江苏省盐城市盐城中学2024届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

【新结构】江苏省盐城市盐城中学2024届高三第一次模拟考试数学试卷❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数的最小正周期是(    ) A. B. C. D. 2.已知随机事件A，B相互独立，且，则(    ) A. B. C. D. 3.已知向量，满足，，则(    ) A. 1 B. C. 2 D. 4.若从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和是3的倍数的概率为(    ) A. B. C. D. 5.已知为数列的前n项和，则“”是“数列为单增数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知，，，，则的值是(    ) A. B. C. D. 7.已知球O与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 8.已知函数的零点为，存在零点，使，则不能是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知非零复数在复平面内对应的点分别为，O为坐标原点，则           A. 当时， B. 当时， C. 若，则存在实数t，使得 D. 若，则 10.定义平面斜坐标系xOy，记，，分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点P的坐标满足：，则记向量的坐标为，给出下列四个命题，正确的选项是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，以 O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为 11.已知直四棱柱，，底面ABCD是边长为1的菱形，且，点E，F，G分别为，，BC的中点，点H是线段上的动点含端点以为球心作半径为R的球，下列说法正确的是(    ) A. 直线AH与直线BE所成角的正切值的最小值为 B. 存在点H，使得平面EFG C. 当时，球与直四棱柱的四个侧面均有交线 D. 在直四棱柱内，球外放置一个小球，当小球体积最大时，球直径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式中常数项为__________. 13.下图是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，此双曲面可由线段 AB绕与其不共面的直线旋转而成，其轴截面为双曲线的一部分，若该几何体的高为2，上底面圆的直径为4，垂直于旋转轴的截面圆的面积最小值为，则双曲线的离心率为__________. 14.在中，已知，，点 P在内，且满足，，则四边形ABCP面积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知正项数列中，，且 求数列的通项公式; ，证明， 16.本小题15分 如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，，，平面平面， 求证：平面平面； 若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值． 17.本小题15分 某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动.每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分;或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分.已知选手甲正确回答每一道题的概率均为 记X为“甲完成一局“挑战答题”活动时回答的题数”，求的概率; 记Y为“甲连续9天参加‘挑战答题'活动获得的积分”，求 18.本小题17分 已知抛物线，圆，O为坐标原点. 若直线分别与抛物线O相交于点A，在B的左侧、与圆C相交于点S，在T的左侧，且与的面积相等，求出m的取值范围; 已知，，是抛物线O上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中，均与圆C相切，请判断此时圆心 C到直线的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值;若不是定值，请说明理由. 19.本小题17分 已知函数，a，是自然对数的底数， 若是R上的单调递增函数，求a的取值范围; 若函数的图象与直线有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大值为，求证： 当a，b满足什么条件时，恒成立. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查两角和正弦公式、正弦型函数的周期，属于基础题. 化，由正弦型函数的周期性即可求解. 【解答】 解：由题意，得 ， 所以的最小正周期 故选： 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，属于基础题. 由A，B相互独立，根据计算即可. 【解答】 解：因为事件A，B相互独立， 且， 则 故选： 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查向量的数量积、向量模等，属于基础题. 把给出的两个等式两边平方，即可求解. 【解答】 解：由， 可得，① 由， 可得， 整理得， 代入①得， 解得 故选： 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查古典概型的概率计算、组合与组合数公式，属于基础题． 先求出基本事件总数，再求出这2个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这2个数的和为3的倍数的概率． 【解答】 解：从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，基本事件总数， 这2个数的和为3的倍数包含的基本事件为，，，，， ，，，，，，， 共12个，即， 则这2个数的和是3的倍数的概率是 故选： 5.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查充分条件、必要条件的判断，数列的函数特征，数列的前n项和，属于中档题. 由数列的前n项和与项得关系可判断，进而得数列为单调递增数列，设公差为，此时，推出当时先减后增，可判断充分性，举例可判断必要性，即可得结果. 【解答】 解：若， 故，即， 故为单调递增数列，设公差为， 此时，，， 令，对称轴为，当时，此时对称轴， 此时先减后增， 故不能推出“数列为单增数列”， 若数列为单增数列， 例如，则，， 则， 故不能推出， 所以“”是“数列为单增数列”的既不充分也不必要条件. 故选： 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查三角函数，涉及了两角和与差的正切公式，以及二倍角的正切公式，属于中档题． 先计算，再由二倍角公式得出，然后计算，结合角度大小判断即可． 【解答】 解：因为，，，， 则 ， 可知，，则， 又因为 ， 可得 ， 所以 故选 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查圆台的结构特征、体积，球的体积，由函数的单调性求最值，属于中档题. 设球O的半径为R，利用球与圆台相切得和圆台的高为2R，再利用圆台和球的体积得，再利用“对勾”函数的图象与性质，计算得结论. 【解答】 解：因为球O与圆台的上下底面和侧面都相切，圆台上下底面半径分别为、，且， 所以圆台的母线长为， 因此若球O的半径为R，则由得，且圆台的高为 因为球O与圆台的体积分别为和， 所以 因为，所以 令，， 则， 故当时，取得最小值， 最小值为， 所以的最大值为 故选 8.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数，涉及函数的零点，导数的应用等．属于拔高题． 求出函数的零点的取值范围，分别求出函数的零点，判断不等式是否成立即可． 【解答】 解：函数定义域为 ， 函数在上单调递增， 而  ，因此  ， 对于A， 由  ，得， 解得  或  或  ， 显然  或  ，故A错误； 对于B， 由  ，得 ， 则 ， 解得  ， 取 ，此时存在零点，使， ，故B错误； 对于C， 的定义域为， ， 令， 由指数函数和幂函数的单调性可知： 在上为增函数， 且， 所以使得 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， ， 所以存在零点， 但不满足，故C正确. 对于D， 由  ，得  ， 则解得  ，   ， 即  ，   ，故D错误. 故选 9.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查了复数的运算以及几何意义，属于基础题. 利用复数的几何意义和概念逐项进行分析即可. 【解答】 解：对于A选项，，平方可得，A项正确； 对于B选项，取，则，当，B项错误； 对于C选项，，平方可得，即， 因此存在实数t，使得，C项正确； 对于D选项，取，但，D项错误. 故选： 10.【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查平面向量的新定义问题，属于中档题. 根据题目的新定义，结合向量的线性运算与向量数量积的坐标运算等对选项逐一判断即可. 【解答】 解： 对于A选项：，，，故A正确; 对于B选项：若， ， 则； 因为，所以，故B错误； 对于C选项：， ，则， 即，， ，故C错误； 对于D选项：设以O为圆心、半径为1的圆上任意一点为，因为，所以，得，，，即，故D正确. 故选： 11.【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查几何与代数，涉及直线与直线所成角的向量求法，线面平行的判定、空间几何体的截面形状等，属于拔高题. A选项，作出辅助线，建立空间直角坐标系，设出，，表达出直线AH与直线BE所成角的余弦值，求出最大值为，从而得到正切值的最小值； B选项，作出截面，进而可找出满足条件的点H； C选项，找到与四个侧面的交线即可； D选项，球外放置一个小球O，当小球O与四个侧面均相切时，小球O体积最大，得到小球O的半径为，得到，结合得到球直径的最大值. 【解答】 解：A选项，连接AG，因为底面ABCD是边长为1的菱形，且， 所以为等边三角形， 因为G为BC的中点， 所以，故， 以A为坐标原点，所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 故  ， 设  ，  ， 则  ， 设直线AH与直线BE所成角的大小为  ， 则   ， 令  ， 故  ， 因为  ， 所以当 时，  取得最大值， 最大值为  ，此时 ， 因为 在 上单调递减，  在上单调递增， 故直线AH与直线BE所成角的正切值的最小值为  ，故A正确； B选项，取，CD，的中点， 连接， 由平行关系可知，过三点的平面截直四棱柱， 得到的截面为六边形EQFMGW， 当H与重合时，，平面 所以，故B正确； C选项，连接，则  ，  ， 如图，当时，直四棱柱截球体下半部分的， 球与直四棱柱四个侧面都有一段圆弧状交线，故C正确； D选项，球外放置一个小球O，当小球O与四个侧面均相切时，小球O体积最大， 此时小球O在底面ABCD上的射影刚好与菱形相切， 故小球O的半径为  ， 故  ，因为  ， 则  ， 故球直径的最大值为：  ，故D错误. 故选 12.【答案】60  【解析】【分析】 本题考查二项式展开式的指定项系数，属于基础题. 利用展开式的通项即可求解. 【解答】 解：的展开式中通项为， 令，则，所以展开式中常数项为， 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题. 设出轴截面表示的双曲线的标准方程，求出，即可求出离心率. 【解答】 解：设轴截面表示的双曲线的标准方程为， 由该几何体的高为2，上底面圆的直径为4， 知双曲线过点， 所以① 又垂直于旋转轴的截面圆的面积最小值为， ②， 由①②，得， 所以， 离心率 故答案为： 14.【答案】2  【解析】【分析】 本题考查余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式求最值等，属于中档题. 设，，分别在和中，由余弦定理可得与x的关系式，然后根据四边形ABCP的面积可得到面积与和x的关系式，所以利用同角三角函数的关系最终得到面积与x的关系式，最后利用基本不等式即可求出最大值. 【解答】 解： 如图所示，设，， 则， 分别在和中，由余弦定理得， ， ， 所以， ， 所以四边形ABCP的面积： ， 所以， 又 ， 所以当且仅当， 即，，时， 四边形ABCP的面积最大，最大值为 故答案为： 15.【答案】解：由，， 得，又 ， 则 是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以， 证明：因为 ， 所以   【解析】本题考查求数列的通项公式，数列与不等式，裂项相消法求和，等比数列的通项公式，属于中档题. 由已知得，由此能求出； 求出，利用裂项相消法即可求证. 16.【答案】证明：因为平面平面PAB，平面平面，，平面PAB， 所以平面PAD， 又因为平面PBC，所以平面平面 解：过D作，，垂足分别为H，O，连接HO， 因为平面平面PAB，平面平面，，平面PAD， 所以平面PAB，又平面PAB，所以， 又，且，DO，平面PAD，所以平面PAD， 因为平面PAD，所以，即即为二面角的平面角， 不妨设，则可知，且，， 因为，所以，所以， 过O作平面 PAB，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面PBC的法向量为，则， 令，则，，所以， 设直线PD与平面PBC 所成角为，则  【解析】本题考查了二面角，直线与平面所成角，面面垂直的判定与性质，空间向量的应用，属于中档题. 由面面垂直的性质可得平面PAD，再由面面垂直的判定可得结论； 过D作，，垂足分别为H，O，连接HO，证明即为二面角的平面角，由求出，，过O作平面 PAB，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，设直线PD与平面PBC所成角为，根据得出答案. 17.【答案】解：记为“第i 个题目回答正确”，为“第i 个题目回答不正确” . 因为选手甲正确回答每一道题的概率均为，X为“甲完成一局“挑战答题”活动时回答的题数”， 所以 记Z为“1天中参加‘挑战答题’活动获得的积分”，则Z所有可能的取值为8， 因为选手甲正确回答每一道题的概率均为， 所以， ， 因此， 而，所以   【解析】本题考查概率统计，涉及相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的均值，属于中档题. 利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，计算得结论； 记Z为“1天中参加‘挑战答题’活动获得的积分”，利用离散型随机变量的分布列和均值得，再利用均值的性质，计算得结论. 18.【答案】解：因为与的面积相等，且与的高均为原点到直线l的距离， 所以，则， 设，，，， 则，即， 直线代入抛物线， 得， 因为直线l与抛物线交于A，B两点， 所以， 则， 直线代入圆C：， 得， 因为直线l与圆于S，T两点，所以， 即， 即， 所以， 由，得， 又， 则， 将其代入得 ，解得 将其代入得 ， 解得 综上，m的取值范围为 由题，易知直线，，斜率一定存在， 设，，， 则， 则直线的方程为：， 即， 即， 因为圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆C相切， 则， 平方化简得：， 看成关于，为变量的式子得： ， 同理得直线与圆C相切，化简式子后得： ， 所以可以同构出直线的方程为： ， 所以圆心到直线的距离为： ， 此时圆心C到直线的距离为定值，定值为  【解析】本题考查几何与代数，涉及直线与抛物线的位置关系，抛物线中的定点、定值、定直线问题，属于拔高题. 根据题意，将三角形面积相等转化为，再利用设而不求分别求得，，从而得到，再由判别式即可得解. 充分利用，得到直线与的方程，利用与圆相切的性质同构出直线的方程，从而得解. 19.【答案】解：因为，所以要函数是R上的单调递增函数，则对恒成立， 而当时，，因此，所以a的取值范围是 证明：作直线和函数的图象如下： 要直线和函数的图象有且仅有三个公共点，且公共点横坐标的最大值为， 则直线与函数的图象在内相切，且切点为 因为当时，，所以此时， 因此，即 因为 ， 所以 解：令，则恒成立等价于恒成立. ㈠当时，因为当时，，，， 所以当时，，因此存在，使得，不符合题意. ㈡当时，因为， 所以：①当，即时，恒成立，符合题意； ②当，即时，令， 则， 而由得， 因此存在，使得，即不恒成立，不符合题意. ㈢当时，因为， 所以令，则 因为由得；由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因此 ①当，即时，恒成立， 因此恒成立，符合题意； ②当，即时， 因为， 所以当，即时，，即不恒成立，不符合题意. 综上所述，a，b满足或时，恒成立.  【解析】本题考查函数，涉及了利用导数由函数的单调性求参，求曲线上一点的切线方程，两角和与差的余弦公式，利用同角三角函数基本关系证明等，属于难题. 利用导数由函数的单调性求参，计算得结论； 利用函数图象，结合求曲线上一点的切线的斜率和题目条件得，再利用两角和与差的余弦公式和同角三角函数基本关系证明，计算得结论； 利用导数证明不等式，结合对参数a、b的讨论，计算得结论. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$