精品解析：河南省信阳高级中学2023-2024学年高一下学期5月期中测试数学试题（二）

信阳高中北湖校区2023-2024学年高一下期05月测试（二） 数学试题 命题人:吴奕萱 审题人:杨立雅、赵敏、王悦、李前辉、李鑫海 一、单选题 1. 下列结论正确的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C. 有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台 D. 棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 2. 设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与垂直 D. 3. 下列概率模型，其中属于古典概型的是（ ） A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 C. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D. 一只使用中的灯泡寿命长短 4. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 8 5. 下列命题中是真命题是（ ） A. 一组数据，，，，，平均数、众数、中位数相同； B. 有、、三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为，则样本容量为； C. 若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲； D. 一组数，，，，，，，，，的分位数为． 6. 甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（ ） A. B. C. D. 7. 祖暅，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在《级术》中提出“幂势既同，则积不容异”的结论，其中“幂”是面积.“势”是高，意思就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（如图①）.这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积，若某艺术品如图②所示，高为40cm，底面为边长20cm的正三角形挖去以底边为直径的圆（如图③），则该艺术品的体积为（ ） A. B. C D. 8. 如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为两部分，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数，则（ ） A. 的共轭复数是 B. 对应的点在第二象限 C. D. 若复数满足，则的最大值是6 10. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β B. 如果m⊂α，α∥β，那么m∥β C. 如果α∩β＝l，m∥α，那么m∥l D. 如果m⊥n，m⊥α，nβ，那么α⊥β 11. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 12. 正方体ABCD-的棱长为a，E在棱上运动(不含端点)，则（ ） A. 侧面中不存在直线与DE垂直 B. 平面与平面ABCD所成二面角为 C. E运动到的中点时，上存在点P，使BC∥平面AEP D. P为中点时，三棱锥体积不变 三、填空题 13. 福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为__________． 14. 已知，为平面内向量的一组基底，，，若，则______. 15. 已知是球表面上的点，平面若球的体积为，则__________. 16. 如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为________.（塔顶大小和游客身高忽略不计） 四、解答题 17. 已知关于的方程，. （1）当时，在复数范围内求方程的解； （2）已知复数，若方程有虚根，求的模的取值范围. 18. 已知的内角的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，证明：是直角三角形. 19. 为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有4个白球、2个红球的抽奖箱中一次抽取两个球．已知抽出1个白球减20元，抽出1个红球减40元． （1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率； （2）若某顾客去影院充值并参与抽奖，求其减免金额低于80元的概率． 20. 树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时）），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查.记男生样本为，样本平均数、方差分别为；女生样本为，样本平均数、方差分别为；总样本平均数、方差分别为. （1）该兴趣社团通过分析给出以上两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数； （2）已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值. 21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，. （1）设分别为的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 22. 如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. （1）求的值； （2）若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 信阳高中北湖校区2023-2024学年高一下期05月测试（二） 数学试题 命题人:吴奕萱 审题人:杨立雅、赵敏、王悦、李前辉、李鑫海 一、单选题 1. 下列结论正确的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C. 有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台 D. 棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱锥的定义即可判断A，举反例即可判断BC，根据棱台特点即可判断D. 【详解】对于A，底面是正方形的棱锥且顶点在底面的射影为底面中心才是正四棱锥，故A错误； 对于B，以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B错误； 对于C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台， C错误； 对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确. 故选：D. 2. 设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与垂直 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的运算求解. 