第03讲 复数（9类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

第03讲 复数 （9类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算 无 2024年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的模 无 2023年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无 2023年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的四则运算、复数的几何意义 无 2022年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无 2022年新Ⅱ卷，第2题，5分 复数的四则运算 无 2021年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无 2021年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的四则运算、复数的几何意义 无 2020年新I卷，第1题，5分 复数的四则运算 无 2020年新Ⅱ卷，第2题，5分 复数的四则运算 无 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数 2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数 3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。 知识讲解 1．复数的定义 我们把形如的数叫做复数，其中i叫做 ，满足 ，虚数单位的周期为 ． 2．复数通常用字母z表示，即，其中的a与b分别叫做复数z的 与 ． 3．对于复数， 复数，为实数 ；为虚数 ；为纯虚数 ；为非纯虚数 . 即复数 4．在复数集中任取两个数，，规定与相等当且仅当 ，即复数相等：⇔ . 5．共轭复数 （1）定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． （2）表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果，那么 ． 6．复数的几何意义 为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定， 的向量表示同一个复数. 7．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 ．实轴上的点都表示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 8．复数的模 向量的模称为复数的模或绝对值，记作 或 ．即 ，其中．如果，那么是一个实数a，它的模就等于 ． 9．复数的加、减法运算法则 设，则 ， ． 10．复数加法的运算律 对任意，有 （1）交换律： ．（2）结合律： ． 11．复数的乘法 （1）复数的乘法法则 设是任意两个复数，那么它们的积 ． （2）复数乘法的运算律 对于任意，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 12．设的三角形式分别是， 那么， = . 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.简记为：模相乘，辐角相加. 13．设的三角形式分别是，且，那么， . 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为：模相除，辐角相减. 考点一、复数的四则运算 1．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B．1 C．-1 D．2 2．（2023·全国·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 1．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数 ． 2．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（    ） A． B． C． D． 考点二、求复数的实部与虚部 1．（2024·全国·模拟预测）已知，则的实部是（    ） A． B．i C．0 D．1 2．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（   ） A． B．1 C．3 D． 1．（2024·重庆·三模）设复数z满足，则z的虚部为（ ） A． B． C．3 D． 2．（2024·陕西·二模）复数的实部为（    ） A．1 B．3 C． D． 3．（2024·江西鹰潭·二模）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 考点三、复数相等 1．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 2．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·河南·模拟预测）已知为虚数单位，，满足，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北保定·三模）若复数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 考点四、复数的分类及纯虚数概念考查 1．（2024·河北·二模）已知复数是实数，则（    ） A． B． C． D．2 2．（2024·河南·三模）已知复数为纯虚数，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 1．（2024·辽宁大连·二模）设，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·辽宁·模拟预测）若复数为实数，则实数等于（    ） A． B． C． D．2 考点五、复数的几何意义 1．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·山西·三模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ． 1．（2024·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·江西·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西·模拟预测）若复数的共轭复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点六、复数的模长及与模相关的轨迹问题 1．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．（2023·全国·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 3．（2024·广东揭阳·二模）已知复数在复平面内对应的点为，且，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·福建南平·二模）若复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 3．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（  ） A． B．1 C． D．3 考点七、复数的三角形式 1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．0 2．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 考点八、欧拉公式 1．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（    ） A． B．0 C．1 D． 2．（2022·重庆北碚·模拟预测）欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，（    ） A． B． C． D． 1．（2023·云南昆明·一模）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 考点九、复数多选题 1．（2024·福建福州·三模）已知复数，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则或 D．若且，则 2．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最小值为3 D．的最小值为3 1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，都是复数，下列正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2024·山东济宁·三模）已知复数，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知方程的两个复数根分别为，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 2．（2024·河北·三模）已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北沧州·模拟预测）设，是复数，则下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东泰安·二模）若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．1 二、多选题 7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知复数（为实数），若，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 8．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（    ） A． B．若互为共轭复数，则 C．若，则 D．若复数为纯虚数，则 三、填空题 9．（2024·上海·三模）设（为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为 ． 10．（2024·广东·二模）设，为虚数单位，定义，则复数的模为 ． 一、单选题 1．（2024·河北保定·二模）复数（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·三模）已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 4．（2024·四川成都·模拟预测）复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·广东广州·三模）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 7．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 8．（2024·福建宁德·三模）已知是两个复数，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若为实数，则 C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数 三、填空题 9．（2024·湖南衡阳·三模）已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 . 10．（2024·江西南昌·三模）已知复数，，那么 . 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C．10 D． 2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2022·全国·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ） A． B． C． D． 7．（2021·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 8．（2021·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 复数 （9类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算 无 2024年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的模 无 2023年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无 2023年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的四则运算、复数的几何意义 无 2022年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无 2022年新Ⅱ卷，第2题，5分 复数的四则运算 无 2021年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无 2021年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的四则运算、复数的几何意义 无 2020年新I卷，第1题，5分 复数的四则运算 无 2020年新Ⅱ卷，第2题，5分 复数的四则运算 无 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数 2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数 3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。 知识讲解 1．复数的定义 我们把形如的数叫做复数，其中i叫做 ，满足 ，虚数单位的周期为 ． 【答案】 虚数单位 4 2．复数通常用字母z表示，即，其中的a与b分别叫做复数z的 与 ． 【答案】 实部 虚部 3．对于复数， 复数，为实数 ；为虚数 ；为纯虚数 ；为非纯虚数 . 即复数 【答案】 ； 4．在复数集中任取两个数，，规定与相等当且仅当 ，即复数相等：⇔ . 【答案】 5．共轭复数 （1）定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． （2）表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果，那么 ． 【答案】 相等 互为相反数 6．复数的几何意义 为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定， 的向量表示同一个复数. 【答案】相等 7．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 ．实轴上的点都表示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 【答案】 复平面 实轴 虚轴 实数 8．复数的模 向量的模称为复数的模或绝对值，记作 或 ．即 ，其中．如果，那么是一个实数a，它的模就等于 ． 【答案】 9．复数的加、减法运算法则 设，则 ， ． 【答案】 10．复数加法的运算律 对任意，有 （1）交换律： ．（2）结合律： ． 【答案】 11．复数的乘法 （1）复数的乘法法则 设是任意两个复数，那么它们的积 ． （2）复数乘法的运算律 对于任意，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 【答案】 12．设的三角形式分别是， 那么， = . 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.简记为：模相乘，辐角相加. 【答案】 13．设的三角形式分别是，且，那么， . 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为：模相除，辐角相减. 【答案】 考点一、复数的四则运算 1．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B．1 C．-1 D．2 【答案】D 【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【详解】依题意得，，故. 故选：D 2．（2023·全国·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 1．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 2．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 3．（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可. 【详解】. 故选：D 考点二、求复数的实部与虚部 1．（2024·全国·模拟预测）已知，则的实部是（    ） A． B．i C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据复数除法运算化简，由实部定义可得. 【详解】因为，所以z的实部是0. 故选：C． 2．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】先利用乘法运算法则化简复数，然后化简得，即可求出其虚部. 【详解】因为，所以，所以， 所以，则的虚部为. 故选：A 1．（2024·重庆·三模）设复数z满足，则z的虚部为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】设复数，根据题意，列出方程，结合复数相等，求得的值，即可求解. 【详解】设复数， 因为复数z满足，可得， 即，则，，解得， 所以复数的虚部为. 故选：A. 2．（2024·陕西·二模）复数的实部为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】通过复数的运算将复数化简成的形式，即可得到实部. 【详解】由，可得复数的实部为3， 故选：. 3．（2024·江西鹰潭·二模）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数，继而得的虚部. 【详解】由， 则，的虚部为2. 故选：D. 考点三、复数相等 1．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 2．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等的条件可求. 【详解】，而为实数，故， 故选：B. 1．（2024·河南·模拟预测）已知为虚数单位，，满足，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等的充要条件得出方程组，求出、的值，即可得解. 【详解】因为， 又且，所以，故． 故选：D． 2．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据题意，结合复数的乘法运算和相等复数建立方程组，解之即可求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 即， 所以，解得， 所以． 故选：D． 3．（2024·河北保定·三模）若复数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据复数相等，即可列式求. 【详解】设，则，所以， 由，得，则， 所以，解得. 故选：B. 考点四、复数的分类及纯虚数概念考查 1．（2024·河北·二模）已知复数是实数，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据复数的四则运算法则计算得到，再根据实数的定义求解即可. 【详解】 因为是实数， 所以，即. 故选：D. 2．（2024·河南·三模）已知复数为纯虚数，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法运算求出z，根据复数为纯虚数，列出相应等式和不等式，即可求得答案. 【详解】， 由题意得，所以， 故选：C． 1．（2024·辽宁大连·二模）设，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由复数为纯虚数求得的值，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得， 所以是复数为纯虚数的充要条件. 故选：A. 2．（2024·辽宁·模拟预测）若复数为实数，则实数等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】由复数的除法把化简，表示成复数的代数形式，由虚部为0，求的值. 【详解】，若复数为实数， 则，即. 故选：D. 考点五、复数的几何意义 1．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置. 【详解】，所以该复数对应的点为， 该点在第一象限， 故选：A. 3．（2024·山西·三模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】整理得到不等式组，解出即可. 【详解】由于， 故点位于第四象限，因此，解得， 即的取值范围是. 故答案为：. 1．（2024·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由题意求出，进而解出，判断在复平面内对应的点所在象限即可. 【详解】由题意知：， 所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 2．（2024·江西·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，由复平面内复数对应的点的坐标可以得出对应复数的代数形式，再结合复数的四则运算法则，即可得解. 【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以， 所以，所以． 故选：A． 3．（2024·江西·模拟预测）若复数的共轭复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由，可得，则， 则在复平面内对应的点的坐标为． 故选：D. 考点六、复数的模长及与模相关的轨迹问题 1．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 2．（2023·全国·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：C. 3．（2024·广东揭阳·二模）已知复数在复平面内对应的点为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助导数的几何意义可得，再利用模长公式即可得. 【详解】由题意得，所以，则. 故选：B. 1．（2024·福建南平·二模）若复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】由题意可知，复数满足， 则可转化为， 所以. 故选：A. 2．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可求出，再由复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，则， 即， 故. 故选：B. 3．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（  ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可. 【详解】的几何意义是复数z对应的点Z到点的距离为1， 即点Z在以点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义是点Z到点的距离． 如图所示，故． 故选：B． 考点七、复数的三角形式 1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取， 故选：D 【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式. 2．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案. 【详解】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】变形复数，根据题中定义进行计算，即可判定. 【详解】， 所以 , 所以的虚部为. 故选:B. 2．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合复数运算可得的方程的根为，进而整理可得，取即可得结果. 【详解】设， 则， 由题意可得： 可得关于的方程的根为， 故， 整理得， 即， 令，可得， 且2022为偶数，所以. 故选：B. 考点八、欧拉公式 1．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】把代入欧拉公式即可。 【详解】. 故选：B 2．（2022·重庆北碚·模拟预测）欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】， 因此，. 故选：C. 1．（2023·云南昆明·一模）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断 【详解】由题意可得：对应的点为， ∵，则， 故位于第二象限. 故选：B. 2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设的表达式求出的表达式，再代入选项逐一检验即得. 【详解】因，则， 对于A，，故A项正确； 对于B， ，故B项错误； 对于C，，故C项错误； 对于D，由B项知，，故D项错误. 故选：A. 考点九、复数多选题 1．（2024·福建福州·三模）已知复数，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则或 D．若且，则 【答案】BCD 【分析】通过列举特殊复数验证A；设，则，通过复数计算即可判断B；由得，即可判断C；设，通过复数计算即可判断D. 【详解】对于A，设，则，所以，而， 所以，故A不正确； 对于B，设， 则，故B正确； 对于C，若，所以，所以， 所以 或，所以至少有一个为0，故C正确. 对于D，设，则， 所以，而， 所以，故D正确. 故选：BCD. 2．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D. 【详解】对于A，由，得，则A错误. 对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确. 对于C，设（，且）， 则，所以，则C正确. 对于D，由，得. 设（，且），则， ，从而，则D正确. 故选：BCD 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最小值为3 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A；借助复数的几何意义计算可得B；借助圆与直线的距离可得C、D. 【详解】对A：为纯虚数，可设选项A正确； 对B：设，， 则，即， 则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， ，选项B正确； 对C：为纯虚数，对应点在轴上（除去原点）， 所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 的取值范围为，无最小值，选项C错误； 对D： ， 表示点到以为圆心，以2为半径的圆上的点的距离， 为纯虚数或0，在轴上（除去点）， 当时取得最小值3，∴选项D正确. 故选：ABD． 1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，都是复数，下列正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式即可判断D. 【详解】设， 对于A， 若，则，故，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，若，则，所以， ， 同理，所以，所以，故D正确. 故选：AD. 2．（2024·山东济宁·三模）已知复数，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】AC 【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可. 