精品解析：福建省泉州师范学院附属中学等校联合2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

福建省泉州师范学院附属中学等校联合2023−2024学年八年级下学期期末数学试题 试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 无论a取何值，下列分式总有意义的是（ ） A B. C. D. 2. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 3. 已知：点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. −1 D. 4. 如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ） A 22 B. 16 C. 18 D. 20 5. 在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数，下列结论错误是（    ） A. 若两点A()，B()在该函数图象上，且，则 B. 函数的图象不经过第三象限 C. 函数的图象向下平移4个单位长度得到的图象 D. 函数的图象与轴的交点坐标是 7. “双减”政策落实后，同学们更加重视了课堂学习，小明和小颖两位同学相约数学学习竞赛，两人每周做一次数学自我小测试，如图记录了两个人9次测试成绩的折线图，从稳定的角度看两个人的成绩，下列说法正确的是( ) A. 小明成绩稳定 B. 小颖成绩稳定 C. 小明、小颖一样稳定 D. 无法判断 8. 如图，四边形是正方形，是延长线上一点，是上一点，若绕点A按逆时针方向旋转度后与重合，则的最小值为（ ） A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 9. 新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，，点在边上，，将沿DE对折至，延长交边于点，连接，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：__． 12. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________． 13. 某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，综合成绩按笔试、试讲、面试的占比为2：2：1，则该名教师的综合成绩为_____． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 15. 函数y＝kx与y＝6–x的图像如图所示，则k＝________． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD与菱形GFED关于点D成中心对称，点C，G在x轴的正半轴上，点A，F在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交x轴于点P（1，0），若∠APO＝120°，则k的值是_____________． 三、解答题：本题共9小题，共86分 17. 解分式方程： （1）； （2）. 18. 先化简，再求值：，其中x=0． 19. 如图，点E，F是对角线上的点，，连接、，求证：四边形为平行四边形． 20. 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知x≠0，所以，即x+=3． 所以=x2+=（x+）2﹣2=32﹣2=7． 故的值为． 该题解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 21. 教育局为了了解初三男生引体向上的成绩情况，随机抽测了本区部分学校初三男生，并将测试成绩绘成了两幅不完整的统计图． 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）写出扇形图中　　，并补全条形图； （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 　　个、　　个； （3）该区初三年级共有男生2400人，如果引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区男生的引体向上成绩能获得满分的有多少名？ 22. 科学家实验发现，声音在不同气温下传播速度不同，声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化．某兴趣小组为探究空气的温度x（℃）与声音在空气中传播的速度y（米/秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．下表为实验时记录的一些数据． 温度x（℃） 0 5 10 15 20 … 音速y （米/秒） 331 334 337 340 343 … （1）在下图的平面直角坐标系中，横轴为气温x（℃），纵轴为声音在空气中传播的速度y（米/秒），描出以表格中数据为坐标的各点． （2）观察所描各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． （3）当气温是32℃时，求声音在空气中传播的速度． （4）某地冬季的室外温度是零下10℃，小明同学看到烟花3秒后才听到声响，则小明与燃放烟花地相距______米．（光的传播时间忽略不计） 23. 党的二十大报告中指出，推动能源清洁低碳高效利用，推进工业、建筑、交通等领域清洁低碳转型，深入推进能源革命．某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车．根据调查发现．购买A型电动公交车2辆、B型电动公交车1辆，共需资金112万元；购买A型电动公交车1辆、B型电动公交车1辆，共需资金76万元． （1）求A、B两种型号的电动公交车的单价分别是多少万元． （2）该交通管理局计划出资1128万元，准备购买这两种电动公交车共30辆，其中A型电动公交车的数量不多于20辆，请你设计出最省钱的购买方案． 24. 问题提出： （1）如图，四边形是正方形，是上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，连接，求的大小； 问题探究： （）如图，在四边形中，，连接，若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） 问题解决： （）如图，在四边形中，与交于点且，求四边形的面积． 25. 如图，函数的图象过和两点． （1）求n和k的值． （2）将直线沿x轴向左移动得直线，交x轴于点D，交y轴于点E，交的图象于点C，若，求直线的解析式． （3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省泉州师范学院附属中学等校联合2023−2024学年八年级下学期期末数学试题 试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 无论a取何值，下列分式总有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的分母不为零，让分式的分母为零列式求a是否存在即可． 【详解】解：A、分母故选项正确，符合题意； B、当a=0，分母为零，故选项错误，不符合题意； C、当a=±1，分母为零故选项错误，不符合题意； D、当a=-1，分母为零故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是找出分母为零的情况． 2. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 3. 已知：点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. −1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标关于坐标轴对称的知识，掌握两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出m、n的值，然后代入运用乘方解答即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，解得：， ∴． 故选项B． 4. 如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ） A. 22 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质即可求出AO的长度，根据勾股定理求出BO，最后求出BD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12， ∴AO=AC=6， ∵AB⊥AC， ∴， ∴BD=2BO=20． 故选∶D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形对角线互相平分的性质以及勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 5. 在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．对进行分类讨论，结合选项进行排除即可． 【详解】解：当时，， 反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，故B错误，C正确； 当时，， 反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，故A、D选项错误； 故选：C． 6. 一次函数，下列结论错误的是（    ） A. 若两点A()，B()在该函数图象上，且，则 B. 函数的图象不经过第三象限 C. 函数的图象向下平移4个单位长度得到的图象 D. 函数的图象与轴的交点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】A、因为一次函数中，因此函数值随x的增大而减小，故A选项正确； B、因为一次函数中，，因此此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B选项正确； C、由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得的图象，故C选项正确； D、令，则，因此函数的图象与x轴的交点坐标是，故D选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键． 7. “双减”政策落实后，同学们更加重视了课堂学习，小明和小颖两位同学相约数学学习竞赛，两人每周做一次数学自我小测试，如图记录了两个人9次测试成绩的折线图，从稳定的角度看两个人的成绩，下列说法正确的是( ) A. 小明成绩稳定 B. 小颖成绩稳定 C. 小明、小颖一样稳定 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】从折线统计图的波动大小得出两人的方差大小，根据方差小的说明成绩稳定，即可得出答案． 【详解】解：由图可知：小颖成绩波动小，小明波动大，所以小颖成绩的方差小于小明成绩的方差，所以从稳定的角度看两个人的成绩，小颖成绩稳定， 故选：B． 【点睛】本题考查折线统计图，方差，熟练掌握折线统计图与方差意义是解题的关键． 8. 如图，四边形是正方形，是延长线上一点，是上一点，若绕点A按逆时针方向旋转度后与重合，则的最小值为（ ） A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转角，正方形的性质．根据正方形的性质得到，则将绕点A按逆时针方向旋转即可与重合，从而解答． 【详解】解：∵四边形正方形， ∴， ∴旋转角为，即． 故选：A 9. 新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设两台汽车的续航里程是x千米，根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元列等式求解即可得到答案； 【详解】解：设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得， ， 解得：， 经检验，是原方程的根且符合题意 ， 故选A． 【点睛】本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列式求解． 10. 如图，正方形中，，点在边上，，将沿DE对折至，延长交边于点，连接，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，于是根据“HL”判定，再由，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，进而求出的面积，再证明是等腰三角形可得可判断③． 【详解】解：如图，由折叠可知，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ∴， 设，则， 由勾股定理得：，即：，解得：， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，,故③错误，④正确． 综上可知正确的结论的是3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：__． 【答案】1 【解析】 【分析】根据零指数幂的运算法则进行计算． 【详解】解：． 故答案为：1． 【点睛】主要考查了零指数幂的意义，即任何非0数的0次幂等于1． 12. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相等且平行”的性质． 13. 某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，综合成绩按笔试、试讲、面试的占比为2：2：1，则该名教师的综合成绩为_____． 【答案】90分 【解析】 【分析】计算出该教师的加权平均数即可． 【详解】由题意知，该名教师的综合成绩为：（分）， 故答案为：90分 【点睛】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数计算公式是关键． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【详解】关于的方程的最简公分母为：， ∵方程有增根， ∴， 解得：， 在方程两边同乘得：， 把代入方程得：， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，确定增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根． 