第1节解一元二次方程（知识点精讲）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第1讲 解一元二次方程 知识点1、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为： 知识点2、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： 所以：， 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： 重难点题型1 求解一元二次方程（公式法+十字相乘法） 例1. （12-13九年级上·山东临沂·阶段练习）方程的解是 ． 【变式训练1】、（2024·河南驻马店·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 例2. （23-24八年级下·浙江温州·期中）解方程 (1) (2)． 【变式训练2】、（23-24八年级下·全国·假期作业）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 重难点题型2 根与系数的关系 例3. （2024·安徽合肥·二模）已知关于x的方程的两根分别为和，若，则k的值为（    ） A． B． C． D．2 例4. （2024·江苏苏州·二模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式训练3】、（2024·山东日照·二模）已知是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式训练4】、（2024·云南大理·一模）若关于x的方程有解，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 例5.已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 【变式训练5】、已知，是方程的两个实数根，且． (1)求k的取值． (2)求的值． 重难点题型3 综合应用 例6. （23-24八年级下·浙江温州·期中）某品牌新能源汽车2021年的销售量为25万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了39万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6】、（23-24九年级下·重庆城口·期中）城口地处大巴山南麓，生态旅游资源得天独厚，今年3月8日，城口北屏乡“村光里”乡村旅游盛大开业，至开业以来，每周的客流量持续稳步增涨，开业第一周接待约5500人次，接待人数逐周增加，第三周的接待约7500人次．设开业以来游客每周平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 例7.（2024·湖北荆门·模拟预测）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数） (1)求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式： (2)在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ (3)“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元，日销售量比前20天最高日销售量提高了盏，日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了90元，求a的值．【注：销售利润（售价成本价）销售量】 【变式训练7】、（2024·新疆·三模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示），若设花园的边长为，花园的面积为， (1)求y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到？若能，请求出x 的值；若不能，请说明理由； (3)当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 解一元二次方程 知识点1、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为： 知识点2、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： 所以：， 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： 重难点题型1 求解一元二次方程（公式法+十字相乘法） 例1. （12-13九年级上·山东临沂·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键． 把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ， ， 或， 解得：． 故答案为：，． 【变式训练1】、（2024·河南驻马店·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查根的判别式，分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案． 【详解】解：A．∵， ∴方程没有实数根，不符合题意； B．∵， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； C．方程化为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； D．∵， ∴方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 例2. （23-24八年级下·浙江温州·期中）解方程 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1） 解：， ，即， 则， ， ； （2） 解：， ， ， 则或， ． 【变式训练2】、（23-24八年级下·全国·假期作业）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法即可解答； （2）利用因式分解法即可解答； （3）利用因式分解法即可解答； （4）利用直接开平方法即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， ， 解得； （3）解：， ， 解得； （4）解：， ， ， 解得． 重难点题型2 根与系数的关系 例3. （2024·安徽合肥·二模）已知关于x的方程的两根分别为和，若，则k的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系求出两根之和，再由可求出，进而得出，最后用k表示出两根之积即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的方程的两根分别为和， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 例4. （2024·江苏苏州·二模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解的意义，一元二次方程根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入化简即可解答． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ，即， ∴． 故答案为： 【变式训练3】、（2024·山东日照·二模）已知是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴； 故答案为：0． 【变式训练4】、（2024·云南大理·一模）若关于x的方程有解，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了方程有解的情况，以及一元二次方程根的判别式，根据以及分别讨论求解，即可解题． 【详解】解：关于x的方程有解， 当时，方程为，解得， 时，方程有解； 当，即时，方程为有解， 即， ， 解得， 综上所述，关于x的方程有解，k的取值范围是， 故选：A． 例5.已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】结合韦达定理列出式子，即可求； 【详解】（1）由均为正根，得， 解得，即； （2）由（1）得，解得（舍去）或， 则 【变式训练5】、已知，是方程的两个实数根，且． (1)求k的取值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据根的判别式和韦达定理可得，代入已知条件计算即可求解； （2）由可得，结合（1）即可求解. 【详解】（1）由题意知，，， 则， 解得，所以的值为； （2）由， 得， 由（1）知，当时，，则. 所以的值为50. 重难点题型3 综合应用 例6. （23-24八年级下·浙江温州·期中）某品牌新能源汽车2021年的销售量为25万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了39万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，根据题意得， 故选：D． 【变式训练6】、（23-24九年级下·重庆城口·期中）城口地处大巴山南麓，生态旅游资源得天独厚，今年3月8日，城口北屏乡“村光里”乡村旅游盛大开业，至开业以来，每周的客流量持续稳步增涨，开业第一周接待约5500人次，接待人数逐周增加，第三周的接待约7500人次．设开业以来游客每周平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用第三周接待游客人数第一周接待游客人数这两个月的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得， 故答案为：． 例7.（2024·湖北荆门·模拟预测）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数） (1)求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式： (2)在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ (3)“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元，日销售量比前20天最高日销售量提高了盏，日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了90元，求a的值．【注：销售利润（售价成本价）销售量】 【答案】(1) (2)第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元 (3)5 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的应用及一元二次方程的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，根据数量关系列出函数解析式是关键． （1）设日销售量（盒与时间（天之间的函数关系式为，把，代入求出即可； （2）设日销售利润为元，根据销售利润售价成本列出函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）根据题意得：当天售价为元，销售量为，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设日销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为， 把，代入得：， 解得：， 即日销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为； （2）解：设日销售利润为元， ； ，，且为整数， 当时，取得最大值，最大值是450； 在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元； （3）解：当天售价为元，销售量为盏， 根据题意得：， 即， 解得：或（舍去）， a的值为5． 【变式训练7】、（2024·新疆·三模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示），若设花园的边长为，花园的面积为， (1)求y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到？若能，请求出x 的值；若不能，请说明理由； (3)当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，花园的面积能达到 (3)时，的最大值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： 对于（1），先表示，再根据面积公式求出函数关系式，然后确定自变量的取值范围； 对于（2），令，求出解即可； 对于（3），先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得为米，则 ∴ ∵墙长. ∴， ∴自变量的取值范围是； （2）解：此花园面积能达到，理由如下： 令， 解得（舍），， ∴当时，花园的面积能达到； （3）解：， ∵， ∴当随的增大而减小， ∴当时，的最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$