精品解析：浙江省杭州师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州师大附中高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的非空子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 2. 设，，，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，则与的夹角为（   ） A. B. C. D. 5. 如图，是体积为1的棱柱，则四棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 6 D. 2 7. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则使不等式成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中， ，其面积为，则等于 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ） A. 对应的点在复平面的第四象限 B. 是一个纯虚数 C. D. 10. 在斜三角形中，三个内角分别为，，，若，是方程的两根，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. D. 11. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ） A. 对于圆O，其“太极函数”有1个 B. 函数是圆O的一个“太极函数” C. 函数不是圆O“太极函数” D. 函数是圆O的一个“太极函数” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则c的值为______. 13. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是_________. 14. 如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD上有10个不同的点，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为R，集合，． （1）求； （2）若，且“”是“”必要不充分条件，求a的取值范围． 16. 如图，在中，，E是AD的中点，设，. （1）试用，表示，； （2）若，与的夹角为，求. 17. 已知在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． （1）求角C的大小； （2）若，求的面积S的取值范围． 18. 已知函数，其图象关于点中心对称. （1）求函数在上的值域； （2）将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向右平移个单位长度得到的图象.若，，求的值. 19. 定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数. （1）若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，，其中（）为常数.若是“2距”增函数，求最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年浙江省杭州师大附中高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的非空子集个数为（ ） A 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】求出交集再根据子集的概念得出结论． 【详解】由题意，因此它有8个子集，其中非空子集有7个． 故选：A． 2. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的单调性，求得的取值范围，即求解. 【详解】由对数函数的性质，可得， 所以. 故选：A. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的值，利用同角三角函数间基本关系求出的值，继而求出的值，原式利用诱导公式化简将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】，， 当时，，此时； 当时，，此时 故选：B 4. 已知向量满足，则与的夹角为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，两边同时平方，利用已知条件和向量数量积的公式，求与的夹角. 【详解】已知，设与的夹角为， 有， 解得，则与的夹角为. 故选：B 5. 如图，是体积为1的棱柱，则四棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】棱锥与棱柱同底同高，由棱柱的体积和棱锥的体积，可求出四棱锥的体积． 【详解】因为棱锥与棱柱同底同高， 棱柱体积为1，则棱锥体积， 故四棱锥的体积 故选：C. 6. 已知，，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 6 D. 2 【答案】B 【解析】 分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当时取等号， 故选：B 7. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则使不等式成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数性质确定函数在R上的单调性，然后利用函数单调性化简不等式，再解指数不等式． 【详解】当时，是增函数且，又函数是定义在R上的奇函数， 则满足，所以，函数在上是连续函数， 所以函数在R上是增函数， ，∴ ，∴，即，，又，∴，，即原不等式的解集为． 故选：C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解指数不等式．利用奇偶性与单调性可化函数不等式为一般的无函数号“f”的不等式，在解指数不等式时要注意指数函数的值域，即． 8. 在中， ，其面积为，则等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： ，解得： ， 由余弦定理： ， 结合正弦定理结合分式的性质，则： . 本题选择B选项. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ） A. 对应的点在复平面的第四象限 B. 是一个纯虚数 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知求得，再由复数代数形式乘除运算及复数的代数表示法及其几何意义逐一分析四个选项得答案． 【详解】由，得， 对于A，对应的点的坐标为，在复平面的第一象限，A错误； 对于B，，是一个纯虚数，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，故D错误． 故选：BC 10. 在斜三角形中，的三个内角分别为，，，若，是方程的两根，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用韦达定理得到，，再根据两角和的正切公式求出，利用诱导公式求出，即可判断A、B，再利用诱导公式及正弦函数的性质判断C、D. 【详解】解：因为，是方程的两根， 所以，， 所以，，则，， 所以， 所以，又， 所以，即为钝角，则是钝角三角形，故A错误，B正确； 因为，所以或， 所以，则，故D错误； ，即，故C正确； 故选：BC 11. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ） A. 对于圆O，其“太极函数”有1个 B. 函数是圆O的一个“太极函数” C. 函数不是圆O的“太极函数” D. 函数是圆O的一个“太极函数” 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案. 【详解】解：对于A选项，圆O，其“太极函数”不止1个，故错误； 对于B选项，由于函数，当时，，当时，，故为奇函数，故根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”，故正确； 对于C选项，函数定义域为，，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故错误； 对于D选项， 函数定义域为，，故为奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则c的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理直接求出c边的大小. 【详解】中，，且，可得，， 由余弦定理可得 则c的值为 故答案为：． 13. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是_________. 【答案】(0,1) 【解析】 【分析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围． 【详解】令g（x）＝f（x）﹣m＝0， 得m＝f（x） 作出y＝f（x）与y＝m的图象， 要使函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点， 则y＝f（x）与y＝m的图象有3个不同的交点， 所以0＜m＜1， 故答案为（0，1）． 【点睛】本题考查等价转化的能力、利用数形结合思想解题的思想方法是重点，要重视． 14. 如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD上有10个不同的点，则________. 【答案】180 【解析】 【分析】可用特殊位置法处理此题，假定这10个点是的等分点，且为中点，则，建立坐标系，向量坐标法处理数量积． 【详解】令这10个点是的等分点，且为中点， 则， 以为原点，方向为轴建立坐标系， 故，， ，， 原式. 故答案为：180 【点睛】考查向量在图形中的几何应用，向量的加法法则，数量积的运算律，数量积的求值，考查数形结合思想和坐标法的应用． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为R，集合，． （1）求； （2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集的定义求解． （2）利用必要不充分条件的定义列出不等式组即可求解． 【小问1详解】 ∵，又， ∴． 【小问2详解】 ∵是的必要不充分条件， ∴， ∴（等号不同时成立），解得， ∴a的取值范围为． 16. 如图，在中，，E是AD的中点，设，. （1）试用，表示，； （2）若，与的夹角为，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解； （2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 因为E是AD的中点， 所以 . 【小问2详解】 因为，与的夹角为， 所以， 由（1）知，，， 所以 . 17. 已知在锐角中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，． （1）求角C的大小； （2）若，求的面积S的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式求解即可； （2）用角结合正弦定理表示，由是锐角三角形得出角的取值范围，再结合三角形面积公式求得结果. 【小问1详解】 由题意及正弦定理，得， 即， 因为，所以， 因为，所以，， 又因为，所以． 【小问2详解】 由（1）得， 由正弦定理，得， 所以， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以， 从而． 18. 已知函数，其图象关于点中心对称. （1）求函数在上的值域； （2）将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向右平移个单位长度得到的图象.若，，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，根据的图象关于点成中心对称求出，写出的解析式，计算在上的值域； （2）根据三角函数图象平移变换求出的解析式，再根据，求出的值． 【小问1详解】 函数， 因为的图象关于点成中心对称，所以， 令，，解得，； 因为，所以，所以； 时，，， 所以函数在上的值域为； 【小问2详解】 将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象， 再向右平移个单位长度，得的图象， 所以； 若，则，所以， 因为，，所以， 所以 . 19. 定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数. （1）若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，，其中（）为常数.若是“2距”增函数，求的最小值. 【答案】（1）函数是“1距”增函数；理由见解析 （2）当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）根据题意，只需判断是否成立，即可求解； （2）根据题意，当当时，恒成立，根据为增函数，得到，再分和，两种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：函数是“1距”增函数. 理由如下： 由函数， 则 ， 当时，可得， 所以，即，所以是“1距”增函数. 【小问2详解】 解：由，， 因为函数是“2距”增的数，所以当时，恒成立， 又因为为增函数，所以， 当时，，即恒成立， 所以，解得； 当时，，即恒成立， 所以，解得， 综上可得，，所以， 令，则， ①当时，即时，当时，； ②当时，即时，当时，， 综上可得，当时，；当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$