15. 函数y＝kx与y＝6–x的图像如图所示，则k＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先把一次函数y=6－x与y=kx图像交点坐标的横坐标为2代入一次函数y=6﹣x中，求得交点坐标为（2，4），然后代入y=kx求得k值即可． 【详解】∵一次函数y=6﹣x与y=kx图像的交点横坐标为2， ∴y=6﹣2=4， ∴交点坐标为（2，4）， 把（2,4）代入y=kx，得2k=4，解得：k=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了两条直线相交问题，解题的关键是交点坐标适合y=6﹣x与y=kx两个解析式． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD与菱形GFED关于点D成中心对称，点C，G在x轴的正半轴上，点A，F在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交x轴于点P（1，0），若∠APO＝120°，则k的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、交于点，作轴于点，设线段，得，由菱形和菱形关于点成中心对称结合可得点和点的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，求，最后求得． 【详解】连接、交于点，作轴于点， 设， ， ，， 菱形和菱形关于点成中心对称，点，在轴的正半轴上， 轴，， ， ， ， ，， 点，，， 点和点在反比例函数图象上， ， 解得：（舍或， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形三边关系、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用菱形的性质表达出点和点的坐标． 三、解答题：本题共9小题，共86分 17. 解分式方程： （1）； （2）. 【答案】（1）x＝3 （2）x＝6 【解析】 【分析】（1）先将方程两边同时乘以最简公分母约去分母，将分式方程化成整式方程,再解一元一次方程,把求出的x的值代入最简公分母中进行检验即可； （2）先将分式方程两边同时乘以最简公分母约去分母化成整式方程,再解一元一次方程，把求出的x的值代入最简公分母中进行检验． 【小问1详解】 方程两边同时乘以2(2x－1)，得2＝2x－1－3， 化简得：2x＝6， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，2(2x－1)＝2(2×3－1)≠0， 所以，x＝3是原方程的解． 【小问2详解】 去分母，得x－3－2＝1， 解这个方程，得x＝6， 检验：当x＝6时，x－3＝6－3≠0， 所以x＝6是原方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程，求出整式方程的解，要检验整式方程的解是否是分式方程的解． 18 先化简，再求值：，其中x=0． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=0代入进行计算即可． 【详解】解：原式= = =； 当x=0时，原式=． 19. 如图，点E，F是对角线上的点，，连接、，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 由平行四边形的性质可得，，可证，即可得，，可证，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形为平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ∵，，， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 20. 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知x≠0，所以，即x+=3． 所以=x2+=（x+）2﹣2=32﹣2=7． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据“倒数法”的解题思路即可求出答案． 【详解】解：∵，且x≠0， ∴， ∴x+﹣3=5， ∴x+=8， ∴=x2++1=（x+）2﹣1=63， ∴= 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键正确理解题目给出的解答思路，本题属于基础题型． 21. 教育局为了了解初三男生引体向上的成绩情况，随机抽测了本区部分学校初三男生，并将测试成绩绘成了两幅不完整的统计图． 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）写出扇形图中　　，并补全条形图； （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 　　个、　　个； （3）该区初三年级共有男生2400人，如果引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区男生的引体向上成绩能获得满分的有多少名？ 【答案】（1）25；图见解析 （2）5，5 （3）1080名 【解析】 【分析】（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，根据3个的人数和所占的百分比，求出6个的人数，从而补全统计图； （2）根据众数与中位数的定义求解即可； （3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以2400即可． 【小问1详解】 解：扇形统计图中，即； 设引体向上6个的学生有人，由题意得： ， 解得， 则引体向上6个的学生有50人； 条形统计图补充如下： 故答案为：25； 【小问2详解】 解：由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5个； 抽查的总人数有：（名）， 共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个， 中位数为（个）； 故答案为：5，5； 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计该区男生的引体向上成绩能获得满分的有1080名． 【点睛】本题考查了众数与中位数的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体． 22. 科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化．某兴趣小组为探究空气的温度x（℃）与声音在空气中传播的速度y（米/秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．下表为实验时记录的一些数据． 温度x（℃） 0 5 10 15 20 … 音速y （米/秒） 331 334 337 340 343 … （1）在下图的平面直角坐标系中，横轴为气温x（℃），纵轴为声音在空气中传播的速度y（米/秒），描出以表格中数据为坐标的各点． （2）观察所描各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． （3）当气温是32℃时，求声音在空气中传播的速度． （4）某地冬季的室外温度是零下10℃，小明同学看到烟花3秒后才听到声响，则小明与燃放烟花地相距______米．（光的传播时间忽略不计） 【答案】（1）见解析 （2）各点在同一直线上．这条直线所对应的函数表达式为 （3）当气温时32℃时，声音在空气中得传播速度为350.2米/秒 （4）975 【解析】 【分析】（1）根据表中数据描点即可； （2）设这条直线所对应的函数表达式为，把、分别代入，即可得出答案； （3）当时，代入，即可得出答案； （4）当时，代入，再求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：描点如图： 【小问2详解】 解：各点在同一直线上． 设这条直线所对应的函数表达式为， 把、分别代入得： 解得：， ∴这条直线所对应的函数表达式为； 【小问3详解】 当时，代入， 可得：， ∴当气温时32℃时，声音在空气中得传播速度为350.2米/秒； 【小问4详解】 解：当时，代入， 可得：， 则小明与燃放烟花地相距米． 【点睛】本题考查一次函数的应用和学生的分析归纳能力，正确理解题意、读懂表格数据，用待定系数法求函数解析式是解答此题的关键． 23. 党的二十大报告中指出，推动能源清洁低碳高效利用，推进工业、建筑、交通等领域清洁低碳转型，深入推进能源革命．某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车．根据调查发现．购买A型电动公交车2辆、B型电动公交车1辆，共需资金112万元；购买A型电动公交车1辆、B型电动公交车1辆，共需资金76万元． （1）求A、B两种型号的电动公交车的单价分别是多少万元． （2）该交通管理局计划出资1128万元，准备购买这两种电动公交车共30辆，其中A型电动公交车的数量不多于20辆，请你设计出最省钱的购买方案． 【答案】（1）A型电动公交车的单价是36万元，B型电动公交车的单价是40万 （2）最省钱的购买方案为：购买A型电动公交车20辆，B型电动公交车10辆 【解析】 【分析】（1）设A型电动公交车的单价为x万元，B型电动公交车的单价为y万元．根据购买A型电动公交车2辆、B型电动公交车1辆，共需资金112万元；购买A型电动公交车1辆、B型电动公交车1辆，共需资金76万元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买A型电动公交车m辆，则购买B型电动公交车辆，根据题意列出不等式，求出的取值范围，设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w万元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A型电动公交车的单价为x万元，B型电动公交车的单价为y万元． 依题意，得，解得； 答：A型电动公交车的单价是36万元，B型电动公交车的单价是40万元． 【小问2详解】 设购买A型电动公交车m辆，则购买B型电动公交车辆． 依题意得，解得． 又， ∴． 设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w万元， 依题意，得． ∵， ∴w随m的增大而减小． ∴当时，w取得最小值．此时． ∴最省钱的购买方案为：购买A型电动公交车20辆，B型电动公交车10辆． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组和一次函数解析式，是解题的关键． 24. 问题提出： （1）如图，四边形是正方形，是上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，连接，求的大小； 问题探究： （）如图，在四边形中，，连接，若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） 问题解决： （）如图，在四边形中，与交于点且，求四边形的面积． 【答案】（）（）（） 【解析】 【分析】（）先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰直角三角形的定义即可得； （）过点作于，交的延长线于，先根据三角形全等的判定定理可得，再证四边形是正方形，然后根据正方形的性质、面积公式即可得； （）直接根据（）的结论求解即可． 【详解】解：（）四边形是正方形， 在和中， ， （）如图②，过点作于，交的延长线于， 又 四边形是矩形， ， 又 四边形是正方形， ∴四边形的面积； （）由（）的结论可得：四边形的面积 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及正方形的性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 25. 如图，函数的图象过和两点． （1）求n和k的值． （2）将直线沿x轴向左移动得直线，交x轴于点D，交y轴于点E，交的图象于点C，若，求直线的解析式． （3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，点F的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将和两点，代入函数，得到二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，交轴于点，交于点，设，则，，进而得到，，再根据，求出的值，得到点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法，即可求出直线的解析式； （3）由直线得解析式，求得，，根据等腰直角三角形性质，分三种情况讨论：①当点为直角顶点时；②当点为直角顶点时；③当点为直角顶点时，分别构造全等三角形求解，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：函数的图象过和两点， ，解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 过点作轴，交轴于点，交于点， 设，则，， 则，， ， ， ， 解得：，（舍）， ， 直线由直线沿x轴向左平移得到， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得：， 直线的解析式为； 【小问3详解】 解：存在，点F的坐标为或或，理由如下： 直线交x轴于点D，交y轴于点E， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 是等腰直角三角形， ①当点直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在第二象限， ； ②当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， 同①理可得，， ，， ， 点在第二象限， ； ③当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， 点在第二象限， ； 综上可知，第二象限内存在点F，使得为等腰直角三角形，点F的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$