第1节解一元二次方程（题型精练）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第1讲 解一元二次方程 1．（2024年辽宁省十四地市民间大联考中考第二次模拟考试数学试题）一元二次方程的根的情况是(    ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．关于的一元二次方程：有实数根，若其中一个根为，则另一个根为（     ）. A． B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则k的值是（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 4．已知是方程的两个根，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若a，b是方程的两个实数根，则（    ） A．2021 B．2020 C．2019 D．2018 6．下列说法中正确的是（    ） A．方程的两个实数根、满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．若关于的一元二次方程的两实数根，则 D．已知方程的两实数根、，则， 7．（17-18八年级下·安徽合肥·期末）某科技公司计划用两年时间使年生产总值增加到目前的4倍，并且使第二年的增长率是第一年增长率的2倍，设第一年的增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽六安·二模）某企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了，若这两个月的平均增长率为，则满足的关系是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·黑龙江佳木斯·三模）在数学实践课上，小华要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则小华添加的边框的宽度是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·山东济宁·一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为21万元，5月份售价为18万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·山东淄博·期中）方程的实数根为 ． 12．（2024·广东深圳·模拟预测）若a，b是关于x的方程的两个实数根，则 ． 13．（23-24九年级下·山东淄博·期中）春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，列出方程 ． 14．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 15．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解x的值为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的正方形，已知图2中阴影部分的面积和为56，则方程的正数解x的值为 ． 16．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 17．（23-24八年级下·山东烟台·期中）解方程 (1) (2) 18．（23-24八年级下·四川眉山·期中）解方程： 19．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某超市销售一种亚运会吉祥物挂件，每套进价为元，如果按每套元销售，每周可售出套，通过市场调查发现，每套挂件的售价每降低元，每周的销售量将增加套． (1)每套亚运会吉祥物挂件的售价降低多少元时，该超市平均每周能盈利元？ (2)该超市平均每周销售这种亚运会吉祥物挂件的盈利能达到元吗？请说明你的理由． 20．（23-24九年级下·山东烟台·期中）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 21．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，双曲线上的一点，其中，过点M作轴于点N，连接．将绕点M逆时针旋转90°得到，且点O的对应点Q恰好落在该双曲线上，则的值为 ． 22．(多选题)关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或3 C．若，则 D．，使得 23．(多选题)已知关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（    ） A．或 B．若，则关于的不等式的解集为 C．若，则的最小值为3 D．若，函数在时取得最大值 24．(多选题)下列一元二次方程中有实数根的是（   ） A． B． C． D． 25．若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 26．已知一元二次方程的两根为，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 解一元二次方程 1．（2024年辽宁省十四地市民间大联考中考第二次模拟考试数学试题）一元二次方程的根的情况是(    ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数；（3）⇔方程没有实数根．先计算出根的判别式的值，根据的值就可以判断根的情况． 【详解】∵一元二次方程中，， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．关于的一元二次方程：有实数根，若其中一个根为，则另一个根为（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用韦达定理求出方程的另一个根，再检验即可. 【详解】因为为关于的一元二次方程的根， 显然，且，不妨令，则， 此时，方程可化为，经检验符合题意， 即方程另一个根为. 故选：D 3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则k的值是（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系建立方程求解即可. 【详解】因为一元二次方程的两个实数根分别为， 所以，，所以， 所以，解得：，检验符合. 故选：C. 4．已知是方程的两个根，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用韦达定理得到，结合，即可求解. 【详解】因为是方程的两个根，可得， 则. 故选：A. 5．若a，b是方程的两个实数根，则（    ） A．2021 B．2020 C．2019 D．2018 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】∵是方程的根， ∴， ∴， ∴. ∵是方程的两个实数根， ∴， ∴ 故选：B. 6．下列说法中正确的是（    ） A．方程的两个实数根、满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．若关于的一元二次方程的两实数根，则 D．已知方程的两实数根、，则， 【答案】C 【分析】利用判别式可判断A选项；取可判断B选项；解方程，可判断C选项；利用韦达定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，，故方程无实根，A错； 对于B选项，对于方程，当时，方程无实根，B错； 对于C选项，解方程可得，，满足，C对； 对于D选项，方程即为，， 由韦达定理可得，，D错. 故选：C. 7．（17-18八年级下·安徽合肥·期末）某科技公司计划用两年时间使年生产总值增加到目前的4倍，并且使第二年的增长率是第一年增长率的2倍，设第一年的增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由增长率间的关系，可得出第二年增长率为，设该工厂原产值为a，则两年后产值为，利用两年后产值=原产值第一年增长率第二年增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵第二年增长率是第一年增长率的2倍，且第一年增长率为x， ∴第二年增长率为， 设该工厂原产值为a，则两年后产值为， 根据题意得：， 即． 故选：D． 8．（2024·安徽六安·二模）某企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了，若这两个月的平均增长率为，则满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据3、4、5月份产值间的关系，可得出该企业今年5月份产值为万元，利用该企业今年5月份产值该企业今年3月份产值这两个月的平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：该企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了， 该企业今年4月份产值为万元，5月份产值为万元． 根据题意得：． 故选：D 9．（2024·黑龙江佳木斯·三模）在数学实践课上，小华要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则小华添加的边框的宽度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设小华添加的边框的宽度是，根据整个图形面积为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小华添加的边框的宽度是，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故小华添加的边框的宽度是； 故选A． 10．（2024·山东济宁·一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为21万元，5月份售价为18万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．首先根据3月份售价为21万元，月均下降率是可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为18万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：月份售价为21万元，月均下降率是，5月份售价为18万元， ． 故选：D． 11．（23-24八年级下·山东淄博·期中）方程的实数根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 原方程化为：， ， 或， ． 12．（2024·广东深圳·模拟预测）若a，b是关于x的方程的两个实数根，则 ． 【答案】2024 【分析】根据根与系数关系定理，方程根的定义解答即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ a，b是关于x的方程的两个实数根， ∴ ， ，， ∴ ， 故答案为：2024． 13．（23-24九年级下·山东淄博·期中）春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，列出方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设平均每天票房的增长率为，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， 据此列出方程即可． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 14．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价应定为元，按每件元销售，每天可卖出件，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件列出等式解答即可． 【详解】解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为元． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解x的值为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的正方形，已知图2中阴影部分的面积和为56，则方程的正数解x的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并数形结合是解决问题的关键，根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积加四个小正方形的面积，从而可求得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可求解． 【详解】解：如图2所示： 先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为， 则该方程的正数解为． 故答案为：4 16．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 17．（23-24八年级下·山东烟台·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先去括号，再把含未知数的项移到方程左边，然后利用配方法解方程即可；、 （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 18．（23-24八年级下·四川眉山·期中）解方程： 【答案】原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 去括号得： 移项合并同类项锝： 系数化为1得： 检验：将代入 ∴是原方程的增根 ∴原方程无解． 19．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某超市销售一种亚运会吉祥物挂件，每套进价为元，如果按每套元销售，每周可售出套，通过市场调查发现，每套挂件的售价每降低元，每周的销售量将增加套． (1)每套亚运会吉祥物挂件的售价降低多少元时，该超市平均每周能盈利元？ (2)该超市平均每周销售这种亚运会吉祥物挂件的盈利能达到元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)5元或12元 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，根据利润（售价进价降价）销售量列出方程求解即可； （2）设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，根据利润（售价进价降价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元， 根据题意，得 化简整理，得，即， 解得：，， 答：每套亚运会吉祥物挂件的售价降低5元或12元时，该超市平均每周能盈利2400元； （2）解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元， 根据题意，得 化简整理，得， ∵， ∴方程无实数解， 答：盈利不能达到3000元． 20．（23-24九年级下·山东烟台·期中）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 【答案】(1)该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 (2)销售单价应定位元 【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； （2）解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠 ∴销售单价应定位元． 21．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，双曲线上的一点，其中，过点M作轴于点N，连接．将绕点M逆时针旋转90°得到，且点O的对应点Q恰好落在该双曲线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长交轴于，依据四边形是矩形，即可得到，，，进而得到，根据点，都在双曲线上，即可得到，进而得出的值． 【详解】解：如图，延长交轴于， 由旋转可得，， ，，， 轴， ， 四边形是矩形， ， ，，， ， 点，都在双曲线上， ， 即， 方程两边同时除以，得 ， 解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，旋转的性质，反比例函数的性质，一元二次方程的应用，解题时，作出辅助线构造矩形是解题的关键． 22．(多选题)关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或3 C．若，则 D．，使得 【答案】AC 【分析】由根与系数、判别式得，且或，结合各项条件判断正误即可. 【详解】由题设，，且，则或， A：若，则且，根据对勾函数性质有，对； B：若，则，可得，故或， 当，则，不满足题设；当，则，不满足题设，错； C：若，则，可得， 所以满足题设，对； D：若，则，显然不满足判别式，故不存在，使得，错. 故选：AC 23．(多选题)已知关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（    ） A．或 B．若，则关于的不等式的解集为 C．若，则的最小值为3 D．若，函数在时取得最大值 【答案】ABD 【分析】A选项，利用根的判别式列不等式求解；B选项，根据和韦达定理得到，然后结合三个“二次”的关系解不等式；C选项，根据韦达定理和基本不等式得到，然后利用韦达定理和基本不等式求最值；D选项，根据二次函数的性质判断. 【详解】易知且，所以或，故A正确； 因为，，，所以，， 所以关于的不等式的解集为，故B正确； 因为，所以，，则， 又，所以，解得， ， 当且仅当时，等号不成立，故C错误； 因为时，，二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，所以当时，二次函数取得最大值，故D正确． 故选：ABD. 24．(多选题)下列一元二次方程中有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将方程化为一般形式，然后根据根的判别式判断根的情况即可. 【详解】对A，方程可化为，则，所以方程有两个不相等得实数根，故A正确； 对B，因为，所以方程有两个相等的实数根，故B正确； 对C，方程可化为，则，所以方程没有实数根； 对D，方程可化为，则，所以方程有两个不相等实数根. 故选：ABD. 25．若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据韦达定理，即可证明结论； （2）首先，将原式通分，变形，再将韦达定理代入；然后，利用（1）的结论消去，得到关于一个的式子；再对式子变形，利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）证明：根据韦达定理得，，， 所以， 所以. （2） ， 因为， 所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为8. 26．已知一元二次方程的两根为，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）由根与系数关系得，并用它们表示出各式求值即可. 【详解】（1）由题设，则； （2）； （3）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$