精品解析：山东省实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二下学期期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. 30 D. 90 【答案】D 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故选：D 2. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可． 【详解】由题意，， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递减，在，上单调递减， 若函数在区间上单调， 则或或，解得或或， 即或. 故选：C. 3. 2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有 A. 15 B. 60 C. 90 D. 540 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均分组的方法计算可得； 【详解】解：依题意，首先将人平均分成3组，再将三组进行全排列即可，所以所有可能的派出方法有（种） 故选：C 【点睛】本题考查平均分组分配问题，属于基础题. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理，写出通项公式直接求解即可. 【详解】展开式的通项为：， 令，此时，即， 令，此时，即， 则， 故选：C 5. 在5个大小相同的球中有2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设不放回摸球，第一次摸到红球为事件A，情况数为.设第二次摸红球为事件B，则第一次摸红球第二次也摸红球的情况数为，则所求概率为. 【详解】设不放回摸2个球，第一次摸到红球为事件A，情况数为， 设第二次摸红球为事件B，则第一次摸红球第二次也摸红球的情况数为， 则所求概率为. 故选：B 6. 随机变量ξ的分布列如下： 其中，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为可求. 【详解】，且， 解得， . 故选：D. 7. 蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察可知，，且，结合杨辉三角，即可求解. 【详解】由题可知，，且， 可推得，， 所以，即， 所以可能取到0，1，2，7，8，9， 所以解集为， 故选：B 8. 已知函数，若恰有四个不同的零点，则a取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数，利用导数研究函数的单调性极值即可得出图象，令，对及其a分类讨论，结合图象即可得出. 【详解】解：函数， ，，，因此时，函数单调递增. ，，，可得函数在单调递增； 可得函数在单调递减. 可得：在时，函数取得极大值，. 画出图象： 可知：. 令， ①时，函数无零点. ②时，解得或，时，解得，此时函数只有一个零点，舍去. ，由，可知：此时函数无零点，舍去. ③，解得或. 解得，. 时，，.此时函数无零点，舍去. 因此，可得：. 由恰有四个不同的零点， ∴，，. 解得：. 则a取值范围为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知A，B，C为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件概率和独立事件概率公式依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，当事件为独立事件，则，故A错误； 对选项B，当事件为互斥事件时，， 故B错误； 对选项C，，故C正确； 对选项D，，故D正确. 故答案为：AB 10. 对于函数，下列说法中正确的是（ ） A. 存在有极大值也有最大值 B. 有三个零点 C. 当时，恒成立 D. 当时，有3个不相等的实数根 【答案】CD 【解析】 【分析】利用导数分析的单调性，针对每个选项结合单调性分析函数的极值、最值以及零点个数，即可判断和选择. 【详解】因为，故可得，由得，， 易知当和时，单调递减；当时，单调递增， 且当趋近于负无穷时，趋近于正无穷， 对，由上述分析可知，有极大值但无最大值，故错误； 对：由得，，故该函数只有两个零点，故错误； 对：当时，，故正确； 对：因为，，且当趋近于负无穷时，趋近于正无穷， 当趋近于负无穷时，趋近于，故正确． 故选：． 11. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ） A. 若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由独立事件的乘法公式可得A错误；由条件概率公式可得BC正确；全概率的应用，先求出，再根据和化简得到D正确. 【详解】A：因为发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为，即收到的信号字母变的概率为，且信号的传输相互独立， 所以输入信号，则输出的信号只有两个的概率为，故A错误； B：因为，故B正确； C：，故C正确； D：因为， 而 ， 所以 ， 故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用独立事件的条件概率公式和全概率公式. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则实数a的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得，由已知可得，再利用导数求得函数的最小值，可得的取值范围. 【详解】不等式可化为， 设，则，即在R上单调递增， 因为，所以恒成立， 根据对数函数的性质可得，时显然不成立，所以， 所以，所以恒成立. 令，则, 当时，即单调递减；当时，即单调递增. 所以， 所以只需，即，又， 所以的取值范围为. 故选：B 13. 编号为A、B、C、D、E的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A品种不能种在1，2试验田里，B品种必须与A种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为________ 【答案】30 【解析】 【分析】本题需要对A种蔬菜的种植位置进行讨论，当A在4号田时，B只能种在3号，其余三种蔬菜在三个位置全排列，当A在5号时，结果相同；当A在3号田时，B有3种结果，余下的三种蔬菜在三个位置全排列，相加得到结果． 【详解】当A种在4号田时，B只能种在3号，其余三种蔬菜在三个位置全排列，共有种结果， 当A种在5号田时，结果相同，也有6种； 当A种在3号田时，B有3种结果，余下的三种蔬菜在三个位置全排列，有种结果； 根据分类计数原理，共有6+6+18=30种结果. 故答案为：30． 14. 设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的所有可能取值，然后计算出现的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望． 【详解】由题意正方体中两条平行的棱间的距离为1或． 正方体共12条棱中任取两条，共有种取法， 其中相交的有，平行且距离为的有种， 其余的是异面或距离为1的平行线，共有36种， ∴，，， 分布列为： 0 1 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查随机变量的期望，考查空间直线的位置关系，考查古典概型概率．综合度较大，属于难题． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等． （1）求展开式中各项系数之和； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中的有理项． 【答案】（1）0 （2） （3）有理项为，， 【解析】 【分析】（1）根据题意结合组合数的性质可得，令，即可得各项系数之和； （2）根据组合数的性质当时，二项式系数最大，结合展开式的通项公式运算求解； （3）结合展开式的通项公式运算求解，令，运算求解. 【小问1详解】 依题意，由组合数的性质得， 令，得展开式中各项系数之和为. 【小问2详解】 因为二项式的展开式的通项为， 因为， 所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为. 【小问3详解】 由（2）可得：二项式的展开式的通项为， 令，得， 当时，； 当时，； 当时，. 综上所述：二项式展开式中的有理项为，， 16. 学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响． （1）求学生甲被录取的概率； （2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列． 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）根据甲投球几次被录取分类即可解出； （2）依题可知，的可能取值为2，3，4,再分别求出对应的概率即可得到分布列. 【小问1详解】 记事件，表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进”． 则，， 设事件C表示“学生甲被录取”，则， 所以， 所以学生甲被录取的概率为. 【小问2详解】 由题分析知，的可能取值为2，3，4. ， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 17. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可； （2）求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 则，因为函数在点处的切线与直线垂直， 故，解得； 【小问2详解】 因为，所以， 令，解得或，令得或，令得， 列表如下： 3 0 + 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 故的单调递减区间为和，单调递增区间为， 的极大值为，极小值为. 18. 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）方案②中取到红球的概率更大 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算可得. （2）根据条件概率公式进行计算，根据数据下结论. 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件. ， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）（i）因为，是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. （ii）由（i）得， 所以方案①中取到红球的概率为：. 方案②中取到红球的概率为：. 因为，所以方案②中取到红球的概率更大. 19. 已知函数，． （1）若的定义域为，值域为，求的值； （2）若，且对任意的，当，时，总满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由定义域为，可得恒成立；由值域为可得，能取到内任意实数，即可得的值； （2）对求导，根据导数的正负判断出在上单调递减，将问题转化为任意的，，令，，求导，利用求解即可． 【小问1详解】 解：因为的定义域为， 所以且，恒成立，则，又，所以 又因为值域为， 所以能取到内任意实数，所以 故； 【小问2详解】 解：因为，所以， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在上单调递减， ， 问题可转化为：任意的，恒成立， 令，， ， 所以在上单调递减， 所以， 所以， 则，解得， 故的取值范围为：． （附加题） 20. 帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为． （1）求实数a，b的值； （2）比较与的大小； （3）若在上存在极值，求的取值范围． 【答案】（1），； （2） 时，；时，． （3）． 【解析】 【分析】（1）由，，列方程组求实数a，b的值； （2）令利用导数研究单调性，又，可比较与的大小； （3）由在上存在极值，所以在上存在变号零点，通过构造函数分类讨论，对的零点进行分析． 【小问1详解】 由，，有， 可知，，，， 由题意，，，所以，所以，． 【小问2详解】 由（1）知，，令， 则， 所以在其定义域内为增函数，又， 时，；时，； 所以时，；时，． 【小问3详解】 由， ． 由在上存在极值，所以在上存在变号零点． 令，则，． ①时，，为减函数，，在上为减函数，，无零点，不满足条件． ②当，即时，，为增函数，，在上为增函数，，无零点，不满足条件． ③当，即时，令即，． 当时，，为减函数；时，，为增函数， ； 令，，，在时恒成立， 在上单调递增，，恒成立； ，，，则，， ； ， 令， 令，， 则在是单调递减，，所以， ， 令，则，，． ，即． 由零点存在定理可知，在上存在唯一零点， 又由③知，当时，，为减函数，， 所以此时，，在内无零点， 在上存在变号零点，综上所述实数m的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，而构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. 30 D. 90 2. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. 或 D. 3. 2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有 A. 15 B. 60 C. 90 D. 540 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在5个大小相同的球中有2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 随机变量ξ的分布列如下： 其中，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恰有四个不同的零点，则a取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知A，B，C为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，下列说法中正确的是（ ） A. 存在有极大值也有最大值 B. 有三个零点 C. 当时，恒成立 D. 当时，有3个不相等的实数根 11. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ） A. 若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则实数a的取值范围为________ 13. 编号为A、B、C、D、E的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A品种不能种在1，2试验田里，B品种必须与A种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为________ 14. 设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=________. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等． （1）求展开式中各项系数之和； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中的有理项． 16. 学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响． （1）求学生甲被录取的概率； （2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列． 17. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求的单调区间和极值. 18. 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 19. 已知函数，． （1）若的定义域为，值域为，求的值； （2）若，且对任意的，当，时，总满足，求的取值范围． （附加题） 20. 帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为． （1）求实数a，b的值； （2）比较与的大小； （3）若在上存在极值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $