精品解析：江苏省 常州市 钟楼区常州市北郊初级中学2023-2024学年九年级4月教学情况调研数学试卷（一模）

九年级学业水平调研 数学试卷 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘（除），合并同类项， 先判断是否是同类项解答A，B，再根据同底数幂相乘法则计算判断C，然后根据同底数幂相除法则计算判断D即可． 【详解】解：因为不是同类项，不能合并，所以A，B 不正确，不符合题意； 因为，所以C不正确，不符合题意； 因为，所以D正确，符合题意； 故选：D． 3. 若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是（　　） A. 球体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 正方体 【答案】A 【解析】 【分析】利用三视图都是圆，则可得出几何体的形状． 【详解】主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球， 故选A． 【点睛】本题考查了由三视图确定几何体的形状，熟悉常见几何体的三视图是解题的关键. 4. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据中心对称的概念可得 第一个图形是中心对称图形， 第二个图形不是中心对称图形， 第三个图形是中心对称图形， 第四个图形不是中心对称图形， 所以，中心对称图有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是本题的解题关键． 5. 直线a∥b，直角三角形如图放置，若∠1+∠A＝65°,则∠2的度数为（　　） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形外角性质，求得∠BDE，进而根据平行线的性质，得到∠DBF=∠BDE=65°，最后根据平角求得∠2． 【详解】如图所示: ∵∠BDE是△ADE的外角， ∴∠BDE=∠3+∠A=∠1+∠A=65°， ∵a∥b， ∴∠DBF=∠BDE=65°， 又∵∠ABC=90°， ∴∠2=180°-90°-65°=25°． 故选C． 【点睛】考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 6. 若点与点关于y轴对称，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】∵点与点关于y轴对称， ∴a=-2，b=-1， ∴a-b=-1， 故选A． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点坐标的关系，代数式求值，解题的关键在于明确关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数． 7. 分式的值，可以等于（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据分子、分母的取值范围进行判断即可． 【详解】解：∵，，且， ∴的值不可能是、0、；当时，分式的值等于2， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的求值，正确得出分子、分母的取值范围是解题的关键． 8. 如图，点A坐标为，点B坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段，若点C恰好落在x轴上，则点D到x轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，过点D作轴于点，过点作于点，由旋转的性质和勾股定理可得，，再利用面积法求出即可得到答案． 【详解】解：如图，连接、，过点D作轴于点，过点作于点， ， 点坐标为，点坐标为， ， ， 线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点C恰好落在轴上， ， ， ∴ ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形、旋转的性质、勾股定理、三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 计算：（a2b）3=___． 【答案】a6b3 【解析】 【详解】试题分析：根据积的乘方运算法则可得 （a2b）3= a6b 3. 考点：积的乘方运算法则. 10. 分解因式： ______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式法与公式法进行因式分解是解题的关键． 综合提公因式法与公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件．要使分式有意义，则分母不为0，据此即可解答． 【详解】要使分式有意义，则，即． 故答案为：． 12. 如图，已知，那么数轴上的点所表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：， 数轴上的点所表示的数是， 故答案为：． 13. 如果圆锥的底面圆的半径是8，母线的长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是__________度． 【答案】192°． 【解析】 【详解】本题考查的是圆锥的侧面的展开图．由题意得分别代入得n=192°． 14. 小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板．三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的体重应小于_______千克． 【答案】25 【解析】 【分析】此题重点考查一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 设小明的体重为，则小明妈妈的体重为，爸爸的体重为，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：设小明的体重为，则小明妈妈的体重为，爸爸的体重为． 因此小明的体重应小于25千克． 故答案为：25． 15. 如图，在中，，平分交边于点E，且，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形性质，等角对等边，根据平行四边形性质得出，，推出，求出，推出． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 16. 如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知图形去添加合适得辅助线，从而得出，再求解即可． 【详解】解：连接，由图可知： ，，， 满足， ∴， 设小方格的边长为，则，， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，构造辅助线使得再结合解直角三角形相关知识是解此题的关键． 17. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”（如图1）这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点（或像地球一样重的物体）轻松撬动．小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为的正方体和长度为的木棒，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，木棒和石头相切于点N，正方体横截面上的点E，点M，A，E，F在一条直线上．若木棒与水平面的夹角，切点N恰好为的中点，则石头的半径为______．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得到，即可得，再根据正方形的性质得到，过点N作于点G，过点N作于点H，证明四边形为矩形，即可得到，设圆的半径为，再根据，解直角三角形，列方程，即可解答． 【详解】解：切于点M，切于点N， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 如图，过点N作于点G，过点N作于点H， ， ， ∵点N为的中点， 是的中位线， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵， 是等腰直角三角形， ， 设石头的半径为，则， ， ， 解得， ∴石头的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，设计圆的切线的性质及应用，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键． 18. 如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设与交于点，由平移性质可得，，由四边形是菱形，则有，，，所以，，得到四边形是平行四边形，故有，则的最小值的最小值，作点关于定直线的对称点，连接，当三点共线时，则的长度即为的最小值，由，，则，，然后通过等腰三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，设与交于点， ∵在边长为的菱形中，， ∴，， ∵将沿射线的方向平移，得到， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点在过点且平行于的定直线上， 作点关于定直线的对称点，连接，当三点共线时，则的长度即为的最小值， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平移的性质，掌握相关知识的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，第19、20题每题6分，第21—25题每题8分，第26—27题每题10分，第28题12分，共84分） 19. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算负整数指数幂、去绝对值、特殊角三角函数值，然后再算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】解： 20. 解不等式组：，并求出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集为，其正整数解为1，2，3，4，5 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别解两个不等式，再求其公共部分，即为不等式组的解集，再表示其正整数解即可． 【详解】 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为，其正整数解为1，2，3，4，5． 21. 小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间，数据统计如下：(单位：min) 数据统计表 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20 B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24 数据折线统计图 根据以上信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 A线路所用时间 22 a 15 63.2 B线路所用时间 b 26.5 c 6.36 （1）填空：__________；___________；___________； （2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路． 【答案】（1）19，26.8，25 （2） 根据统计量上来分析可知，A线路所用时间平均数小于B线路所用时间平均数线路，A线路所用时间中位数也小于B线路所用时间中位数，但A线路所用时间的方差比较大，说明A线路比较短，但容易出现拥堵情况，B线路比较长，但交通畅通，总体上来讲A路线优于B路线． 因此，我的建议是：根据上学到校剩余时间而定，如果上学到校剩余时间比较短，比如剩余时间是21分钟，则选择A路线，因为A路线的时间不大于21分钟的次数有7次，而B路线的时间都大于21分钟；如果剩余时间不短也不长，比如剩余时间是31分钟，则选择B路线，因为B路线的时间都不大于31分钟，而A路线的时间大于31分钟有3次，选择B路线可以确保不迟到；如果剩余时间足够长，比如剩余时间是36分钟，则选择A路线，在保证不迟到的情况，选择平均时间更少，中位数更小的路线． 【解析】 【分析】（1）根据中位数定义将A线路所用时间按从小到大的顺序排列，求中间两个数的平均数即为A线路所用时间的中位数a，利用平均数的定义求出B线路所用时间的平均数b，找出B线路所用时间中出现次数最多的数据即为B线路所用时间的众数c，从而得解； （2）根据四个统计量分析，然后根据分析结果提出建议即可． 【小问1详解】 解：将A线路所用时间按从小到大顺序排列得：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，中间两个数是18，20， ∴A线路所用时间的中位数为：， 由题意可知B线路所用时间得平均数为： ， ∵B线路所用时间中，出现次数最多的数据是25，有两次，其他数据都是一次， ∴B线路所用时间的众数为： 故答案为：19，26.8，25； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查求平均数，中位数和众数，以及根据统计量做决策等知识，掌握统计量的求法是解题的关键． 22. 现有长度分别为2，3，4的三条线段，小明想从三条线段中选出两条与长度为5的线段组成一个三角形． （1）请用画树状图（或列表）的方法，求小明选择的两条线段能与长度为5的线段组成一个三角形的概率． （2）小明将每个组成的三角形画在一张卡片上，将所有画有三角形的卡片洗匀然后背面朝上，从中任意抽取一张，则抽取的卡牌恰好画有直角三角形的概率为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）列表得出所有等能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可； （2）将每个组成的三角形画在一张卡片上有有、这2种结果，抽取的卡牌恰好画有直角三角形的有1种结果，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：列表如下： 2 3 4 2 3 4 由表知，共有6种等可能结果，其中小明选择的两条线段能与长度为5的线段组成一个三角形的有4种结果， 所以小明选择的两条线段能与长度为5的线段组成一个三角形的概率为； 【小问2详解】 由题意知，将每个组成的三角形画在一张卡片上有、这2种结果，抽取的卡牌恰好画有直角三角形的有1种结果， 所以抽取的卡牌恰好画有直角三角形的概率为， 故答案为：． 23. 如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB． （1）作点A关于BD的对称点C；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）所作的图中，连接BC，DC．求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】（1） 如图所示，点C即为所求， （2） 证明：∠ABD＝∠ADB ，关于对称 四边形ABCD是菱形． 【解析】 【分析】（1）先作的垂直平分线交于点，在射线上截取，点C即为所求； （2）根据轴对称的性质可得，根据等角对等边可得，根据四边相等的四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作轴对称图形，证明四边形是菱形，掌握轴对称的性质是解题的关键． 24. 某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 【答案】每本画册应降价4元． 【解析】 【分析】设这种画册每本降价x元，根据“这种画册的销售利润平均每天达到2240元”列出方程，即每本画册的利润乘以销售量等于总利润，再求解，把不符合题意的舍去． 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题利润问题，根据数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】设这种画册每本降价x元， 由题意可得，， 整理得， 解得，， ∵要求每本售价不低于55元， ∴符合题意． 故每本画册应降价4元． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． （1）求k的值； （2）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q，若的面积为1，求点P的坐标． 【答案】（1）4 （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）将点代入一次函数，求出的值，得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可得到答案； （2）设，则，根据三角形的面积公式即可得到答案． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数， ， 故， 将代入反比例函数， 得； 【小问2详解】 解：由（1）得：， 联立， 解得：或， 可知 设，且，交x轴于点M，如图； ， ， ， 解得， 点P的坐标为或． 26. 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．如矩形OBCD中，点C为O，B两点的勾股点,已知OD＝4,在DC上取点E,DE=8． （1）如果点E是O，B两点的勾股点（点E不在点C）, 试求OB的长； （2）如果OB=12，分别以OB,OD为坐标轴建立如图2的直角坐标系，在x轴上取点F(5，0)．在线段DC上取点P, 过点P的直线l∥y轴，交x轴于点Q．设DP=t． ①当点P在DE之间，以EF为直径的圆与直线l相切，试求t的值； ②当直线l上恰好有2点是E，F两点的勾股点时，试求相应t的取值范围． 【答案】（1）10；（2）①4；②0＜t＜4或t=5或t=8或9＜t≤12 【解析】 【分析】（1）连接OE、BE．设OB=x，则EC=x-8．先依据勾股定理表示出OE2、BE2的值，再依据勾股定理的逆定理列方程求解即可； （2）①过点F作FG⊥DC，垂足为G，过点M作MN∥DE．在△EFG中依据勾股定理求得EF的长，从而可求得MH的长，由梯形的中位线定理可求得MN的长，然后依据NH=NM-MH可求得NH的长，从而求得t的值； ②当直线l与圆M相离或直线l经过点E或直线l经过点F时，直线l上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点． 【详解】解：（1）如图1所示，连接OE、BE． 设OB=x，则EC=x-8． 在△DOE中，OE2=DE2+OD2=42+82=80，BE2=CE2+CB2=42+（x-8）2． ∵E为点O和点B的勾股定理点， ∴OB2=OE2+BE2，即42+（x-8）2+80=x2． 解得：x=10． ∴OB=10． （2）①过点F作FG⊥DC，垂足为G，过点M作MN∥DE． ∵DE=8，OF=5，DO=4， ∴GE=3，FG=4，MN=6.5． ∴EF==5． ∴MH=2.5． ∴HN=NM-MH=6.5-2.5=4． ∴t=4． ②如图3所示：当直线l与圆M相离时．过点E作EG⊥EF交PQ于点G，过点F作HF⊥EF，垂足为H． ∵∠GEF=90°， ∴△GEF为直角三角形． ∴G是E、F的一个勾股点． 同理点H也是E、F的一个勾股点． ∴当直线l与圆M相离时，直线l上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点． ∴当0＜t＜4时，直线l上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点． 同理：当直线l在圆M的右侧，直线l上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点． ∴9＜t≤12． 如图4所示：当直线l经过点F时，直线l上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点． ∵OF=5， ∴t=5． 如图5所示：当直线l经过点E时，直线l上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点． ∵DE=8， ∴t=8． 综上所述当0＜t＜4或t=5或t=8或9＜t≤12时，直线l上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要应用了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直线和圆的位置关系，找出PQ上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点的条件是解题的关键． 27. 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． （1）如图1，若四边形是正方形， ①求证：； ②当G是中点时，________________度； （2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长为__________________________． 【答案】（1） ①证明：∵正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴； ②67.5 （2） （3）或或2 【解析】 【分析】（1）①正方形的性质结合即可得证；②连接，先证明垂直平分，进而得到，利用等边对等角进行求解即可； （2）取的中点，连接，三角形的中位线，得到，设，证明，列出比例式进行求解即可； （3）分点为直角顶点和点为直角顶点，两种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②连接，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 取的中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 经检验：是原方程的解， ∴； 【小问3详解】 ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当点为直角顶点时，如图： 设， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：或； 经检验或是原方程的解， ∴或； 当点为直角顶点时，如图：过点作， 则：，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上： 或或． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 28. 如图1，抛物线经过点，对称轴为直线与x轴的交于点B． （1）求抛物线L的解析式； （2）点C在抛物线上，若的内心恰好在x轴上，求点C的坐标； （3）如图2，将抛物线L向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点N．P为线段上一点．若与相似，并且符合条件的点P恰有2个，求k的值． 【答案】（1） （2） （3）当与相似，并且符合条件的点P恰有2个，则或2 【解析】 【分析】（1）根据对称轴为直线且抛物线过点求解可得； （2）由题意易得x轴平分，即，且点C在y轴的左侧，过点C作轴于点D，设，然后可得，进而问题可求解； （3）设抛物线的解析式为，知、、，再设，分和两种情况，由对应边成比例得出关于与的方程，利用符合条件的点恰有2个，结合方程的解的情况求解可得． 【小问1详解】 解：由题意知， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得：x轴平分，即， ∵的内心恰好在x轴上， ∴的三个内角的角平分线交点在x轴上， 由此可知点C在y轴的左侧， 过点C作轴于点D，如图所示： 由题意知：，， ∴， ∴， 设，则有，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点； 【小问3详解】 解：如图2， 设抛物线的解析式为， 、、， 设， ①当时，， ， ①； ②当时，， ， ②； （Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时， ， 解得：（负值舍去）， 此时方程①有两个相等实数根， 方程②有一个实数根， ， （Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时， 把②代入①，得：， 解得：（负值舍去）， 此时，方程①有两个不相等的实数根、， 方程②有一个实数根， ， 综上，当与相似，并且符合条件的点P恰有2个，则或2． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角形的内心，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角形的内心是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学业水平调研 数学试卷 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是（　　） A. 球体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 正方体 4. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 直线a∥b，直角三角形如图放置，若∠1+∠A＝65°,则∠2的度数为（　　） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 6. 若点与点关于y轴对称，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 分式的值，可以等于（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 如图，点A坐标为，点B坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段，若点C恰好落在x轴上，则点D到x轴的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 计算：（a2b）3=___． 10. 分解因式： ______________． 11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是______． 12. 如图，已知，那么数轴上的点所表示的数是______． 13. 如果圆锥的底面圆的半径是8，母线的长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是__________度． 14. 小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板．三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的体重应小于_______千克． 15. 如图，在中，，平分交边于点E，且，则的长为______． 16. 如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则的值为________． 17. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”（如图1）这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点（或像地球一样重的物体）轻松撬动．小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为的正方体和长度为的木棒，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，木棒和石头相切于点N，正方体横截面上的点E，点M，A，E，F在一条直线上．若木棒与水平面的夹角，切点N恰好为的中点，则石头的半径为______．（结果保留根号） 18. 如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为 ______． 三、解答题（本大题共10小题，第19、20题每题6分，第21—25题每题8分，第26—27题每题10分，第28题12分，共84分） 19. 计算：； 20. 解不等式组：，并求出它的正整数解． 21. 小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间，数据统计如下：(单位：min) 数据统计表 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20 B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24 数据折线统计图 根据以上信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 A线路所用时间 22 a 15 63.2 B线路所用时间 b 26.5 c 6.36 （1）填空：__________；___________；___________； （2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路． 22. 现有长度分别为2，3，4的三条线段，小明想从三条线段中选出两条与长度为5的线段组成一个三角形． （1）请用画树状图（或列表）的方法，求小明选择的两条线段能与长度为5的线段组成一个三角形的概率． （2）小明将每个组成的三角形画在一张卡片上，将所有画有三角形的卡片洗匀然后背面朝上，从中任意抽取一张，则抽取的卡牌恰好画有直角三角形的概率为______． 23. 如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB． （1）作点A关于BD的对称点C；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）所作的图中，连接BC，DC．求证：四边形ABCD是菱形． 24. 某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． （1）求k的值； （2）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q，若的面积为1，求点P的坐标． 26. 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．如矩形OBCD中，点C为O，B两点的勾股点,已知OD＝4,在DC上取点E,DE=8． （1）如果点E是O，B两点的勾股点（点E不在点C）, 试求OB的长； （2）如果OB=12，分别以OB,OD为坐标轴建立如图2的直角坐标系，在x轴上取点F(5，0)．在线段DC上取点P, 过点P的直线l∥y轴，交x轴于点Q．设DP=t． ①当点P在DE之间，以EF为直径的圆与直线l相切，试求t的值； ②当直线l上恰好有2点是E，F两点的勾股点时，试求相应t的取值范围． 27. 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． （1）如图1，若四边形是正方形， ①求证：； ②当G是中点时，________________度； （2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长为__________________________． 28. 如图1，抛物线经过点，对称轴为直线与x轴的交于点B． （1）求抛物线L的解析式； （2）点C在抛物线上，若的内心恰好在x轴上，求点C的坐标； （3）如图2，将抛物线L向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点N．P为线段上一点．若与相似，并且符合条件的点P恰有2个，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $