精品解析：四川省遂宁市射洪中学校2024届高三下学期三模理科数学试题

数学试题（理科） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上． 1. 已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若复数（其中，i为虚数单位）为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（ ） A. 快递行业从业人员中，“90后”占一半以上 B. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20% C. 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多 D. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多 4. 如图，在中，是边的中线，是边的中点，若,则= A. B. C. D. 5. 已知角的终边经过点，则的值不可能是（ ） A. B. 0 C. D. 6. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ） A. B. C. 3 D. 8 7. 在边长为1的小正方形组成的网格中，如图所示，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 某柠檬园的柠檬单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该柠檬园中随机选取200个柠檬，则质量在的柠檬个数的期望为（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 9. 某几何体的三视图如图所示，正视图中的圆弧所对的圆心角为直角，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 12. 设抛物线的焦点为，点是上一点．已知圆与轴相切，与线段相交于点，圆被直线截得的弦长为，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题公共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上）． 13. 曲线在点处切线的斜率为3，则实数______． 14. 的展开式中，含的项的系数为__________． 15. 已知实数满足约束条件，则的最大值是_________. 16. 若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，E是的中点，现给出以下四个命题： ① ②平面平面 ③三棱锥的体积为 ④三棱锥的外接球的表面积为 则正确命题的序号是______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 等比数列中，，． （1）求的通项公式： （2）记为的前n项和，若，求m． 18. 某公司为了解旗下某产品的客户反馈情况，随机抽选了250名客户体验该产品并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理得到如下列联表： 不喜欢 喜欢 合计 男 50 100 150 女 50 50 100 合计 100 150 250 （1）是否有的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系？ （2）公司为进一步了解客户对产品的反馈，现从参与评价的女性客户中，按评价结果用分层抽样的方法随机抽取了4人，收集对该产品改进建议．已知评价结果为“喜欢”的客户的建议被采用的概率为，评价结果为“不喜欢”的客户的建议被采用的概率为．若“建议”被采用，则赠送价值200元的纪念品，“建议”未被采用，则赠送价值100元的纪念品．记这4人获得的纪念品的总金额为，求的分布列及数学期望． 附：， 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 如图1，矩形ABCD中，，，E为CD的中点，现将，分别沿AE，BE向上翻折，使点D，C分别到达点M，N的位置，且平面AME，平面BNE均与平面ABE垂直（如图2）. （1）证明：M、N、A、B四点共面； （2）求直线AE与平面ABNM所成角的正弦值. 20. 已知椭圆的焦距为，直线与在第一象限的交点的横坐标为3． （1）求的方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，试探究直线与直线能否关于直线对称．若能对称，求此时直线的斜率；若不能对称，请说明理由． 21. 已知函数． （1）若有3个极值点，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一题记分． 【选修4—4：坐标系与参数方程】 22. 已知曲线（为参数），曲线，将的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线． （1）求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程； （2）若点P为曲线上的任意一点，Q为曲线上的任意一点，求线段的最小值，并求此时的P的坐标． 【选修4—5：不等式选讲】 23. 已知． （1）设函数，若函数与的图象无公共点，求m的取值范围； （2）令的最小值为T．若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题（理科） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上． 1. 已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合交并补的运算即可判断选项 【详解】如图， 因为，所以，故A错误； 因为，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 2. 若复数（其中，i为虚数单位）为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，结合已知求出值即可得解. 【详解】依题意，， 由为纯虚数，得，解得，复数， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B 3. 某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（ ） A. 快递行业从业人员中，“90后”占一半以上 B. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20% C. 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多 D. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个图，结合选项，即可判断. 【详解】由题图可知，快递行业从业人员中，“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确； 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过20%， 所以快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90”后的人数超过总人数的20%；B正确； 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过“80前”的人数占总人数的百分比，C正确； 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为22.176%，小于“80后”的人数占总人数的百分比，但“80后”从事技术岗位的人数占“80后”人数的比未知，D不一定正确． 故选：D 4. 如图，在中，是边的中线，是边的中点，若,则= A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理和向量的运算法则，即可得到答案. 【详解】由题意，在中，是边上的中线，所以, 又因为为的中点，所以, 所以，故选B. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理和向量的线性运算法则的应用，其中正确把握平面向量的基本定理和向量的线性运算法则——三角形法则和平行四边形法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 5. 已知角的终边经过点，则的值不可能是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由定义可得，计算可求. 【详解】由定义，， 当，合题意； 当，化简得，由于横坐标，角的终边在一、四象限， 所以． 故选：D． 6. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ） A. B. C. 3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 所以， 又，所以，整理得， 因为，所以， 所以数列前6项的和为. 故选：A 7. 在边长为1的小正方形组成的网格中，如图所示，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，，，再利用余弦定理求出，最后利用同角三角函数基本关系计算可得. 【详解】依题意，，， 由余弦定理，即， 解得，显然为锐角，所以， 所以. 故选：A 8. 某柠檬园的柠檬单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该柠檬园中随机选取200个柠檬，则质量在的柠檬个数的期望为（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用正态分布性质，求得，再由质量在的柠檬个数，结合二项分布的期望公式，即可求解. 【详解】由柠檬单果的质量服从正态分布，且， 所以， 则从该柠檬园中随机选取200个柠檬，则质量在的柠檬个数， 所以柠檬个数的数学期望． 故选：C. 9. 某几何体的三视图如图所示，正视图中的圆弧所对的圆心角为直角，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可还原几何体的直观图，从而可通过运算得出结论. 【详解】根据题意可知， 该几何体为一个正方体截掉四分之一圆柱（圆柱的上、下底面圆心的连线为正方体的一条棱，圆柱底面圆的半径为正方体棱长的一半）所剩几何体， 所以该几何体的表面积为， 故选：A． 10. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4， 故，代入解析式即得解 【详解】为奇函数, ， 偶函数，， ，即， ． 令，则， ，． 故函数周期为4 故选：B 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别构造函数，，和，，求导得到函数，的单调性，由单调性即可比较出，，的大小． 【详解】设，， 则， 所以在上单调递减， 所以， 所以，即，则； 设，则，故在上单调递增， 则，即，则，综上. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数值大小比较，关键是构造函数，利用单调性解决问题. 12. 设抛物线的焦点为，点是上一点．已知圆与轴相切，与线段相交于点，圆被直线截得的弦长为，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，过作直线的垂线，为垂足，设圆与直线相交于点，求得，利用，可得，可求，进而可求得抛物线准线方程. 【详解】由已知，点在抛物线上，则，即①． 如图所示，过作直线的垂线，为垂足，设圆与直线相交于点． 易知，，由，可知． 因为圆被直线截得的弦长为，所以． 由，在中， ②． 由①②解得：，抛物线的准线方程为：． 故选：B． 【点睛】本小题设置课程学习情境，主要考查圆与抛物线的综合应用，考查抛物线的定义及其简单几何性质､圆的方程､圆的弦长公式､勾股定理在抛物线中的应用等基本知识；考查数形结合､化归与转化等数学思想；考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养． 二、填空题（本大题公共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上）． 13. 曲线在点处切线的斜率为3，则实数______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数几何意义，求出在处的导数即可得解. 【详解】的导数为， 可得曲线在点处切线的斜率为， 解得. 故答案为：1. 14. 的展开式中，含的项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为 ， 其中展开式的通项为（）， 所以展开式中，含的项为， 所以含的项的系数为． 故答案为： 15. 已知实数满足约束条件，则的最大值是_________. 【答案】3 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，根据线性规划的几何意义，即可求得答案. 【详解】作出满足的可行域如图中阴影部分所示， 对于，令，则可行域中的点A坐标为， 作出直线并平移，当直线过点时，取到最大值， ，所以的最大值是3， 故答案为：3 16. 若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，E是的中点，现给出以下四个命题： ① ②平面平面 ③三棱锥的体积为 ④三棱锥的外接球的表面积为 则正确命题的序号是______． 【答案】③④ 【解析】 【分析】利用长方体的空间平行与垂直关系，可以判断①②，利用已知的棱长，可计算体积和外接接半径，即问题得以求解. 【详解】 对于①：由正方形的底边长为2，长方体的高为4，可知，则与不垂直，又因为，所以与不垂直，故①错误： 对于②：因为平面平面，若平面平面，则有交线，但事实上CE，不平行，故②错误； 对于③；由底面是边长为2的正方形，高为4，E是的中点，则，故③正确； 对于④：三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 故外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积，故④正确． 故答案为：③④． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 等比数列中，，． （1）求的通项公式： （2）记为的前n项和，若，求m． 【答案】（1）或． （2）． 【解析】 【分析】（1）由条件求出公比，即可求解通项公式； （2）根据（1）的结果，代入等比数列的前项和公式，即可求解. 【小问1详解】 等比数列中，，． ，解得， 当时，， 当时，， 的通项公式为，或． 【小问2详解】 记为的前n项和． 当，时，， 由，得，，无解； 当，时，， 由，得，， 解得． 18. 某公司为了解旗下某产品的客户反馈情况，随机抽选了250名客户体验该产品并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理得到如下列联表： 不喜欢 喜欢 合计 男 50 100 150 女 50 50 100 合计 100 150 250 （1）是否有的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系？ （2）公司为进一步了解客户对产品的反馈，现从参与评价的女性客户中，按评价结果用分层抽样的方法随机抽取了4人，收集对该产品改进建议．已知评价结果为“喜欢”的客户的建议被采用的概率为，评价结果为“不喜欢”的客户的建议被采用的概率为．若“建议”被采用，则赠送价值200元的纪念品，“建议”未被采用，则赠送价值100元的纪念品．记这4人获得的纪念品的总金额为，求的分布列及数学期望． 附：， 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有 （2）的分布列为 400 500 600 700 800 期望为【解析】 【分析】（1）由的列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解； （2）根据题意，得到的所有可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，根据的列联表中的数据， 可得， 所以，有的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系． 【小问2详解】 解：由题意知，选取的4人中，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”的分别有2人， 所以的所有可能取值为， 则， ， ， ， 则随机变量的分布列为 400 500 600 700 800 所以，数学期望为． 19. 如图1，矩形ABCD中，，，E为CD的中点，现将，分别沿AE，BE向上翻折，使点D，C分别到达点M，N的位置，且平面AME，平面BNE均与平面ABE垂直（如图2）. （1）证明：M、N、A、B四点共面； （2）求直线AE与平面ABNM所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图： 取，的中点，，连接，，如图， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 同理可得平面，所以， 在直角三角形中，， 所以，同理， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，是，的中点，所以， 所以，所以M、N、A、B四点共面. （2） 【解析】 【分析】（1）分别取，的中点，，连接，，由面面垂直的性质可得平面，平面，故，再证明四边形是平行四边形，可得，从而可证明； （2）取的中点，可得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在图1中，， 所以，所以， 取的中点，连接，则，所以, 由（1）知，，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，， ， ，， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，即， 令，则， 又，设直线与平面所成角为， 所以 . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 20. 已知椭圆的焦距为，直线与在第一象限的交点的横坐标为3． （1）求的方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，试探究直线与直线能否关于直线对称．若能对称，求此时直线的斜率；若不能对称，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线与直线能够关于直线对称，此时直线的斜率为1 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由在上，可得，进而可求得椭圆方程； （2）将代入，设，进而可得，若直线与直线关于直线对称，则，求解判断即可. 【小问1详解】 由已知，，所以． 而在上，所以． 于是，．则， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 可知，将代入， 得． 由，有． 设，易知． 则． 因为直线与直线关于直线对称， 则直线与存在斜率，且斜率互为相反数． 所以， 即， 即， 所以， 则， 即，所以或． 当时，的方程为，经过点，与题意不符，故舍去． 故直线与直线能够关于直线对称，此时直线的斜率为， 由可得同时应有． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 21. 已知函数． （1）若有3个极值点，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据极值可得有3个不相等实数根，构造函数，利用导数求解单调性，即可根据求解， （2）构造函数，利用导数求解函数单调性，结合对和讨论，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 由存在极值，则，知，则有3个不相等实数根， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减． 则在时取极小值在处取得极大值， 又时，时，，又． 所以，有3个不相等实数根时，，即， 所以，有3个极值点时，的取值范围是． 【小问2详解】 由，得， 令，得，知， 令，则， 又令，则，知， 当时，即时， 由于单调递增，则， 故当时，即单调递增，则， 所以，当时，即单调递增，则， 故当时，单调递增，则， 所以，当恒成立．则时满足条件． 当时，即时， 由于单调递增，由于， 故，使得， 当时，，则时，即单调递减， 故， 故当时，即单调递减， 所以，此时单调递减，，不满足条件． 综上所述，当恒成立时，的取值范围是． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一题记分． 【选修4—4：坐标系与参数方程】 22. 已知曲线（为参数），曲线，将的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线． （1）求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程； （2）若点P为曲线上的任意一点，Q为曲线上的任意一点，求线段的最小值，并求此时的P的坐标． 【答案】（1）曲线：，曲线：；（2），． 【解析】 【分析】（1）将的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线为参数），消去参数得曲线的普通方程为；由互化公式可得曲线的直角坐标方程；（2）设出上点的坐标，利用点到直线距离公式和辅助角公式求出最小值． 【详解】（1）将的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线为参数），消去参数得曲线的普通方程为； 由得，得，得曲线的直角坐标方程为：，故曲线：； （2）设，则线段的最小值为点P到直线的距离． ， 当时，取得最小值，最小值为， 此时，所以 【选修4—5：不等式选讲】 23. 已知． （1）设函数，若函数与的图象无公共点，求m的取值范围； （2）令的最小值为T．若，证明：． 【答案】（1）； （2） 由（1）知，函数的最小值， ，当且仅当时等号成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）分段去绝对值符号，并探讨函数的单调性，再结合一元二次方程无解即可得解. （2）由（1）求出，再利用差值比较法证明不等式即可. 【小问1详解】 依题意，，函数在上递减，在上递增， 函数是开口向下，对称轴为的抛物线，函数与的图象无公共点， 当且仅当方程在时无解，即在时无解， 因此在时无解，而， 当时，， 则当时，在时无解， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $