精品解析：江苏省南菁高级中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

2023-2024学年第二学期5月阶段性检测 高二数学 2024.5 总分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程. 【详解】因为椭圆的长轴端点为，焦点为， 所以双曲线的焦点为，顶点为， 所以双曲线方程为. 故选：C. 2. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】设出公差，根据等差数列求和公式得到方程，求出首项和公差，求出答案. 【详解】设公差为，则有， 解得， 故. 故选：B 3. 已知抛物线C：的焦点为F，点为抛物线C上的一点，且，点B是抛物线C上异于点A的一点，且A，F，B三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抛物线的标准方程，得到A，F的坐标，设，利用三点共线求出b，即可求出. 【详解】由抛物线的定义可得：，解得，则抛物线C：.所以，. 设，因为A，F，B三点共线，所以，解得（b＝1舍去）， 故，． 故选：A 4. 已知正项等比数列的前n项积为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，利用等比数列的性质可得，再结合对数的运算性质即可求解. 【详解】∵，∴， ∴，又， ∴，得， ∴. 故选：B． 5. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（     ） A. 999 B. 749 C. 499 D. 249 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解. 【详解】由，得， 因此数列为公比为5，首项为的等比数列， 故， 进而根据累加法得 ， 由于， 又， 因此，则， 故， 所以. 故选：A 6. 已知函数，下列关于的四个命题，其中是假命题是（ ） A. 函数在上是增函数 B. 函数的最小值为0 C. 如果时，，则的最小值为2 D. 函数有2个零点 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，画出函数图像，数形结合解决问题. 【详解】对于A，因为，求导得， 当或时，，当时，， 故在和上单调递减，在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，当时，， 结合A选项得函数的最小值为0，故B正确； 对于C， 当时，，则的图像如下所示： 如果时，，由图可知的最小值为， 故C正确； 对于D， 由图可知只有一个零点，故D不正确. 故选：D. 7. 已知数列满足，若，数列的前项和为，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列求，进而得，由分组求和得，根据奇偶即可求解最值. 【详解】，可知为等比数列，所以，故，进而，所以 ， 故，即， 当为奇数时，则对任意的奇数，满足，由于单调递减， 当时，有最大值 ，所以, 当为偶数时，满足，由于单调递减， ， 综上可得 ， 同理， 故当 时， ，故， 综上：， 故选：D 8. 已知、为双曲线的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于、两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，若，则此双曲线离心率的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的内切圆为圆，该圆切、、于点、、，设的内切圆为圆，推导出，可得出，即可得、所满足的等式，即可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】设的内切圆为圆，该圆切、、于点、、， 设的内切圆为圆，如下图所示： 由切线长定理可得，，， 则， 即， 所以，，则， 由圆的几何性质可知，轴，可知，，同理可知，， 所以，、、三点共线，且轴， 因为，，，所以，， 所以，，同理可得，， 所以，， 所以，，所以，， 即，即，即， 因为，所以，，可得，故该双曲线的离心率为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知等差数列{}的前n项和 ，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当取得最大值时 D. 当取得最大值时 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据等差数列的求和公式列方程得到；B选项，根据等差数列的通项公式判断；CD选项，根据等差数列的求和公式和二次函数单调性判断. 【详解】设公差为，则， 所以，解得，故A正确； ，故B正确； ，所以当时，最大，故C正确，D错. 故选：ABC. 10. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 到的左焦点的距离的最小值为 D. 若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件可得，由此可求椭圆的离心率，由此判断A，由条件可得为圆的直径，确定面积的表达式求其最值，由此判断B，由条件确定的表达式求其范围，由此判断C，结合点差法判断D. 【详解】依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆上， 所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确； 因为点，，都在圆上，且，所以为圆的直径，所以，所以面积的最大值为，故B正确； 设，的左焦点为，连接，因为，所以，又，所以， 则到的左焦点的距离的最小值为，故C不正确； 由直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称，设，，则，，，又，所以，所以，所以， 故D正确 故选：ABD． 【点睛】椭圆的蒙日圆及其几何性质 过椭圆上任意不同两点，作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质： 性质1：． 性质2：平分切点弦． 性质3：的最大值为，的最小值为． 11. 已知数列的前n项和为，若，且，则下列说法确的是（ ） A. 为单调递增数列 B. C. D. 当时，数列的前n项和满足 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用递推式得到，从而证得数列是单调递减数列，由此判断即可；对于B，先利用反证法证得，再由数列的单调性得到，据此判断即可；对于C，利用累加法即可证得，由此判断即可；对于D，利用数列的单调性与前项的定义即可证得，据此判断即可. 【详解】对于A，因为， 若，则，故是各项为的常数列，与矛盾， 所以，，则，故，即， 所以数列是单调递减数列，故A错误； 对于B，因为， 若，则，故是各项为负数的数列，与矛盾，所以， 又因为数列是单调递减数列，所以是数列中最大的项，所以， 综上：，故B正确； 对于C，因为，所以，则， 所以， 上述各式相加得， 又，所以， 经检验：，满足， 所以，故C正确； 对于D，由选项A知，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的各项均为正数，，，则数列前10项的和为___________. 【答案】 【解析】 【分析】运用因式分解法，结合等比数列的定义、裂项相消法进行求解即可. 【详解】由，或， 当时，即，所以数列是以为公比的等比数列，这不符合数列的各项均为正数； 当时，即，所以数列是以为公比的等比数列，又， 所以， 因为， 所以前10项的和为， 故答案为： 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交两条渐近线于点，，且．若点在轴上的射影为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形面积公式和比例性质，由求解即可. 【详解】如图所示： 则， 双曲线的渐近线为， ， ， 不妨设，，， 则，，，， ， . 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用比例的性质与点的坐标的关系求得，从而求得，由此结合求解即可. 14. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为___________；（2）计算___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用拐点的定义求解； （2）根据（1）的结论，得到求解. 【详解】（1），， 令，解得， ∴， ∴函数的对称中心为； （2）∵的对称中心为， ∴， ∴， ， 故答案为：（1）；（2）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 数列的前项和为，且，当时，. （1）计算：，； （2）证明为等差数列，并求数列的通项公式； 【答案】（1）， （2）证明： 因为当时，， 所以， 所以数列为等差数列，首项为，公差为， 所以， 所以， 于是，当时， ， 当时，，满足上式， 故. 【解析】 【分析】（1）利用特值法可得，； （2）构造数列，即可得证，进而可得，再根据可得数列的通项公式. 【小问1详解】 由，， 令，得，又，所以， 令，得，又； 【小问2详解】 证明略，通项公式为. 16. 为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元. 【解析】 【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可； （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，比较即可得出答案. 【小问1详解】 由题意，当时，；当时，. 所以. 【小问2详解】 当时，，令，解得. 易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时， . 当时，， 当且仅当，即时取等号. 综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元. 17. 设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可； （2）根据平面向量数量积坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【详解】解：（1）由题意可得，，当时，，所以得：，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知，，，， 过点且斜率为的直线方程为， 联立方程，可得， 设，， 则，， 故， 又，， ，， 所以 ， 整理可得，解得. 【点睛】关键点睛：根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解是解题的关键. 18. 设为等差数列的前n项和，其中，且． （1）求常数的值，并写出的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，若对任意的，，都有，求正整数的最小值． 【答案】（1），. （2）的最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求得，，结合数列为等差数列，列出方程组，求得，得到，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法求得，把不等式，转化为，令，结合，根据数列的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：由，且， 令，可得，解得； 当，可得，解得， 因为数列为等差数列，可得，解得， 所以，所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，所以， 则， 可得， 两式相减可得 ， 所以 要使得，即，即， 令，可得， 则， 当时，； 当时，，即， 即， 所以当时，恒有， 故存在时，对于任意时，都有成立. 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点． （1）求C的方程； （2）不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个． 【答案】（1） （2） 设，，，直线l的方程为， 联立，整理得， 由题意，得，则， 则，， ， 设MN的中点为，则，， 所以线段MN的垂直平分线的方程为， 令，得，即，所以， 由题意，得，即，从而， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或， 所以直线l的方程为，或，或，或， 故直线l过四个定点中的一个． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）设，，，直线l的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，，再根据，求出的关系，即可得出结论. 【小问1详解】 设C的焦距为2c，则，即，，， 由双曲线的定义，得， 即，所以， 故C的方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中直线过定点问题通法，是先设出直线方程（或），通过韦达定理和已知条件若能求出为定值可得直线恒过定点，若得到和的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期5月阶段性检测 高二数学 2024.5 总分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 3. 已知抛物线C：的焦点为F，点为抛物线C上的一点，且，点B是抛物线C上异于点A的一点，且A，F，B三点共线，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正项等比数列的前n项积为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（     ） A. 999 B. 749 C. 499 D. 249 6. 已知函数，下列关于的四个命题，其中是假命题是（ ） A. 函数在上是增函数 B. 函数的最小值为0 C. 如果时，，则的最小值为2 D. 函数有2个零点 7. 已知数列满足，若，数列的前项和为，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知、为双曲线的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于、两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，若，则此双曲线离心率的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知等差数列{}的前n项和 ，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当取得最大值时 D. 当取得最大值时 10. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 到的左焦点的距离的最小值为 D. 若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 11. 已知数列的前n项和为，若，且，则下列说法确的是（ ） A. 为单调递增数列 B. C. D. 当时，数列的前n项和满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的各项均为正数，，，则数列前10项的和为___________. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交两条渐近线于点，，且．若点在轴上的射影为，则__________． 14. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为___________；（2）计算___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 数列的前项和为，且，当时，. （1）计算：，； （2）证明为等差数列，并求数列的通项公式； 16. 为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 17. 设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值. 18. 设为等差数列的前n项和，其中，且． （1）求常数的值，并写出的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，若对任意的，，都有，求正整数的最小值． 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点． （1）求C的方程； （2）不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $