第02讲 常用逻辑用语（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

第02讲 常用逻辑用语 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新Ⅱ卷，第2题，5分 判断命题的真假 全称量词命题的否定及其真假判断 存在量词命题的否定及其真假判断 单绝对值不等式 一元三次方程 2023年新I卷，第7题，5分 充分条件与必要条件 等差数列通项公式及前n项和 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，具体视命题情况而定，新教材体系下只考查充分条件与必要条件和全称量词命题与存在量词命题及其否定，可直接考查，分值5分，也可作为知识点载体的形式考查，例如2023年新Ⅰ卷第7题以数列知识点作为载体，难度随载体知识点而定，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握充分条件、必要条件、充要条件 2.能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断及逻辑关系 3.能理解全称量词与存在量词的意义 4.能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定 【命题预测】本节内容常作为载体考查充分条件与必要条件，需对考纲内知识点熟练掌握；全称量词命题和存在量词命题的否定也是高考复习和考查的重点。 知识讲解 1． 在数学中，把用语言、符号、或式子表达的，我们把可判断 的陈述句叫做命题. 判断为_____的语句叫做真命题，判断为_____的语句叫做假命题. 【答案】真假 真 假 2．在数学中，许多命题可表示为“若则”，其中叫作命题的 ，叫作命题的 . 【答案】条件 结论 3．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的__________，是的__________。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 【答案】充分条件 必要条件 4．充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论，_________________； 结论条件，_________________ 【答案】充分性成立 必要性成立 5．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 条件，q是p的 条件 p是q的 条件 p⇒q且qp p是q的 条件 pq且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 pq且qp 【答案】 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分又不必要 6．集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的______________________ 若，即，，是的______________________ 若，即，，是的______________________ 【答案】充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 7．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示. （2）存在量词：短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示. 【答案】 所有的 任意一个 存在一个 至少有一个 8．全称量词命题、存在量词命题及含量词命题的否定 命题名称 命题结构 命题简记 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，成立 存在量词命题 存在M中的元素x，成立 【答案】 考点一、判断充分条件与必要条件 1．（2024·全国·高考真题）已知向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 2．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 1．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量，，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标关系运算求出的值，判断得解. 【详解】向量，， 若与共线，则.解得或， 所以“”是“与共线”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（2024·山东日照·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以由推得出，故充分性成立； 由推得出，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立； 当，满足，且，但是，故充分性不成立， 所以“，且”是“，且”的必要不充分条件. 故选：B 考点二、根据命题的条件求参数值或范围 1．（2023·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意是的子集，从而求解. 【详解】， 因为的充分条件是，所以， 则， 故选：B. 2．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数为虚数单位的共轭复数为，则“为纯虚数”的充分必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算化简复数，再由共轭复数和纯虚数的定义即可求解. 【详解】因为， 由为纯虚数，即且， 即且. 故选：D. 2．（2024·山东·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先化简命题，依题意可得当时恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合函数的单调性计算可得. 【详解】命题，即， 因为是的充分不必要条件， 显然当时满足， 所以当时恒成立， 则在上恒成立， 又函数在上单调递增，且， 所以. 故选：A 3．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出当命题为真命题时实数的取值范围，再结合充要条件的定义可得出结论. 【详解】若命题为真命题，则方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，，解得， 因此，使命题成立的充分必要条件是. 故选：B． 考点三、判断全称量词命题和存在量词命题真假 1．（2023·河北·模拟预测）命题：，，命题：，，则（    ） A．真真 B．假假 C．假真 D．真假 【答案】D 【分析】对于命题：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题：根据存在命题结合二次函数的判别式分析判断. 【详解】对于命题：令，则开口向上，对称轴为， 且，则， 所以，，即命题为真命题； 对于命题：因为， 所以方程无解，即命题为假命题； 故选：D. 2．（湖南·高考真题）下列命题中的假命题是 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B． 考点：特称命题与存在命题的真假判断． 1．（22-23高三下·河北·阶段练习）已知命题（为自然对数的底数），则下列为真命题的是（    ） A．真，假 B．真，真 C．假，真 D．假，假 【答案】C 【分析】由全称量词，特称量词定义判断命题p，q正误可得答案. 【详解】命题为假命题，，必有，所以， 命题为真命题. 故选：C. 2．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）下列四个命题中，是假命题的是（    ） A．，且 B．，使得 C．若x＞0，y＞0，则 D．若，则的最小值为1 【答案】A 【分析】A举反例，B找一个满足条件的，C基本不等式的应用，D分离常数结合基本不等式. 