精品解析：2024年江苏省镇江市丹徒区中考二模数学试题

2024年中考适应性填涂训练 九年级数学试卷 本试卷共6页，共28题； 全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色水笔将自己的姓名、考试号填写在试题答题卷上相应位置． 2．考生必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚． 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．） 1. ﹣9的相反数是________． 2. 若有意义，则实数a取值范围是________． 3. 2024年“五一”期间，我市文旅市场祥和有序，营造了浓厚的假日氛围，全市重点旅游景区、乡村旅游等累计接待游客约人次． 数据用科学记数法表示为______． 4 分解因式：______． 5. 如图，在、两地间修一条笔直的公路，从地测得公路的走向为北偏东，如果 、两地同时开工，那么为_____时，才能使公路准确接通． 6. 有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图形是中心对称图形的概率为________． 7. 某青年志愿者团队共40人，其中5人21岁，30人22岁，5人23岁，志愿者团队的平均年龄为________岁． 8. 点 A 、B在反比例函数 的图像上， 则_____ （用“<”、 “>”或“=”填空）． 9. 如图，在中，，以所在直线为轴，把旋转1周，得到一个圆锥，这个圆锥侧面积为______． 10. 如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为______°． 11. 二次函数（m、c 是常数，且m≠0）的图像过点 A(3，0)，则方程mx2＋2mx＋c＝0的根为______． 12. 如图，中，，边上的高为18，点D、E是边上的动点，且，点F为边上的一点，连接，则面积的最大值为_____． 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计 18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 13. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（ ） A. B. C. D. 14. 下列各式的运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程［七］中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金两，每只羊值金两，那么下面列出的方程组中正确的是（ ） A B. C. D. 16. 为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 17. 甲、乙两电信公司提供了两种移动通讯收费方式，他们各自的费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系如图，若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜（ ）元． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 18. 如图，点A是反比例函数在第二象限图象上的一点，其纵坐标为1，分别作轴、轴，点D为线段的三等分点作轴，交双曲线于点E，连接．若，则k的值为（ ） A. -2 B. C. D. 三、解答题（本大题共有10小题，共计 78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算： ； （2）化简：. 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：. 21. 在平行四边形中，对角线交于点O，E为的中点，作，交延长于点F，连接． （1）求证：； （2）连接，当 时， 四边形是菱形． 22. 4月 23 日是世界读书日，为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）被抽查的学生人数为 ，扇形统计图中m的值为 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1000名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数． 23. 很多绿植具有净化空气、缓解压力等功效．小明、小红、小黄三人各自随机选择到甲、乙 2 个花鸟市场购买绿植． （1）小明选择在甲花鸟市场购买绿植的概率为 ； （2）求小明、小红、小黄三人在同一花鸟市场购买绿植的概率． 24. 陈老师为了减轻颈椎压力，购买了一个笔记本支架（如图1），该支架可以进行多角度调节，从而调整笔记本的高度，图2是其示意图，其中，．陈老师调整支架、笔记本，得到一个自己感觉舒适的位置， 测得，，求此时顶部边缘A处离桌面的高度．（结果精确到， 参考数据：，，） 25 如图，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线 交于点． （1） ， ； （2）将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，则点在双曲线上吗？请说明理由； （3）连接，点P为x轴正半轴上一点，若以点 C、O、P为顶点的三角形与 相似，求点P的坐标． 26. 如图1，点P为外一点． （1）过点P作的一条切线（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； （2）如图2， 为的切线，连接，交于点E，作，交于点A，作直径，连接交于点F． ① 求证：； ② 若，求的长． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C，下表给出了该抛物线上部分点的坐标值： x 0 1 2 3 4 y 4 0 -2 -2 0 （1）求二次函数的表达式； （2）点D在抛物线的对称轴上，若的面积为 ，则点D的坐标为 ； （3）如图2，点E是位于第四象限的抛物线上的一点， 若，求点E的坐标． 28. “折纸”是同学们经常做的手工活动． 如图1，矩形纸片，，点O为其对称中心，小明沿着过点 O 的直线将矩形纸片进行折叠，折痕交边于点 M、N，点A、B的对应点记为交边于点E． （1）如图2，当点与点D重合时， ； （2）在上述折叠过程中，求证： ①为等腰三角形； ② ； （3）如图3，，连结交于点F，连接，则的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考适应性填涂训练 九年级数学试卷 本试卷共6页，共28题； 全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色水笔将自己的姓名、考试号填写在试题答题卷上相应位置． 2．考生必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚． 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．） 1. ﹣9的相反数是________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可求解． 【详解】﹣9的相反数是9 故答案为：9． 【点睛】此题主要考查相反数的求解，解题的关键是熟知有理数的性质． 2. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义则被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 3. 2024年“五一”期间，我市文旅市场祥和有序，营造了浓厚的假日氛围，全市重点旅游景区、乡村旅游等累计接待游客约人次． 数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为． 4. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 5. 如图，在、两地间修一条笔直的公路，从地测得公路的走向为北偏东，如果 、两地同时开工，那么为_____时，才能使公路准确接通． 【答案】 【解析】 【分析】】本题主要考查方向角，平行线的性质，利用平行线的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：使公路准确接通， ， ， ． 故答案：． 6. 有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图形是中心对称图形的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合概率求法直接得出答案． 【详解】解：∵等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆中， 平行四边形，圆是中心对称图形， ∴从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图形是中心对称图形的概率为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质和概率求法，正确把握中心对称图形的定义是解题关键． 7. 某青年志愿者团队共40人，其中5人21岁，30人22岁，5人23岁，志愿者团队的平均年龄为________岁． 【答案】22 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 根据加权平均数的计算公式列式计算即可． 【详解】解：根据题意得：（岁）． 故答案为：22． 8. 点 A 、B在反比例函数 的图像上， 则_____ （用“<”、 “>”或“=”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的比例系数大于0，在每个象限内，y随x的增大而减小成为解题的关键． 根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为． 9. 如图，在中，，以所在直线为轴，把旋转1周，得到一个圆锥，这个圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的计算，掌握圆锥的定义以及侧面积计算公式成为解题的关键． 先根据勾股定理求解得到的母线长，再运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：由已知得，圆锥母线长，底面圆的半径r为8， ∴圆锥的侧面积是． 故答案：． 10. 如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，根据题意得到，，根据同角的补角相等和圆周角定理即可得到． 【详解】解：∵是内接四边形的一个外角， ∴， ∴ 故答案为： 11. 二次函数（m、c 是常数，且m≠0）的图像过点 A(3，0)，则方程mx2＋2mx＋c＝0的根为______． 【答案】3或-5##-5或3 【解析】 【分析】将A点坐标代入得，解得，原方程变为，因式分解法解方程即可． 【详解】解：将A点坐标代入得 解得 ∴原方程变为 ∴ ∴或 解得的值为3或 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键在于理解二次函数与一元二次方程的关系． 12. 如图，中，，边上的高为18，点D、E是边上的动点，且，点F为边上的一点，连接，则面积的最大值为_____． 【答案】54 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、三角形的面积等知识点，熟知相似三角形对应高之比等于相似比是解题的关键． 过点A作于点H，交于点G，由证得，再根据相似三角形对应高之比等于相似比得出，设,即可用含x的代数式表示，然后根据三角形面积公式计算，最后根据二次函数的最值计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点H，交于点G， ∵， ∴， ∴， 设, ∵，边上的高为18， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积有最大值，当时，面积最大，最大值为54． 故答案为：54． 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计 18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 13. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：其主视图有2列，从左到右依次有3、1个正方形，图形如下： 故选D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看到的图形是主视图是解题关键． 14. 下列各式的运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. 与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D. ，故该选项符合题意． 故选D． 15. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程［七］中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金两，每只羊值金两，那么下面列出的方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设每头牛x两，每只羊y两，根据题意建立二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设每头牛x两，每只羊y两，根据题意，可得 ， 故选：A． 16. 为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，计算平均数、众数及方差需要全部数据，从统计图可得：前三组的数据共有5+11+16=32，共有50名学生，中位数为第25与26位的平均数，据此即可得出结果． 【详解】解：根据题意可得，计算平均数、方差需要全部数据，故A、D不符合题意； ∵50-5-11-16=18＞16， ∴无法确定众数分布在哪一组，故C不符合题意； 从统计图可得：前三组的数据共有5+11+16=32， 共有50名学生，中位数为第25与26位的平均数， ∴已知的数据中中位数确定，且不受后面数据的影响， 故选：B． 【点睛】题目主要考查条形统计图与中位数、平均数、众数及方差的关系，理解题意，掌握中位数、平均数、众数及方差的计算方法是解题关键． 17. 甲、乙两电信公司提供了两种移动通讯收费方式，他们各自的费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系如图，若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜（ ）元． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据图中点的坐标，利用待定系数法，可求出、关于的函数关系式，作差后，即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，根据图中点的坐标，利用待定系数法求出、关于的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：当时，设，均为常数，且， 将，代入得：， 解得：， ； 当时，设，均为常数，且， 将，代入得：， 解得：， ． 当时，， 若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜12元． 故选：C． 18. 如图，点A是反比例函数在第二象限图象上的一点，其纵坐标为1，分别作轴、轴，点D为线段的三等分点作轴，交双曲线于点E，连接．若，则k的值为（ ） A. -2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得． 故选：B． 三、解答题（本大题共有10小题，共计 78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算： ； （2）化简：. 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、实数的混合运算、分式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键. （1）先根据零次幂、绝对值、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可； （2）直接运用分式的混合运算法则计算即可. 【详解】解：（1） ； （2） . 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：. 【答案】（1）无解；（2）. 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、解不等式组等知识点，遗漏解分式方程的检验成为解题的关键. （1）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可. 【详解】解：（1） ， 检验：当时，，则是增根. 所以原分式方程无解. （2）， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 所以不等式组的解集为：. 21. 在平行四边形中，对角线交于点O，E为的中点，作，交延长于点F，连接． （1）求证：； （2）连接，当 时， 四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）90 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可证明结论； （2）根据矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，根据菱形的判定定理即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， 【小问2详解】 解：若，则四边形是菱形， 证明：在中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：90． 22. 4月 23 日是世界读书日，为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）被抽查的学生人数为 ，扇形统计图中m的值为 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1000名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数． 【答案】（1）200人，40． （2）见解析 （3）300人 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）将其他类人数除以其所占的比即可求出被抽查的人数；将科技类人数除以被抽查的人数化成百分数，即可求出m的值； （2）先求出艺术类人数，再补全条形统计图即可； （3）将1000乘以样本中最喜欢“文学类”书籍所占的比例即可估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数． 【小问1详解】 解：被抽查的学生人数是（人）， ∵， ∴扇形统计图中m的值是40． 故答案为：200人，40． 【小问2详解】 解：（人）， 补全的条形统计图如图所示． 【小问3详解】 解：∵（人）， ∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有300人． 23. 很多绿植具有净化空气、缓解压力等功效．小明、小红、小黄三人各自随机选择到甲、乙 2 个花鸟市场购买绿植． （1）小明选择在甲花鸟市场购买绿植的概率为 ； （2）求小明、小红、小黄三人在同一花鸟市场购买绿植的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】本题考查用列表法或树状图法求概率． （1）根据概率公式，即可求解； （2）首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明选择在甲花鸟市场购买绿植的概率为 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如图： 共有8种等可能的结果，小明、小红和小黄三人在同一花鸟市场购买绿植的结果有2种， ∴小明、小红、小黄三人在同一花鸟市场购买绿植的概率 24. 陈老师为了减轻颈椎压力，购买了一个笔记本支架（如图1），该支架可以进行多角度调节，从而调整笔记本的高度，图2是其示意图，其中，．陈老师调整支架、笔记本，得到一个自己感觉舒适的位置， 测得，，求此时顶部边缘A处离桌面的高度．（结果精确到， 参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长和的度数，再利用周角是可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 此时顶部边缘处离桌面的高度约为． 25. 如图，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线 交于点． （1） ， ； （2）将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，则点在双曲线上吗？请说明理由； （3）连接，点P为x轴正半轴上一点，若以点 C、O、P为顶点的三角形与 相似，求点P的坐标． 【答案】（1）4，． （2）点不在双曲线上，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入解方程得到，即；把代入可求得k的值； （2）联立两函数解析式可得，即，根据旋转的性质得到，过C作轴于D，过作交的延长线于E，则，根据全等三角形的性质得到，即，然后判断即可； （3）由（1）得，，得到，设，根据相似三角形的性质即可解得． 【小问1详解】 解：把点代入解方程得到， ∴， 把代入可得，，解得． 故答案为：4，． 【小问2详解】 解：点不在双曲线上，理由如下： 在中，令，则， ∴， ∴， ∵线段绕点C逆时针旋转，得到线段， ∴， 过C作轴于D，过作交的延长线于E，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴点不在双曲线上． 【小问3详解】 解：由（1）得，， ∴， ∵点P为x轴正半轴上一点， ∴设， ∵以点C、O、P为顶点的三角形与相似，， ∴或（此时点A与点P重合） ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题属于反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 26. 如图1，点P为外一点． （1）过点P作的一条切线（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； （2）如图2， 为的切线，连接，交于点E，作，交于点A，作直径，连接交于点F． ① 求证：； ② 若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、正切函数、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先作的垂直平分线得到的中点E，再以为半径作交于B、Q，根据圆周角定理得到，连接即可． （2）①先根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得，再根据切线的性质、圆周角定理以及同角的余角相等即可证明结论；②由圆周角定理、平行线的性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据勾股定理列方程求得,即；然后再根据①的结论运用正切函数列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图：线段即为所求； 【小问2详解】 解：①∵, ∴， ∵， ∴, ∴， ∵是直径， ∴, ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴． ②∵是直径， ∴, ∵， ∴， ∵,, ∴, ∵， ∴, ∵,即, ∴,解得：,即, ∵， ∴，即, ∴,解得：． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C，下表给出了该抛物线上部分点的坐标值： x 0 1 2 3 4 y 4 0 -2 -2 0 （1）求二次函数的表达式； （2）点D在抛物线的对称轴上，若的面积为 ，则点D的坐标为 ； （3）如图2，点E是位于第四象限抛物线上的一点， 若，求点E的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想以及转化思想成为解题的关键． (1)根据表格数据采用待定系数法即可解答； （2）先根据二次根式的解析式确定、,即；然后再分点D在x轴上方和下方两种情况分别画出图形，并根据的面积为 列方程求解即可； （3）如图：取,即，根据二次函数解析式可得，即，易证可得,；如图：以为边作正方形,连接,即,，易得；作关于x轴的对称点，则可得；再求出直线的解析式为；如图：过B作交抛物线于点E,此时,即；再运用待定系数求得直线的解析式，最后与抛物线解析式联立即可解答． 【小问1详解】 解：由表格数据可知：二次函数图像过点， 则有，解得：， 所以二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为：，, ∴ 当D在x轴上方时， 设，则， ，解得： ∴； 当Dx轴下方，抛物线上方时， 设，则， ，解得：，不符合题意； 如图：当D在x轴下方，抛物线下方时， 设，则由待定系数法可得直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； ∴ 综上，D的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图：取,即 ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, 如图：以为边作正方形,连接,即, ∴, ∴, 作关于x轴的对称点，则， ∴，即, 由待定系数法可得直线的解析式为：， 如图：过B作交抛物线于点E,此时,即, 设直线的解析式为，将点代入可得：， ∴直线的解析式， 联立，解得：或（与点B重合舍弃） ∴点E的坐标为． 28. “折纸”是同学们经常做的手工活动． 如图1，矩形纸片，，点O为其对称中心，小明沿着过点 O 的直线将矩形纸片进行折叠，折痕交边于点 M、N，点A、B的对应点记为交边于点E． （1）如图2，当点与点D重合时， ； （2）在上述折叠过程中，求证： ①为等腰三角形； ② ； （3）如图3，，连结交于点F，连接，则的面积为 ． 【答案】（1）6 （2）①见解析；②见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，然后根据勾股定理列方程求解即可； （2）①由折叠的性质和平行线的性质可得，即，从而证明结论；②如图：连接，可证明四边形是平行四边形可得；如图：过E作，则四边形为矩形，即，然后运用勾股定理可得，整列可得，再对结论进行变形也可得到，从而证明结论； （3）根据（2）②的结论以及的条件可得，再证明四边形是平行四边形可得,由矩形的性质可证,由相似三角形的性质可得,即,解得:;然后根据结合图形运用三角形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：∵小明沿着过点 O 的直线将矩形纸片进行折叠，折痕交边于点 M、N，点与点D重合， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为6． 【小问2详解】 解：①∵小明沿着过点 O 的直线将矩形纸片进行折叠，折痕交边于点 M、N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ②如图：连接， ∵点O为矩形的对称中心， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 如图：过E作，则四边形为矩形，即 ∵，， ， ∴， ∴， ∴，即, ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 连接, ∵点O为矩形的对称中心， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵矩形, ∴, ∴, ∴,, ∴,解得:,, ∴ ． 故答案为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$