第05讲 成比例线段 相似图形-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第05讲 成比例线段 相似图形思维导图 知识点1 成比例线段 一、成比例线段的定义 成比例线段是指四条线段a、b、c、d满足a/b=c/d，那么这四条线段就是成比例线段。 二、成比例线段的性质 如果a、b、c、d是成比例线段，那么它们具有以下性质： 1. 如果一条线段是成比例线段的一部分，那么这条线段与另一条线段的比值等于另外两条线段的比值。 2. 成比例线段中，任意两条线段长度的比值是恒定的。 平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（如AB与DE、BC与EF、AC与DF），对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 知识点2 相似图形 一、相似图形的定义 相似图形指的是形状相同但大小不一定相等的图形。相似图形只与图形的形状有关，与图形的大小、位置无关。 二、相似多边形的性质 相似多边形的对应边成比例，对应角相等。实际上，这也是判定两个多边形是否相似的方法，即对于两个边数相同的多边形，如果对应边成比例且对应角相等，那么这两个多边形相似。 教材习题01 已知四个数a，b，c，d成比例． (1)若，，，求d； (2)若， ，，求c． 教材习题02 已知： (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． 教材习题03 如图，已知，它们依次交直线于点和点，如果，求的长．    教材习题04 如图，四边形四边形，，，，求的度数． 考点一、成比例线段 1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．在下列四组线段中，成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 3．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 考点二、相似图形 1．下列选项中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 3．下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   考点三、相似多边形 1．两个下列图形必定互为相似形的是（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 2．下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 3．在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似 考点四、比例线段 1．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 2．已知点B在线段上，且，若，则线段 ． 3．已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 考点五、黄金分割 1．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（  ） A．3.82 B．4.82 C．6.18 D．6.28 2．研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，如图，主持人现站在6米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 米（结果保留根号）．（说明：黄金分割比的数学表达式为，其中 1 是整体的长度， 是较小部分的长度，x是黄金分割比例，约等于0.618．黄金分割比的确切值是） 3．【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 考点六、比例的性质 1．若，则（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的值是 ． 3．已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 考点七、相似多边形的性质 1．如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么纸的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 2．已知四边形四边形，且，若四边形的周长为15，则四边形的周长为 ． 3．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 考点八、平行线分线段成比例求解 1．如图，已知，则的长为（   ） A．9.6 B．6.4 C．4.8 D．3.2 2．等腰中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点，若，则的值为 ． 3．菱形中，是对角线上一动点，为射线上一动点，． (1)如图1，点在点右边，当，时，与的大小关系为___________；___________度． (2)如图2，若点三点共线，且于，四边形和面积分别记为，求． (3)如图3，若，，求当___________度时，的最小，最小值是___________． 知识导图记忆 1．若，则的值是（   ） A． B． C．20 D． 2．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（   ） A．每条边的长度 B．每个内角的度数 C．面积 D．周长 3．如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 6．若，则 ． 7．已知五边形五边形，且，若五边形的面积为，则五边形的面积为 ． 8．若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为 ． 9．如图，，若，．则 10．如图，在中，，平分交于点，于，为中点，连接，过作交于．则下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④若，，则线段的长为7．其中一定正确的结论是 ．（请将正确结论的序号填在横线上） 11．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 12．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小． 13．在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 14．如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 15．请用直尺（无刻度）和圆规按下面要求作出符合条件的图形，不写作法但要求写出必要的文字说明（保留作图痕迹）． (1)如图1，，请在边上确定一点P，使得的面积等于的面积； (2)如图2，，D是边的中点，请在边上确定一点P，使得； (3)如图3，四边形，且均为锐角，请在边上求作一点P，使得的面积等于的面积的一半． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 成比例线段 相似图形思维导图 知识点1 成比例线段 一、成比例线段的定义 成比例线段是指四条线段a、b、c、d满足a/b=c/d，那么这四条线段就是成比例线段。 二、成比例线段的性质 如果a、b、c、d是成比例线段，那么它们具有以下性质： 1. 如果一条线段是成比例线段的一部分，那么这条线段与另一条线段的比值等于另外两条线段的比值。 2. 成比例线段中，任意两条线段长度的比值是恒定的。 平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（如AB与DE、BC与EF、AC与DF），对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 知识点2 相似图形 一、相似图形的定义 相似图形指的是形状相同但大小不一定相等的图形。相似图形只与图形的形状有关，与图形的大小、位置无关。 二、相似多边形的性质 相似多边形的对应边成比例，对应角相等。实际上，这也是判定两个多边形是否相似的方法，即对于两个边数相同的多边形，如果对应边成比例且对应角相等，那么这两个多边形相似。 教材习题01 已知四个数a，b，c，d成比例． (1)若，，，求d； (2)若， ，，求c． （1）解：∵四个数a，b，c，d成比例， ∴， ∵，，， ∴， 即， ∴． （2）解：∵四个数a，b，c，d成比例， ∴， ∵， ，， ∴， 即． ∴． 教材习题02 已知： (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． （1）解：∵，且，， ∴， ∴， 又∵， ∴，； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 教材习题03 如图，已知，它们依次交直线于点和点，如果，求的长．    解：∵， ， 即， 解得 ， ． 教材习题04 如图，四边形四边形，，，，求的度数． 解：，，， ， 四边形四边形， ． 考点一、成比例线段 1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解： A．，这四条线段不成比例，故不符合题意； B．，这四条线段成比例；符合题意； C．，这四条线段不成比例，故不符合题意； D．，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选：B． 2．在下列四组线段中，成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例线段，熟练掌握成比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的性质可直接进行排除选项即可． 【详解】解：A、，故3、4 、5 、6不是成比例线段，不符合题意； B、，故不是成比例线段，不符合题意； C、，故是成比例线段，符合题意； D、，故不是成比例线段，不符合题意． 故选：C． 3．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段．