【详解】选项A：因为是三个非零的平面向量，且相互不共线， 所以不会同时与垂直，所以与不会同时为0， 所以，故A错误；（注意向量的数量积为一个常数） 选项B：，由于， （点拨：向量夹角的取值范围是）所以，故B错误； 选项C：因为， 且由A知与不相等，所以与垂直， （点拨：若两向量的数量积为0，则两向量垂直）故C正确； 选项D：因为是非零向量，且不共线，所以设， 从而，在中，两边之差小于第三边，所以， （提示：不共线，所以中的等号不成立）故D错误． 故选:C. 3. 下列概率模型，其中属于古典概型的是（ ） A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 C. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D. 一只使用中的灯泡寿命长短 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的特征依次判断即可. 【详解】A不属于，原因：所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性； B不属于，原因：命中0环，1环，2环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性； C属于，原因：显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的； D不属于，原因：灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性． 故选：C. 4. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法还原直观图即得. 【详解】由题可知， ∴，还原直观图可得原平面图形，如图， 则， ∴， ∴原平面图形的周长为. 故选：B. 5. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组数据，，，，，的平均数、众数、中位数相同； B. 有、、三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为，则样本容量为； C. 若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲； D. 一组数，，，，，，，，，的分位数为． 【答案】A 【解析】 【分析】由平均数、中位数、众数的求法判断A；由分层抽样的性质判断B；由方差的求法以及性质判断C；由百分位数的求法判断D. 【详解】对于A：平均数为，众数为3，中位数为，故A正确； 对于B：设样本容量为，则，解得，故B错误； 对于C：乙组数据平均数为，其方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C错误； 对于D：因为，所以这组数据的分位数为，故D错误； 故选：A 6. 甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可. 【详解】由题可得：①，正确；②事件“靶被击中”，表示甲乙同时击中，，所以②错误； ③，正确，④表示靶被击中，所以④错误；⑤，正确；⑥互为对立事件，，正确；⑦，所以⑦不正确． 正确的是①③⑤⑥． 故选：B 【点睛】此题考查事件关系和概率关系辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析. 7. 祖暅，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在《级术》中提出“幂势既同，则积不容异”的结论，其中“幂”是面积.“势”是高，意思就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（如图①）.这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积，若某艺术品如图②所示，高为40cm，底面为边长20cm的正三角形挖去以底边为直径的圆（如图③），则该艺术品的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出阴影部分的面积，其面积为边长20cm的正三角形的面积减去两个边长为10cm的正三角形的面积，再减去圆心角为，半径为10cm的扇形面积，然后利用柱体的体积公式求解即可 【详解】由图知阴影部分的面积为， 所以艺术品的体积为. 故选：B 8. 如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例可求得，结合棱台和棱柱体积公式可求得结果. 【详解】，，，，； ，几何体为三棱台， 设三棱柱的高为， ， ，. 故选：A. 二、多选题 9. 已知复数，则（ ） A. 的共轭复数是 B. 对应的点在第二象限 C. D. 若复数满足，则的最大值是6 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，由共轭复数的定义即可判断；对于选项B，先求，再判断对应的点所在的象限；对于选项C，分别求出和即可判断；对于选项D，可用复数模的三角不等式求解，或用复数模的几何意义转化为圆上的点和定点的距离的最值问题来求解. 【详解】对于选项A，由复数，得的共轭复数是， 故选项A正确. 对于选项B，由复数，得， 所以对应的点为在第二象限. 故选项B正确. 对于选项C，，， 故选项C错误. 对于选项D， 解法一：因为， 利用复数模的三角不等式得. 解法二：如图， 因为在复平面上对应的点为， 表示在复平面上对应的点到的距离等于， 所以表示的点的轨迹为圆心在，半径等于的圆. 因为，， 所以当对应的点在处时，的最大值为. 故选项D正确. 故选：ABD 10. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β B. 如果m⊂α，α∥β，那么m∥β C. 如果α∩β＝l，m∥α，那么m∥l D 如果m⊥n，m⊥α，nβ，那么α⊥β 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A,由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于B，由面面平行的性质得m∥β；对于C,m与l平行或异面；对于D，α与β可能平行，相交但不一定垂直. 【详解】对于A,当m⊥n，m⊥α时，n⊂α或n∥α，当n⊂α，n⊥β时，a⊥β，显然正确， 当n∥α时，∃l⊂α，使得n∥l，而n⊥β，所以l⊥β，即有a⊥β，综上，总有a⊥β，A正确； 对B，根据线面平行的定义可知，B正确； 对于C ,如果α∩β＝l，m∥α，那么m与l平行或异面，故C错误； 对于D，当，时，或，而， 可能平行，相交，那么不一定成立，D错误, 故选：AB. 11. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD． 【详解】是的重心，延长交于点，则是中点， ，A错； 由得，所以， 又，即 所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立，， ，C正确； 由得， 所以， ，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错． 故选：BC． 12. 正方体ABCD-的棱长为a，E在棱上运动(不含端点)，则（ ） A. 侧面中不存在直线与DE垂直 B. 平面与平面ABCD所成二面角为 C. E运动到的中点时，上存在点P，使BC∥平面AEP D. P为中点时，三棱锥体积不变 【答案】BCD 【解析】 【分析】由线垂直于面，则线垂直于面内的任意一条线，可判断A选项，由二面角的定义找到平面与平面ABCD所成二面角，可判断B选项，由线面平行的判定定理可以找到点P，可判断C选项，由线面平行的判定定理可得E到平面的距离为定值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，E在棱上运动时，DE平面，连接，， 则⊥平面，∴，A错误. 对于B选项，平面A1DE与平面ABCD所成二面角即为，B正确. 对于C选项，BC∥AD，∴BC∥面AED， ∴当P是A1C与平面AED的交点时，BC//平面AEP，C正确. 对于D选项，连接BC1与B1C交于O，连接PO， 则在中，PO∥A1B1，又∵PO⊂平面，平面PBC1， ∴A1B1∥平面，∴E到平面的距离为定值. 三棱锥体积不变，D正确. 故选：BCD 三、填空题 13. 福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为__________． 【答案】05 【解析】 【分析】根据随机数表法，依次进行选择即可得到答案. 【详解】解：由题意，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字中小于34的编号为：21，32，05，16， 故第3个个体的编号为05． 故答案为：05. 14. 已知，为平面内向量的一组基底，，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的定义，列出关于的方程，最后求解方程得出答案. 【详解】由得，，解得. 故答案为：. 15. 已知是球表面上的点，平面若球的体积为，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】把四面体补形为长方体，根据外接球直径为长方体的体对角线，即可求解. 【详解】 因为平面，所以可以将四面体补形为长方体， 因为球的体积为，设球的半径为，所以，所以， ，解得. 故答案为：1. 16. 如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为________.（塔顶大小和游客身高忽略不计） 【答案】 【解析】 【分析】先用正弦定理解三角形得，再利用求取最小值来求仰角正切值的最大值即可. 【详解】 由塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上， 可知，，在中，， 由，结合正弦定理得， 在可得：， 过点作交于，由于平面，平面， 可得：，即， 当取最小值时：， 由正切函数在锐角范围是单调递增，即要求仰角的最大值，即求其正切值的最大值， 所以有最大值. 故答案为：. 四、解答题 17. 已知关于的方程，. （1）当时，在复数范围内求方程的解； （2）已知复数，若方程有虚根，求的模的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，配方得到，开方即可得出答案； （2）由已知可得，求解得出的取值范围，进而得出，开方即可得出答案. 【小问1详解】 当时，方程为， 配方可得，， 两边开方可得，， 所以，方程的解为. 【小问2详解】 要使方程有虚根，则， 所以，所以. 又，所以， 所以，. 18. 已知的内角的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，证明：是直角三角形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】化简条件，利用余弦定理即可求得； 利用正弦定理，把题中边的关系化为角的关系，进一步计算即可求得. 【小问1详解】 由整理可得， 由余弦定理可得， 又，. 小问2详解】 由及正弦定理，可得， ， ，，， ，即是直角三角形. 19. 为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有4个白球、2个红球的抽奖箱中一次抽取两个球．已知抽出1个白球减20元，抽出1个红球减40元． （1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率； （2）若某顾客去影院充值并参与抽奖，求其减免金额低于80元的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）求出抽取两个球的所有情况，再得出所获得的减免金额为40元的情况，即可得出概率； （2）先求出顾客所获得的减免金额为80元的概率，即可求出低于80元的概率． 【详解】（1）设4个白球为a，b，c，d，2个红球为e，f，事件A为顾客所获得的减免金额为40元， 则一共可抽取共15种情况， ，共6种情况， 所以顾客所获得的减免金额为40元的概率为． （2）设事件B为顾客所获得的减免金额为80元，则，共1种情况， 所以顾客所获得的减免金额为80元的概率为， 故减免金额低于80元的概率． 20. 树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时）），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查.记男生样本为，样本平均数、方差分别为；女生样本为，样本平均数、方差分别为；总样本平均数、方差分别为. （1）该兴趣社团通过分析给出以上两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数； （2）已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用各组区间中点值代表该组的各个值，由频率分布直方图、扇形统计图估计平均数的方法可求得结果； （2）根据分层抽样计算平均数和方差的方法直接求解即可. 小问1详解】 每个组内的数据均匀分布，以各组的区间中点值代表该组的各个值； 由频率分布直方图估计男生样本课外体育锻炼时间的平均数； 由扇形图估计女生样本课外体育锻炼时间的平均数. 【小问2详解】 采用按比例分配的分层随机抽样，； 估计树人中学学生课外运动时间的平均数， . 21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，. （1）设分别为的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）连接，证明，则有平面； （2）取棱的中点，由平面平面，可证平面，得，又，可证得平面； （3）由平面，直线与平面所成角为，在中，求正弦值. 【小问1详解】 证明：连接，如图所示， 底面为平行四边形，则有， 又由，故， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 证明：取棱的中点，连接，如图所示， 为等边三角形，得， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，故， 又已知，，平面， 所以平面. 【小问3详解】 连接，如图所示， 由（2）中平面，可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 22. 如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. （1）求的值； （2）若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】（1） （2），最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可； （2）记，，设，其中，表示出向量，，然后表示出的结果，转化为二次函数求最值即可. 【小问1详解】 由于正三角形中，为边的中点， 所以，，，， 故 ， 由于，所以， 故. 【小问2详解】 记，，，，又， 则， 设，其中，则， ， 所以 ，， 当且仅当即时，取最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$