【详解】解析：选A.对于A，，且对x＜0时不成立； 对于B，当x＝1时，x2＋1＝2，2x＝2，成立，正确； 对于C，若x＞0，y＞0，则，化为，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故y的最小值为1，D正确. 故选：A 考点四、全称量词命题和存在量词命题的否定 1．（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 2．（2024·广东梅州·一模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解. 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“”的否定是“”. 故选：C 1．（2024·山东潍坊·二模）已知命题：，，则为 ． 【答案】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可. 【详解】由特称命题的否定为全称命题可得为. 故答案为： 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，”的否定是，. 故选：D. 考点五、根据全称量词命题和存在量词命题的真假，求参数值或范围 1．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 2．（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】当时，，当时，可得可取任意负数，即可求解. 【详解】对于，， 当时，对于，，则可取任意负数，如； 故答案为：. 1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题，若为假命题，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据全称命题的真假可知为真命题，由此构造函数，结合单调性求得最值，即可求得答案. 【详解】由题意知命题为假命题， 则为真命题， 设，则， 由于在R上单调递增，故在上单调递减， 则，故， 故答案为： 2．（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先给出命题p的否定，由函数的单调性进行求解. 【详解】命题p的否定为：任意，使得函数在区间内不单调， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 则，而， 得， 故答案为： 考点六、常用逻辑用语多选题综合 1．（2024·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解. 【详解】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，的最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD. 2．（2023·湖南常德·一模）已知平面α，β，直线l，m，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则“”是“”的充分不必要条件 D．若，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【分析】根据面面垂直的性质定理可判断A,根据线面平行的判断以及性质可判断BD,根据线面垂直的性质可判断C. 【详解】由面面垂直的性质定理可知A正确, 对于B,若，，则,或者异面，故B错误, 对于C,若,则,故充分性成立,但是，，不能得到，故C正确， 对于D,若，，,不能得到,因为有可能异面，但是，，，则，故D正确， 故选：ACD 1．（2023·湖南·模拟预测）以下说法正确的是（    ） A．命题的否定是： B．若，则实数 C．已知，“”是的充要条件 D．“函数的图象关于中心对称”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【分析】根据命题的否定可判断A，根据恒成立以及基本不等式可判断B，根据不等式的性质可判断C，根据正切函数以及正弦函数的性质可判断D. 【详解】对于A,命题的否定是：,故A正确， 对于B, ，则对恒成立，故，由于，故，因此B错误， 对于C， ，若，则，若，此时，若，则，因此对任意的，都有，充分性成立，若，如果 ，则由，如果 ，则由，若，显然满足，此时，如果，不满足，综合可知：，所以必要性成立，故“”是的充要条件，故C正确， 对于D，的对称中心为 ,所以不一定为0，，则,此时 ，故是的对称中心，故函数的图象关于中心对称”是“”的必要不充分条件，故D正确， 故选：ACD 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由不等式的性质可判断AD；取特值可判断B；可化为结合的单调性可判断C. 【详解】对于A，因为，，故故A选项正确； 对于B，取，此时满足，但，B选项错误； 对于C，可得：， 则，因为，即 所以，因为函数在不单调，所以C选项错误； 对于D，由可知，，因为， 所以，故D选项正确， 故选：AD． 1．（2024·河南·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题， 即命题“”的否定为“”. 故选：B. 2．（2024·四川成都·模拟预测）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题， 则其否定为. 故选:B 3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定是存在命题，将原命题改写量词否定结论即可. 【详解】命题“” 的否定是“”. 故选：A 4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得解. 【详解】根据全称命题的否定，得为：. 故选：A. 5．（2024·新疆·二模）使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先解分式不等式，求得解集，依题意，只需使选项的范围是该解集的真子集即得. 【详解】 由，得，解得，则选项中的的范围组成的集合是的真子集， 由选项知，选项均不满足，选项B满足.故使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”. 故选：B. 6．（2024·河北唐山·一模）已知，：“”，：“”，则是的（   ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 首先解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得或， 所以：“或”， 故由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以是的必要但不充分条件. 故选：B 7．（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，例如，满足条件，但不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（2024·福建漳州·三模）已知数列是公比不为1的正项等比数列，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用下标和性质判断充分性，根据通项公式化简可判断必要性. 【详解】由下标和性质可知，若，则； 记数列是公比为，若，则，即， 因为数列是公比不为1的正项等比数列，所以，得. 综上，则是成立的充要条件. 故选：A 9．（2024·北京朝阳·二模）已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据面面垂直的性质与线面垂直的性质，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 若，当时，有；当时，与可能相交、平行、垂直. 若，由，得. 故“”是“”是必要不充分条件. 故选：B 10．（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解. 【详解】， 当点在左支时，的最小值为， 当点在右支时，的最小值为， 因为，则点在双曲线的左支上， 由双曲线的定义，解得； 当，点在左支时，；在右支时，；推不出； 故为充分不必要条件， 故选：D. 1．（2024·全国·模拟预测）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】由题意，全称命题的否定是特称命题，可得： 命题的否定为：为． 故选：C． 2．（2024·天津·二模）已知：，：，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】依次判断充分性、必要性，即可求解. 【详解】由，解得，由，解得， 所以能推出，不能推出，则是的充分不必要条件. 故选：A 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知是三个不同的平面，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】B 【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，若，由面面平行的性质知：，必要性成立； 由，若，则或相交，充分性不成立． 相交情况如下： 故选：B. 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先判断充分性：由已知可得，数列的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，举例可知数列不一定是等差数列，再判断必要性：数列是等差数列，可得，可得结论. 【详解】先判断充分性：， 令，则数列的偶数项成等差数列， 令，则数列的奇数项成等差数列， 但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3， ∴“”不是“数列是等差数列”的充分条件； 再判断必要性：若数列是等差数列，则， ，∴“”是“数列是等差数列”的必要条件； 综上，“”是“数列是等差数列”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，则“”是是递增数列的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，则， 所以，即，所以是递增数列，故充分性成立； 当时，则，所以是递增数列， 所以当数列是递增数列，可以大于，所以必要性不成立， 所以“”是是递增数列的充分不必要条件. 故选：B 6．（2024·北京·三模）在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先将代入余弦定理，利用基本不等式得到，从而得到，接着根据得到可能为钝角，不满足成等比数列，从而得答案. 【详解】当成等比数列时，， 所以，当且仅当时等号成立， 又，所以，所以，充分性满足； 当时，， 而当时，为最长的边，不满足成等比数列，必要性不满足. 则“成等比数列”是的充分不必要条件. 故选：A. 7．（2024·山东泰安·二模）已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分类讨论双曲线焦点所在位置，结合离心率可得的取值范围为，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若双曲线的离心率为，则有： 当双曲线的焦点在x轴上，则，解得， 可得，解得； 当双曲线的焦点在y轴上，则，解得， 可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 显然是的真子集， 所以“”是“双曲线的离心率为” 充分不必要条件. 故选：A. 8．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得. 【详解】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 9．（2024·全国·三模）已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由直线与平面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若，，，且，所以直线与平面平行的判定定理知； 若，，，所以直线与平面平行的性质定理知； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 10．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可. 【详解】命题“，”是假命题， 则“，”是真命题， 所以有解， 所以， 又， 因为，所以， 即. 故选：B. 1．（2024·北京·高考真题）已知向量，，则“”是“或”的（    ）条件． A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：A. 2．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 4．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 5．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 6．（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】用充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件， 由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件， 综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件， 故选：A. 7．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 8．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 9．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若，则，故充分性成立； 若，则或，推不出，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 10．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】 如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时， ∴不是的充分条件， 当时，，∴,∴成立， ∴是的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件    故选：B. 11．（2021·全国·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 常用逻辑用语 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新Ⅱ卷，第2题，5分 判断命题的真假 全称量词命题的否定及其真假判断 存在量词命题的否定及其真假判断 单绝对值不等式 一元三次方程 2023年新I卷，第7题，5分 充分条件与必要条件 等差数列通项公式及前n项和 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，具体视命题情况而定，新教材体系下只考查充分条件与必要条件和全称量词命题与存在量词命题及其否定，可直接考查，分值5分，也可作为知识点载体的形式考查，例如2023年新Ⅰ卷第7题以数列知识点作为载体，难度随载体知识点而定，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握充分条件、必要条件、充要条件 2.能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断及逻辑关系 3.能理解全称量词与存在量词的意义 4.能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定 【命题预测】本节内容常作为载体考查充分条件与必要条件，需对考纲内知识点熟练掌握；全称量词命题和存在量词命题的否定也是高考复习和考查的重点。 知识讲解 1． 在数学中，把用语言、符号、或式子表达的，我们把可判断 的陈述句叫做命题. 判断为_____的语句叫做真命题，判断为_____的语句叫做假命题. 2．在数学中，许多命题可表示为“若则”，其中叫作命题的 ，叫作命题的 . 3．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的__________，是的__________。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 4．充分性和必要性的关系 在“若，则”中，若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件，也就是说：在“若，则”中， 条件结论，_________________；结论条件，_________________ 5．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 条件，q是p的 条件 p是q的 条件 p⇒q且qp p是q的 条件 pq且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 pq且qp 6．集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题对应集合，命题对应集合，若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立），若，即，，是的______________________，若，即，，是的______________________ 若，即，，是的______________________ 7．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示. （2）存在量词：短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示. 8．全称量词命题、存在量词命题及含量词命题的否定 命题名称 命题结构 命题简记 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，成立 存在量词命题 存在M中的元素x，成立 考点一、判断充分条件与必要条件 1．（2024·全国·高考真题）已知向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 2．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 1．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量，，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2024·山东日照·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二、根据命题的条件求参数值或范围 1．（2023·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数为虚数单位的共轭复数为，则“为纯虚数”的充分必要条件为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分必要条件是（　　） A． B． C． D． 考点三、判断全称量词命题和存在量词命题真假 1．（2023·河北·模拟预测）命题：，，命题：，，则（    ） A．真真 B．假假 C．假真 D．真假 2．（湖南·高考真题）下列命题中的假命题是 A．， B．， C．， D．， 1．（22-23高三下·河北·阶段练习）已知命题（为自然对数的底数），则下列为真命题的是（    ） A．真，假 B．真，真 C．假，真 D．假，假 2．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）下列四个命题中，是假命题的是（    ） A．，且 B．，使得 C．若x＞0，y＞0，则 D．若，则的最小值为1 考点四、全称量词命题和存在量词命题的否定 1．（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 2．（2024·广东梅州·一模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·山东潍坊·二模）已知命题：，，则为 ． 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点五、根据全称量词命题和存在量词命题的真假，求参数值或范围 1．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 2．（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值： ． 1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题，若为假命题，则的取值范围是 2．（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 . 考点六、常用逻辑用语多选题综合 1．（2024·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南常德·一模）已知平面α，β，直线l，m，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则“”是“”的充分不必要条件 D．若，，则“”是“”的必要不充分条件 1．（2023·湖南·模拟预测）以下说法正确的是（    ） A．命题的否定是： B．若，则实数 C．已知，“”是的充要条件 D．“函数的图象关于中心对称”是“”的必要不充分条件 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·河南·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·新疆·二模）使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北唐山·一模）已知，：“”，：“”，则是的（   ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2024·福建漳州·三模）已知数列是公比不为1的正项等比数列，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024·北京朝阳·二模）已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 1．（2024·全国·模拟预测）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·二模）已知：，：，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知是三个不同的平面，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，则“”是是递增数列的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·北京·三模）在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（2024·山东泰安·二模）已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024·全国·三模）已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·北京·高考真题）已知向量，，则“”是“或”的（    ）条件． A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 7．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 11．（2021·全国·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$