【答案】(1) (2)去商场购买足球更优惠 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设2021年到2023年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为，根据2021年及2023年该品牌足球的单价，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商 城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设2021年到2023年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为， 根据题意得：， 解得：或(舍去)． 答：2021年到2023年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为． （2）解：个 在A商城需要的费用为元)， 在B商城需要的费用为(元)． ． 答：去商场购买足球更优惠． 20．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，， ， ，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 【答案】(1)； (2)秒或秒； (3)的面积不会达到，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由三角形的面积公式可求解； 设点移动经过秒，的面积为，列出方程可求解； 列出方程，由，可得的面积不会达到． 【详解】（1）解：当点移动时间为秒时，，， ∴， ∴的面积； （2）解：设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ∴或， 答∶点移动经过秒或秒，的面积为； （3）解：的面积不会达到．理由如下∶ 设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不会达到． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$