广东实验中学2023-2024学年高三教学情况测试（一）数学A卷

广东实验中学2023~2024学年度高三教学情况测试(一) 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3. 本卷满分150分,考试时间120分钟。考试结束后,将答题卡交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.已知,,若在上的投影向量为,则与的夹角为( ) A.60 B.120 C.135 D.150 3.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式,在桥梁平面上有多根拉索,所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥,共有对永久拉索,在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距均为,拉索下端相邻两个锚的间距均为.最短拉索的锚,满足,,则最长拉索所在直线的斜率为( ) A. B. C. D. 4.从属于区间的整数中任取两个数,则至少有一个数是质数的概率为( ) A. B. C. D. 5.在某款计算器上计算时,需依次按下“Log”､“(”､“a”､“,”､“b”､“)”6个键.某同学使用该计算器计算(,)时,误将“Log”､“(”､“b”､“,”､“a”､“)”这6键,所得到的值是正确结果的倍,则( ) A. B. C. D. 6.已知实数,,,且,则必有( ) A. B. C. D. 7.已知、分别为双曲线的两个焦点,双曲线上的点到原点的距离为,且,则该双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 8.在棱长为6的正方体中,是的中点,点是正方形面内(包括边界)的动点,且满足,则三棱锥的体积最大值是( ) A.36 B.24 C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的是( ) A., B. C.若,,则的最小值为1 D.若是关于x的方程的根,则 10.已知抛物线的焦点为F,过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A,B两点,,过A,B两点分别作抛物线的切线,交于点Q.则下列结论正确的是( ) A. B.若,P是抛物线上一动点,则的最小值为 C.(O为坐标原点)的面积为 D.,则 11.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,表明曲线偏离直线的程度,曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.曲线在点处的曲率,其中是的导函数.下面说法正确的是( ) A.若函数,则曲线在点与点处的弯曲程度相同 B.若是二次函数,则曲线的曲率在顶点处取得最小值 C.若函数,则函数的值域为 D.若函数,则曲线上任意一点的曲率的最大值为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.设,则除以9所得的余数为 . 13.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若函数和在上都恰好存在两个零点,则的取值范围是 . 14.已知长方体的底面ABCD为边长是2的正方形,,E,F分别为棱AB,的中点,则过,E,F的平面截长方体的表面所得截面的面积为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知数列的前n项和为,且. (1)求的通项公式; (2)若数列满足,求的前项和. 16.(15分)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点.设,,. (1)求证EG⊥AB; (2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值. 17.(15分)统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画,来帮助人们作出合理的决策. (1)现有池塘甲,已知池塘甲里有50条鱼,其中A种鱼7条,若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数,请写出的分布列,并求的数学期望; (2)另有池塘乙,为估计池塘乙中的鱼数,某同学先从中捉了50条鱼,做好记号后放回池塘,再从中捉了20条鱼,发现有记号的有5条. ( )请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数. ( )统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法 最大似然估计,其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树,即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度,采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数. 18.(17分)在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知. (1)求角A; (2)已知,,点P,Q是边上的两个动点(P,Q不重合),记. ①当时,设的面积为S,求S的最小值: ②记,.问:是否存在实常数和k,对于所有满足题意的,,都有成立?若存在,求出和k的值;若不存在,说明理由. 19.(17分)已知函数=. (1)讨论的单调性; (2)设,当时,,求的最大值; (3)已知,估计ln2的近似值(精确到0.001) 数学试卷A 第1页,共3页 数学试卷A 第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司