根据成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质可求出． 【详解】解：线段，，，是成比例线段， ， 即， 解得． 故选：C． 考点二、相似图形 1．下列选项中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状相同，相似，符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意。 故选：A． 2．人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义． 结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，选项正确． 故选：． 3．下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断．判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项中D的两个图形不相似； 故选：D． 考点三、相似多边形 1．两个下列图形必定互为相似形的是（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形，根据相似多边形的定义进行判定即可． 【详解】解：A．两个等腰三角形的内角不一定对应相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意； B．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形对应角相等，对应边成比例，因此两个正方形一定相似，故C符合题意； D．两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个等腰梯形不一定相似，故D不符合题意． 故选：C． 2．下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握相似图形的对应边成比例，对应角相等和等腰三角形，等边三角形，正方形的性质是解决此题的关键．根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：A、两个正方形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，不符合题意； B、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，不符合题意； C、各有一个角是的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是，而另一个等腰三角形的顶角是，则两个三角形就不相似，所以不一定相似，符合题意； D、各有一个角是的两个等腰三角形，的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似，不符合题意； 故选：C． 3．在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【详解】解：①②③的邻边之比分别为：， ∴相似的是②③， 故选：B． 考点四、比例线段 1．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例尺，用到的知识点是比例的性质，解题的关键是根据性质列出方程，注意单位的换算．设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得，求出的值，再把单位换算为即可． 【详解】解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得： ，解得， ． 故选：D． 2．已知点B在线段上，且，若，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的性质及解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得，，（舍去）， ∴ 故答案为：． 3．已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【答案】(1)线段的长为18，线段的长为12 (2)线段的长为 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， ， ，， 线段的长为18，线段的长为12． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为． 考点五、黄金分割 1．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（  ） A．3.82 B．4.82 C．6.18 D．6.28 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，结合求解，即可解题． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴， ∴， 故选：A． 2．研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，如图，主持人现站在6米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 米（结果保留根号）．（说明：黄金分割比的数学表达式为，其中 1 是整体的长度， 是较小部分的长度，x是黄金分割比例，约等于0.618．黄金分割比的确切值是） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用．设至少向前走米，由黄金比列方程解答即可． 【详解】解：设至少向前走米， 依题意得，， 解得，． 即主持人站在最佳位置处时至少要走米， 故答案为：． 3．【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了黄金分割，黄金矩形，折叠与矩形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握黄金分割的定义． （1）根据四边形是正方形得，由折叠的性质得，，在中，根据勾股定理得即可得； （2）四边形是菱形，由折叠的性质可知，，，证明四边形为平行四边形，由，即可证明； （3）根据黄金矩形的定义证明即可得． 【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且， ∴，， 又∵矩形与矩形相等， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又∵四边形为矩形， ∴，则， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （3）证明：∵，，， ∴， 则， 故四边形为黄金矩形， ∵，，， ∴， ∴， 故四边形为黄金矩形． 考点六、比例的性质 1．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例，根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例性质，根据比例性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 【答案】(1)1； (2)，，． 【分析】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力． （1）令，，，把，，，代入，即可计算； （2）把，，，代入，求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 令，，， ， ． （2）， ， ， ， ，，． 考点七、相似多边形的性质 1．如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么纸的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，设原来矩形的长为，宽为，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案． 【详解】解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为， 纸和纸的长宽比例是相等的， ， 解得． 故选：B． 2．已知四边形四边形，且，若四边形的周长为15，则四边形的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查相似多边的性质，根据周长比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，且， ∴， ∵四边形的周长为15， ∴四边形的周长， 故答案为：9． 3．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为与． (2)不存在，理由见解析。 【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． 【详解】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与． 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 考点八、平行线分线段成比例求解 1．如图，已知，则的长为（   ） A．9.6 B．6.4 C．4.8 D．3.2 【答案】A 【分析】本题考查求线段长，涉及平行线的判定、平行线分线段成比例等知识，先由判定，再由平行线分线段成比例得到，代值求解即可得到答案，熟记平行线的判定及平行线分线段成比例是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 由平行线分线段成比例可得，则， 即， 解得， 故选：A． 2．等腰中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟悉定理内容并应用是解题的关键．过点E作，交于点D，则由平行线分线段成比例得；设，则，易得；设，利用得，即可求得，然后计算即可． 【详解】解：如图，过点E作，交于点D， 则； 设，则， ∵， ∴； 设； ∵， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故答案为：． 3．菱形中，是对角线上一动点，为射线上一动点，． (1)如图1，点在点右边，当，时，与的大小关系为___________；___________度． (2)如图2，若点三点共线，且于，四边形和面积分别记为，求． (3)如图3，若，，求当___________度时，的最小，最小值是___________． 【答案】(1)=，116 (2) (3)75； 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判断和性质等知识点，构造得到是解题的关键． （1）根据菱形的性质得出和关于对称，便可得出两个三角形的面积关系；根据三角形外角的性质得到，进而得到，然后由通过等量代换即可解答． （2）先通过勾股定理求出的长，然后由平行线分线段成比例得出，求出的长度进而求出，再通过菱形关于对角线对称的性质得出，然代入相关数据计算即可解答． （3）通过构造得到，再由B、E、G三点共线时确定最小时点E的位置，然后由为等腰直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴和关于对称， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． ∴． 故答案为：=；116． （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，解得：， 如图：连接，则， 由（1）可知，． ∴． （3）解：如图：过点D作，截取，连接． ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，即， ∵菱形， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 由于B、G两点为定点，E为动点，当点E在线段上时，最小，即最小． ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当最小时，． 故答案为：75；． 知识导图记忆 1．若，则的值是（   ） A． B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接计算即可，熟练掌握比例的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 故选B． 2．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（   ） A．每条边的长度 B．每个内角的度数 C．面积 D．周长 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的性质．根据相似多边形的性质即可得解． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形相比较是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，但每个内角的度数保持不变． 故选：B． 3．如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， ∴， ∴放大后的宽是， 放大后的矩形的面积． 故选：D． 4．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：D． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质及求代数式的值，根据条件利用“设法”是解题的关键． 设，则、、，代入已知等式中，即可求得结果． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 故选：A． 6．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 7．已知五边形五边形，且，若五边形的面积为，则五边形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形面积之比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：五边形五边形，且， 面积比为， 五边形的面积为， 五边形的面积为， 故答案为：． 8．若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积的比等于相似比平方是解题的关键．根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答即可求出结果． 【详解】解：∵两个相似多边形的对应边长分别为和， ∴相似比为：， ∴面积为：， 故答案为：． 9．如图，，若，．则 【答案】/ 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确运用定理找准对应关系是解题的关键． 由已知线段得出，根据平行线分线段成比例定理即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，，平分交于点，于，为中点，连接，过作交于．则下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④若，，则线段的长为7．其中一定正确的结论是 ．（请将正确结论的序号填在横线上） 【答案】①②③ 【分析】延长延长交于点H，证明得，，，结合外角的性质可判断①正确；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断②正确；由平行四边形的性质可判断③正确；由得，从而，整理得，设，则，，由平行线分线段成比例定理得，进而可判断④不正确． 【详解】解：延长交于点H， ∵平分交于点D，于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵M为中点，E为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，故②正确； ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵，即， ∴， 整理得， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、平行线分线段成比例定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 11．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）根据比例的性质进行计算，即可解答； （2）代入到中，即可解答． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 12．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小． 【答案】x=24，y=28，α=75° 【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题． 【详解】∵两个四边形相似， ∴20：5=x：6=y：7， 解得：x=24，y=28， ∵四边形内角和等于360°， ∴α= =75°， ∴x=24，y=28，α=75°． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键． 13．在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 【答案】(1)不相似，见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）首先设四周的小路的宽为x，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，继而求得答案． 【详解】（1）解：不相似，理由如下： 如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似； 设四周的小路的宽为x， ∵，， ∴， ∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）解：当小路的宽x与y的比值为时， 矩形和矩形相似． 理由如下： 当矩形和矩形相似时，解得 所以当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似． 14．如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键． （1）根据，得到，结合，求出的长即可； （2）根据，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴． 15．请用直尺（无刻度）和圆规按下面要求作出符合条件的图形，不写作法但要求写出必要的文字说明（保留作图痕迹）． (1)如图1，，请在边上确定一点P，使得的面积等于的面积； (2)如图2，，D是边的中点，请在边上确定一点P，使得； (3)如图3，四边形，且均为锐角，请在边上求作一点P，使得的面积等于的面积的一半． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了尺规作图：作已知线段的垂直平分线，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，线段垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理，正确理解题意是解题的关键． （1）作出线段的垂直平分线与交点即为点P，连接，则的面积等于的面积； （2）作交于P． （3）连接，作中点，连接，以、为邻边作，交于点P即可． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，与交于点P，点P即为所作； 连接，由作法可知：，与等底等高，则的面积等于的面积； （2）解：如图，作交于P．点P即为所作， ， ； （3）解：连接，作中点，连接，以、为邻边作，交于点P，点P即为所作． 由作法可知：点是中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，作于，交于， ， ， ，， ． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$