精品解析：2024年辽宁省盘锦市第一完全中学九年级中考二模数学试题

2023－2024学年度第二学期九年级5月质量检测数学试卷 满分120分 考试时间120分钟 一．选择题（本题共10题，每小题3分，共30分） 1. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，图中是一款陀螺的示意图，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 4. 小戴同学的微信钱包账单如图所示．表示收入元，下列说法正确的是（ ） 账单 ① ② A. 表示收入1.00元 B. 表示支出1.00元 C. 表示支出元 D. 本次账单结余为元 5. 下列运算正确的是（ ） A. 2a＋5a＝7a2 B. （－2a）3＝8a³ C. －8a²÷2a＝－4a D. 3a2·a3＝3a6 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若，则；④若，则．其中是真命题的是（ ） A. ②③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 9. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（本题共5题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：___________． 12. 如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若∠B＝52°，则∠AEC的度数为_______． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围是________． 14. 如图，在中，D，E分别是的中点，是上一点，且，若，则的长是__________． 15. 如图，将一个含的直角三角板放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点的坐标为，点在轴上，过点，作抛物线，且点为抛物线的顶点.要使这条抛物线经过点，那么抛物线要沿对称轴向下平移________个单位． 三．解答题（本题共8题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克. （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 18. 某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．这30名学生第一次竞赛成绩 b．这30名学生两次知识竞赛的获奖情况统计表 参与奖 优秀奖 卓越奖 第一次 竞 赛 人 数 10 10 10 平均分 82 87 95 第二次 竞 赛 人 数 2 12 16 平均分 84 87 93 和第二次竞赛成绩得分情况统计图：（规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖；分数，获参与奖） c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下： 90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98 d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 第一次竞赛 m 87.5 88 第二次竞赛 90 n 91 根据以上信息，回答下列问题： （1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点； （2）直接写出m，n的值； （3）请判断第几次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，并说明理由． 19. 因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）. （1）求与x之间的函数解析式； （2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 20. 如图，是一种水平放置的便携式可折叠台灯，其正面如图1所示，点B，E，D均可转动，测得，且当点B，E都在灯座的垂直平分线上时（如图2所示）放置最平稳． （1）求放置最平稳时灯座与灯杆的夹角的大小； （2）当A点到水平桌面（所在直线）的距离为时，学生看书的光线最佳，能更好的保护视力，若台灯放置最平稳时，将调节到，试通过计算说明此时光线是否最佳．（参考数据：，） 21. 如图，内接于，是的直径，D是上的一点，平分，与相交于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点C作的切线，交延长线于点F； （2）当的半径为5，时，求的长． 22. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”． （1）函数①；②；③，其中函数 是在上的“最值差函数”；（填序号） （2）已知函数． ①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值； ②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求k的值． 23. 在数学综合实践课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动，这两张矩形纸片的长为，宽为．将两个完全相同的矩形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，将矩形绕点A顺时针旋转（转动的度数小于），边与边相交于点M． ①当旋转度数为，请求出点F到的距离； ②连接，当时，求的度数； （3）从图2开始，将长方形绕点A旋转一周，若边所在直线恰好经过线段的中点O时，连接，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年度第二学期九年级5月质量检测数学试卷 满分120分 考试时间120分钟 一．选择题（本题共10题，每小题3分，共30分） 1. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 2. 打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，图中是一款陀螺的示意图，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查判断简单几何体的三视图，掌握几何体的三视图定义成为解题的关键． 根据主视图是从前面看到的图形解答即可． 【详解】解：该几何体的主视图如图： 故选A 3. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 4. 小戴同学的微信钱包账单如图所示．表示收入元，下列说法正确的是（ ） 账单 ① ② A. 表示收入1.00元 B. 表示支出1.00元 C. 表示支出元 D. 本次账单结余为元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握具有相反意义的量，根据表示收入元，得出表示支出1.00元，进行判断即可． 【详解】解：根据表示收入5.20元，可知“收入”用正数表示，那么“支出”就用负数表示，于是表示支出元．本次账单结余为元． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. 2a＋5a＝7a2 B. （－2a）3＝8a³ C. －8a²÷2a＝－4a D. 3a2·a3＝3a6 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用幂的法则和整式的加减乘除运算法则分别判断即可． 【详解】解：A、2a＋5a＝7a≠7a2，该选项错误； B、，该选项错误； C、－8a²÷2a＝－4a，正确； D、，该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，正确掌握相关的运算法则是解题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标以及平移，根据点O、B的坐标分别为、，结合沿x轴正方向平移至，得出向右平移4个单位长度得出，因为点A的坐标为，所以点C的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵点O、B的坐标分别为、，将沿x轴正方向平移至， ∴向右平移4个单位长度得出， ∵点A的坐标为， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：B． 7. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先求出从这四部数学名著中选择2部的所有等可能的结果，再找出恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》和《四元玉鉴》四部数学名著分别记为，画出树状图如下： 由图可知，从这四部数学名著中选择2部共有12种等可能的结果，其中，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》共有2种结果， 所以恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是， 故选：D． 8. 下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若，则；④若，则．其中是真命题的是（ ） A. ②③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的真假，根据对顶角相等，平行线的判定，等式的性质，不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：对顶角相等，故①为真命题； 同位角相等，两直线平行，故②为真命题； 若，则或，故③为假命题； 若，当时，则，故④为假命题； 故选B． 9. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分得的线段成比例的相关知识，熟练掌握这个定理是解答本题的关键． 由平行关系得到线段对应成比例，再根据比例关系求出的长． 【详解】∵ ∴，即， ∴， ∴． 故选B． 10. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意代入数据求得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，函数为反比例函数， 当时，， 即函数图象经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键． 二．填空题（本题共5题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式2m，再利用平方差公式完成因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用提取公因式法和公式法分解因式的知识，熟练运用平方差公式是解答本题的关键． 12. 如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若∠B＝52°，则∠AEC的度数为_______． 【答案】116° 【解析】 【分析】首先由四边形是平行四边形，可得，的度数可求出的度数，再由条件平分可求出的度数，继而可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， 又∵∠B＝52°， ， 平分， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，根的判别式大于0， “二次项系数不为0”，是解决问题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到且，解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 14. 如图，在中，D，E分别是的中点，是上一点，且，若，则的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，勾股定理，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵D，E分别是的中点， ∴是中位线， 又∵ ∵， ∵， E分别是的中点，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，将一个含的直角三角板放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点的坐标为，点在轴上，过点，作抛物线，且点为抛物线的顶点.要使这条抛物线经过点，那么抛物线要沿对称轴向下平移________个单位． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的图像与性质，求解平移后的抛物线解析式是解题的关键．如图，过作轴于，由抛物线的顶点为，求出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质证明，从而得到的坐标，再写出向下平移个单位后的抛物线的解析式，代入的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图，过作轴于， 抛物线的顶点为， 对称轴为：， ， ， 解得：， 抛物线为：，点， ，， ， ， ， ，， ， ，设抛物线向下平移个单位后过点， 过点， ， 解得：， 故答案为：． 三．解答题（本题共8题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据乘方、立方根和负指数幂的运算法则以及运用特殊三角函数值和二次根式的运算进行计算即可； （2）根据异分母分式减法法则计算括号内的式子，再根据分式除法法则计算即可得答案． 【详解】解：（1） ． （2） ． 【点睛】本题考查立方根、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式乘法及分式的混合运算，熟记特殊三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克. （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克； （2）水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元． 【解析】 【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案； （2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：设乙种水果的进价是x元/千克， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 则， 答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克； 【小问2详解】 解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克， 由题意得：， ∵－1＜0， ∴y随a的增大而减小， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍， ∴， 解得：， ∴当时，y取最大值，此时，， 答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键． 18. 某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．这30名学生第一次竞赛成绩 b．这30名学生两次知识竞赛的获奖情况统计表 参与奖 优秀奖 卓越奖 第一次 竞 赛 人 数 10 10 10 平均分 82 87 95 第二次 竞 赛 人 数 2 12 16 平均分 84 87 93 和第二次竞赛成绩得分情况统计图：（规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖；分数，获参与奖） c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下： 90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98 d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 第一次竞赛 m 87.5 88 第二次竞赛 90 n 91 根据以上信息，回答下列问题： （1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点； （2）直接写出m，n的值； （3）请判断第几次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示． （2）， （3） 可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高， 理由是：第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛． 