【详解】A：设，则， 所以， ，则，故A正确； B：设，则， 所以， ，则，故B错误； C：由选项A知，，， 又，所以，不一定有，即推不出； 由，得，则，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； D：设，则， 若，则，即，推不出； 若，则， 又， 同理可得，所以，； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 故选：AC 3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知方程的两个复数根分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】解方程求出，再结合共轭复数、模的意义及复数运算逐项判断即可各个选项. 【详解】方程可转化为，解得或， 不妨设，， 对于A，显然，故A正确； 对于B，，故B 错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 一、单选题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的乘法计算，再借助纯虚数的定义求解即得. 【详解】依题意，是纯虚数，于是，解得， 所以实数a的值为. 故选：D 2．（2024·河北·三模）已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得，可求的共轭复数的虚部. 【详解】由，可得， 所以，所以， 所以，所以的共轭复数的虚部是. 故选：D. 3．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法法则及共轭复数的定义即可求解. 【详解】， 所以. 故选：B． 4．（2024·河北沧州·模拟预测）设，是复数，则下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对于A，利用复数模的定义即可判断；对于B，利用共轭复数的定义即可判断；对于C，利用复数共轭复数相乘的性质即可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】设，，其中． 对于A， ， ， 所以，故A正确； 对于B，，， ， 所以，故B正确； 对于C，，， 由，得． 因为，， 所以不一定成立，如，， 此时，而，，即，故C错误； 对于D，由，得，， ，所以，故D正确﹒ 故选:C． 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设求出，从而求出的值. 【详解】由题知，， 所以. 故选：A. 6．（2024·山东泰安·二模）若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，则，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 所以，故. 故选：C 二、多选题 7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知复数（为实数），若，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】BC 【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 结合选项可知：BC正确；AD错误. 故选：BC. 8．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（    ） A． B．若互为共轭复数，则 C．若，则 D．若复数为纯虚数，则 【答案】ABD 【分析】根据复数的乘法运算，复数的模值运算，纯虚数的定义即可判断. 【详解】解：由题意得： 对于选项A：令 则 所以，故A正确； 对于选项B：令，，所以，故B正确； 对于选项C：令，，根据复数的乘法运算可知：， ，，所以C错误； 对于选项D：若复数为纯虚数，则，即，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．（2024·上海·三模）设（为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得. 【详解】由为纯虚数，得，解得， 所以实数m的值为. 故答案为： 10．（2024·广东·二模）设，为虚数单位，定义，则复数的模为 ． 【答案】 【分析】根据给定的定义求出复数，再利用模的意义计算得解. 【详解】依题意，， 所以复数的模为. 故答案为： 一、单选题 1．（2024·河北保定·二模）复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数乘除法以及模长计算公式，整理化简即可求得结果. 【详解】. 故选：D. 2．（2024·浙江杭州·三模）已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的运算性质求出，再利用共轭复数的性质求出，最后利用复数和对应点的关系求解即可. 【详解】由题意得，故， 故，显然在复平面上对应的点是，在第四象限，故D正确. 故选：D 3．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】正向可得，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得或，则必要性不成立. 【详解】若，则，则，故充分性成立； 若，设，则，， 则，或与不一定相等，则必要性不成立， 则“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 4．（2024·四川成都·模拟预测）复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数除法法则得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】在复平面上对应的点位于虚轴上， ∴，即. 故选：D 5．（2024·广东广州·三模）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先对复数进行化简，再确定实部和虚部的符号即可得解． 【详解】 因为，所以， 故复数在复平面内的对应点位于第一象限， 故选：A． 6．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义可得复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，进而求出的最大值. 【详解】根据题意，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆， 所求式子的几何意义表示点到圆上点的距离的最大值， 如图所示，最大值为. 故选：D. 7．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】设，利用复数的模长结合已知组成方程组，解出即可. 【详解】设 因为，所以，即，① 又，所以，即，② 又，所以，即，③ ②③可得，④ 把①代入④可得， 所以，故A正确； 故选：A. 二、多选题 8．（2024·福建宁德·三模）已知是两个复数，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若为实数，则 C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数 【答案】AC 【分析】根据题意，复数，根据复数的运算法则和复数的概念，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】设复数，则， 对于A中，由，且，可得，所以， 所以，所以A正确； 对于B中，由，可得，即， 但与不一定相等，所以与不一定相等，所以B错误； 对于C中，由均为纯虚数，可得， 此时，所以C正确； 对于D中，由为实数，即， 可得，但不一定为，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题 9．（2024·湖南衡阳·三模）已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 . 【答案】 【分析】思路一：把代入方程中，再利用复数相等求出、，即可得解. 思路二：依题意根据虚根成对原理可得也是关于的方程的一个根，利用韦达定理求出、，即可得解. 【详解】方法一：由已知可得，即， 所以，解得，所以. 方法二：因为是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根， 所以也是该方程的一个根， 由韦达定理得，解得，所以. 故答案为：. 10．（2024·江西南昌·三模）已知复数，，那么 . 【答案】 【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程组并求解即得. 【详解】设，则，即有， 解得，所以. 故答案为： 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 3．（2023·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 4．（2022·全国·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出． 【详解】因为，所以，所以． 故选：D. 5．（2022·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解. 【详解】 故选 ：C 6．（2022·全国·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】 由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等， 得,即 故选: 7．（2021·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 8．（2021·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为，故，故 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$