广东实验中学2023-2024学年高三教学情况测试（一）数学B卷

广东实验中学2023~2024学年度高三教学情况测试(一) 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3. 本卷满分150分,考试时间120分钟。考试结束后,将答题卡交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知,,则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 2.复数满足,则( ) A. B. C. D. 3.若非空集合,,,满足:,,则( ) A. B. C. D. 4.从属于区间的整数中任取两个数,则至少有一个数是质数的概率为( ) A. B. C. D. 5.已知某4个数据的平均值为6,方差为3,现加入数据8和10,则这6个数据的方差为( ) A.2 B. C. D. 6.某医院购买一台大型医疗机器价格为万元,实行分期付款,每期付款万元,每期为一个月,共付12次,如果月利率为,每月复利一次,则,满足( ) A. B. C. D. 7.已知函数在区间上恰有3个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.在棱长为6的正方体中,是的中点,点是正方形面内(包括边界)的动点,且满足,则三棱锥的体积最大值是( ) A.36 B.24 C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知 两点位于直线 两侧, 是直线 上两点, 且 的面积是 的面积的 2 倍,若 , 下列说法正确的是( ) A. 为奇函数 B. 在 单调递减 C. 在 有且仅有两个零点 D. 是周期函数 10.已知定义在R上的函数满足,且不是常函数,则下列说法中正确的有( ) A.若2为的周期,则为奇函数 B.若为奇函数,则2为的周期 C.若4为的周期,则为偶函数 D.若为偶函数,则4为的周期 11.已知,,数列和的公共项由小到大排列组成数列,则( ) A. B.为等比数列 C.数列的前项和 D.、、不是任一等差数列的三项 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.二项式的展开式中,的系数为 . 13.已知椭圆:的右焦点为,过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点,弦的垂直平分线交轴于点P,若,则椭圆的离心率 . 14.假设视网膜为一个平面,光在空气中不折射,眼球的成像原理为小孔成像. 思考如下成像原理: 如图,地面内有圆,其圆心在线段上,且与线段交于不与重合的点,地面,且,点为人眼所在处,视网膜平面与直线垂直. 过点作平面平行于视网膜平面. 科学家已经证明,这种情况下圆上任意一点到点的直线与平面交点的轨迹(令为曲线)为椭圆或圆,且由于小孔成像,曲线与圆在视网膜平面上的影像是相似的,则当视网膜平面上的圆的影像为圆时,圆的半径为 . 当圆的半径满足时,视网膜平面上的圆的影像的离心率的取值范围为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)某手机App公司对一小区居民开展5个月的调查活动,使用这款人数的满意度统计数据如下: 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 (1)求不满意人数与月份之间的回归直线方程,并预测该小区10月份对这款App不满意人数; (2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人,调查是否使用这款App与性别的关系,得到下表: 根据小概率值的独立性检验,能否认为是否使用这款App与性别有关? 使用App 不使用App 女性 48 12 男性 22 18 附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,,, 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别为AD,BC的中点,将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角,且二面角的大小为,点M在线段AB上(包含端点)运动,连接AD. (1)若M为AB的中点,直线MF与平面ADE的交点为O,试确定点O的位置,并证明直线OD//平面EMC; (2)是否存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为?若存在,确定出M点位置;若不存在,请说明理由. 17.(15分)已知F为抛物线C:的焦点,点A在C上,.点P(0,-2),M,N是抛物线上不同两点,直线PM和直线PN的斜率分别为,. (1)求C的方程; (2)存在点Q,当直线MN经过点Q时,恒成立,请求出满足条件的所有点Q的坐标; (3)对于(2)中的一个点Q,当直线MN经过点Q时,|MN|存在最小值,试求出这个最小值. 18.(17分)已知函数,. (1)当时,求在区间内极值点的个数; (2)若恒成立,求的值; (3)求证:,,. 19.(17分)已知是个正整数组成的行列的数表,当时,记.设,若满足如下两个性质: ①; ②对任意,存在,使得,则称为数表. (1)判断是否为数表,并求的值; (2)若数表满足,求中各数之和的最小值; (3)证明:对任意数表,存在,使得. 数学试卷B 第1页,共3页 数学试卷B 第1页,共3页