答：二，第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛． 【解析】 【分析】本题考查统计图分析，涉及中位数、加权平均数、众数， （1）根据这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标是89，纵坐标是90的点即代表小松同学的点； （2）根据平均数和中位数的定义可得m和n的值； （3）根据平均数，众数和中位数进行决策即可． 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 ， ∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为： 90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98， ∴第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数， ∴， ∴，； 【小问3详解】 略 19. 因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）. （1）求与x之间的函数解析式； （2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 【答案】（1）当时，；当时， （2）选甲家商店能购买该水果更多一些 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）分别计算时时x的值，比较即可得到结论 【小问1详解】 解：当时，设， 将代入，得， ∴， ∴； 当时，设，将点，代入，得 ，解得， ∴ 【小问2详解】 当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴选甲家商店能购买该水果更多一些． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，求自变量的值，正确理解函数图象是解题的关键． 20. 如图，是一种水平放置的便携式可折叠台灯，其正面如图1所示，点B，E，D均可转动，测得，且当点B，E都在灯座的垂直平分线上时（如图2所示）放置最平稳． （1）求放置最平稳时灯座与灯杆的夹角的大小； （2）当A点到水平桌面（所在直线）的距离为时，学生看书的光线最佳，能更好的保护视力，若台灯放置最平稳时，将调节到，试通过计算说明此时光线是否最佳．（参考数据：，） 【答案】（1）放置最平稳时灯座与灯杆的夹角为 （2）此时光线不是最佳 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点F，由线段垂直平分线的性质可得且，利用三角函数的定义由此求解即可； （2）作于点M，作于点G，则四边形是矩形，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：延长交于点F，则由题可知且； ∴， ∴，即灯座与灯杆的夹角为； 【小问2详解】 解：作于点M，作于点G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴cm， ∴， ∴此时光线不是最佳． 21. 如图，内接于，是的直径，D是上的一点，平分，与相交于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点C作的切线，交延长线于点F； （2）当的半径为5，时，求的长． 【答案】（1） 如图所示，直线为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理及角平分线的定义易证，延长，以点C为圆心，的长为半径，画弧交延长线与点G，分别以点O，点G，为圆心，大于的长为半径，画弧交于两点，连接这两点，延长交这条直线于点F，即可； （2）连接，得，证明，进而证明，得出，解，得出，则，进而根据即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，直线为所求： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ， 是的垂直平分线， ， 为的切线； 【小问2详解】 解：连接， ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了复杂作图，尺规作垂直平分线段，切线的判定，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”． （1）函数①；②；③，其中函数 是在上的“最值差函数”；（填序号） （2）已知函数． ①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值； ②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求k的值． 【答案】（1）②； （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）根据概念分别将①；②；③的最大值，最小值求出，再根据定义进行判断即可得出答案； （2）①分别求出、、时的y值，再分、、、进行讨论，即可得出t的值；②由，可得出，即可知，此时x在抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大，即可得出的表达式，再根据k为整数，求解即可． 【小问1详解】 对于①， 当时，， 当时，， ∴，不符合题意； 对于②， 当时，， 当时，， ∴，符合题意； 对于③， 当时，， 当时，， ∴，不符合题意； 故答案为：②； 【小问2详解】 ①解：当时，二次函数 为，对称轴为直线． 当时，， 当时，， 当时，． 若，则， ∴ 解得（舍去）； 若，则， ∴， 解得（舍去），； 若，则， ∴ 解得，（舍去）； 若，则， ∴ 解得（舍去）． 综上所述，或． ②∵， ∴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时取得最大值，时取得最小值， ∴， ∴m，k为整数，且， ∴m的值为3， ∴． 【点睛】此题考查了二次函数综合应用，新定义问题，同时也涉及一次函数和反比例函数，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题,分析再一定范围内的最值问题，属于中考压轴题． 23. 在数学综合实践课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动，这两张矩形纸片的长为，宽为．将两个完全相同的矩形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，将矩形绕点A顺时针旋转（转动的度数小于），边与边相交于点M． ①当旋转度数为，请求出点F到的距离； ②连接，当时，求的度数； （3）从图2开始，将长方形绕点A旋转一周，若边所在直线恰好经过线段的中点O时，连接，，请直接写出的面积． 【答案】（1） 等腰直角三角形， 理由：矩形和矩形是完全相同的矩形， ，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形． （2）①或；② （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，证出，则可得出结论； （2）①作于H，由旋转的性质及直角三角形的性质可得出答案； ②由矩形的性质及直角三角形的性质可得出答案； （3）作于，证明，得出，，分两种情况求出的长，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①作于， ∴ 当旋转时，即， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ②∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 【小问3详解】 当线段与交于点时，作于， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 当的延长线交于点时， 由上可知， ∴， ∴ ， 综上所述：的面积是或 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $