精品解析：广东省韶关市乳源县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年度第二学期期中学科素养训练 八年级数学 注意事项： 1．全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔把对应的号码的标号涂黑． 3．在答题卡上完成作答，答案写在试卷上无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减法，根据只有被开方数相同的最简二次根式才能合并即可解答． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴． 故选：C 2. 若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质．根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 3. 已知平行四边形，对角线与相交于点O，以下表述不一定正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质：对边平行且相等、对角线互相平分，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、平行四边形，且是正确的，不符合题意； B、平行四边形，且是正确的，不符合题意； C、平行四边形，，符合题意； D、平行四边形，且是正确的，不符合题意； 故选：C． 4. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. x<-3 B. x≥-3 C. x>2 D. x≥-3，且x≠2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到x+3≥0且x-2≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】根据题意得x+30且x−2≠0， 所以x的取值范围为x−3且x≠2. 故答案选D. 【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件. 5. 已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 6. 下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 6，8，12 D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误； B、42+32=572，故是直角三角形，故此选项正确； C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误； D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项错误． 故选B． 考点：勾股定理的逆定理． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B、D在y轴上，边、分别与x轴交于点F、E，若F、E为、中点，，，则四边形的面积是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作于点H，利用已知条件求出边、、的值，再利用即可求出答案． 【详解】过点A作于点H， ，，， ，，, 四边形是菱形， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、中点坐标和求不规则四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 8. 如图，把矩形沿着折叠，使得点B落在D上，A的对应点为，若，，则为（ ） A. 4 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，根据性质得出相应量的值是解题的关键．勾股定理是求线段长的常用方法．根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，，然后设，表示和，最后根据勾股定理列出方程，再求出解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 根据折叠的性质得，，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 9. 一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标记A，然后在对边任一点再做一个标记B，连接，取中点O，则以下操作与判断正确的是（ ） A. 过点O作任意直线交木板两边于、，得到矩形 B. 过点O作的垂线l交木板两边于、，得到矩形 C. 在木板上任意找两点、，使得，得到矩形 D. 分别过点、作垂线，交对边于、，连接、，得到矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握四边形的判定方法是解题的关键．根据题意画出图形，依次逐一判断是否正确即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故选项A错误，不符合题意； B、如图， 同选项A可得四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故选项B错误，不符合题意； C、如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项C错误，不符合题意； D、如图， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 10. 如图，点P是边长为的正方形的对角线上的动点，过点分别作于点E，于点F，连接并延长，交射线于点H，交射线于点M，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①；②；③当时，四边形为正方形；④的最小值是1．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的综合，涉及全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定等，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定是解题的关键．连接，设交于点，利用特殊位置确定①的正确；只要求出即可确定②的正确；先确定四边形是矩形，再确定是正方形即可判定③的正确；利用，最小即最小，即可求最小值． 【详解】解：如图，连接，设交于点， ①∵当点与中点重合时，，显然， 故①不合正确； ②∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故③正确； ④∵， ∴最小即最小， 当时，最小， 此时是等腰直角三角形， 此时， 故④正确； 故正确的是②③④， 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简：=____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可. 【详解】==. 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质，是解答本题的关键. 12. 已知一个小球初速度为零，从距离地面高度为的地方开始自由下落，经历时间后落到地面，关于的数学关系式为，当时，则小球落地所用时间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的应用和算术平方根的应用，将代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，当时，， 解得：（负值舍去） 故答案为：． 13. 如图，台风过后，一根高度为5米竖直的杆子被折断了，折断后杆顶到杆子底部的距离为2米，则折断点离底面距离为__________米． 【答案】2.1 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程求出的长即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴， 在中， ∴ 解得， 即折断点离底面距离为2.1米， 故答案为：2.1 14. 如图，在正方形中，，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了正方形的性质，等腰三角形的性质．根据正方形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图，，，，，，该图形的面积等于________． 【答案】96 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，某数学兴趣小组在课后一起复习数学知识，首先他们在纸上画出，然后分别以这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形，最后把这个图形剪下来，并折成下图的样子，分别与交于G、H，若的面积分别为4，9，16，则__________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先分别表示出，再运用面积的关系得出，然后根据勾股定理列式，代入化简，即可作答． 【详解】解：如图： 设的面积分别为， ∵在，然后分别以这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形， ∴ ∵的面积分别为4，9，16， ∴ ， 整理上式：得， ∵， ∴， 则， ∴， 即， 故答案为：11． 三、解答题：本大题共9小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算题：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的乘法，除法运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 化简，求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先通分计算小括号内的减法，再利用分式的除法法则进行化简，再将代入即可； 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19. 如图是一块形状为四边形试验田，在四边形中，，，请你帮助农民伯伯计算这块实验田的面积． 【答案】这块实验田的面积为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，首先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理得是直角三角形，再根据求解即可． 【详解】解：在中，，根据勾股定理得， ， 在中，， ， 是直角三角形， 答：这块实验田的面积为 20. 如图,在▱ABCD中,∠BAD和∠BCD的平分线AF,CE分别与对角线BD交于点F,E． 求证:四边形AFCE是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD， ∴∠ABE=∠CDF， ∵∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F， ∴∠BAE=，∠DCF=， ∴∠BAE=∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE=CF，∠AEB=∠CFD， ∴∠AEF=∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【解析】 【分析】由在▱ABCD中，可证得AB=CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，又由∠BAD和 ∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，可证得∠BAE=∠DCF，继而可证得△ABE≌△CDF（ASA），则可证得AE=CF，AE∥CF，判定四边形AECF是平行四边形． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，关键是熟记并灵活运用平行四边形的性质与判定． 21. 如图，是一条东西方向的长为的人行道，A处放置一个灌溉草坪的喷头，以A点为圆心，为半径的圆形范围都能浇灌．小亮用仪器测得喷头在B处的东北方向，在D处的北偏西，请问在喷头工作时，行人走在人行道上是否会被淋到，请说明理由．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 不会，理由如下． 由题意得，， 过点A作， 在中，， 设， 在中， 在中，根据勾股定理得， 解得： 答：行人不会被淋到． 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质， 首先求出，设，得到，由勾股定理求出，然后利用列方程求解即可． 【详解】略 22. 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE． （1）求证：BD=EC； （2）若∠E=50°，求∠BAO的大小． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD，AB//CD. 又∵BE=AB， ∴BE=CD，BE//CD. ∴四边形BECD是平行四边形. ∴BD=EC. （2）40°. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB//CD，然后证明得到BE=CD，BE//CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证. （2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）∵四边形BECD是平行四边形， ∴BD//CE， ∴∠ABO=∠E=50°. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC丄BD. ∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°. 23. 如图所示，在矩形中，O是与的交点，过点O的直线与，的延长线分别交于点E，F． （1）求证：； （2）当与满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 在与中， ∴； （2） 当时，四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定等知识点， （1）由矩形的性质：，证得； （2）当时，四边形是菱形，根据已知条件可证明四边形是平行四边形，当，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定； 解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长． 【答案】（1）证明：在▱ABCD中，ADBC，且AD=BC ∵F是AD的中点 ∴DF=AD 又∵CE=BC ∴DF=CE，且DFCE ∴四边形CEDF是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形； （2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度． 【详解】（1）略 （2）如图，过点D作DH⊥BE于点H． 在▱ABCD中，∵∠B=60°， ∴∠DCE=60°． ∵AB=4， ∴CD=AB=4， ∴CH=CD=2，DH=2． 在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1． ∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=． 25. 发现（1）如图①所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点，求证：． 拓展（2）如图①所示，若，求的值． 探究（3）如图②，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿BE翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，求的长（用含m、n的式子表示）． 【答案】 （1）证明：∵将沿翻折到处，四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴． （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质和折叠可得，，利用“”证明，即可得证； （2）设，，则，由折叠可得，设， 则，，在中，根据勾股定理有，代入求的，即可解答； （3）连接，由在矩形的性质与翻折可证得，因此．设，则，在中，根据勾股定理有，代入即可求得，即，从而，根据平行线的性质与等角对等边得到，从而． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴设，，则． ∴在正方形中， ∵沿翻折到处 ∴， ∴设， ∴， 在中， ∴． 解得． ∴ ∴． （3）连接，根据题意在矩形中，将沿翻折到 ∴，，， ∵， ∴ ∴． ∵沿翻折到 ∴，设，则 在中， ． 解得． ∴． ∴ ∵矩形中， ∴ ∴ ∴． ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，轴对称的性质，勾股定理，等角对等边．正确作出辅助线，综合运用相关知识，运用勾股定理构造方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期中学科素养训练 八年级数学 注意事项： 1．全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔把对应的号码的标号涂黑． 3．在答题卡上完成作答，答案写在试卷上无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 3. 已知平行四边形，对角线与相交于点O，以下表述不一定正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 4. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. x<-3 B. x≥-3 C. x>2 D. x≥-3，且x≠2 5. 已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 6，8，12 D. ，， 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B、D在y轴上，边、分别与x轴交于点F、E，若F、E为、中点，，，则四边形的面积是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 8. 如图，把矩形沿着折叠，使得点B落在D上，A的对应点为，若，，则为（ ） A. 4 B. C. D. 3 9. 一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标记A，然后在对边任一点再做一个标记B，连接，取中点O，则以下操作与判断正确的是（ ） A. 过点O作任意直线交木板两边于、，得到矩形 B. 过点O作的垂线l交木板两边于、，得到矩形 C. 在木板上任意找两点、，使得，得到矩形 D. 分别过点、作垂线，交对边于、，连接、，得到矩形 10. 如图，点P是边长为的正方形的对角线上的动点，过点分别作于点E，于点F，连接并延长，交射线于点H，交射线于点M，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①；②；③当时，四边形为正方形；④的最小值是1．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ③④ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简：=____________. 12. 已知一个小球初速度为零，从距离地面高度为的地方开始自由下落，经历时间后落到地面，关于的数学关系式为，当时，则小球落地所用时间为__________． 13. 如图，台风过后，一根高度为5米竖直的杆子被折断了，折断后杆顶到杆子底部的距离为2米，则折断点离底面距离为__________米． 14. 如图，在正方形中，，则的度数是__________． 15. 如图，，，，，，该图形的面积等于________． 16. 如图，某数学兴趣小组在课后一起复习数学知识，首先他们在纸上画出，然后分别以这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形，最后把这个图形剪下来，并折成下图的样子，分别与交于G、H，若的面积分别为4，9，16，则__________． 三、解答题：本大题共9小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算题：． 18. 化简，求值：，其中． 19. 如图是一块形状为四边形试验田，在四边形中，，，请你帮助农民伯伯计算这块实验田的面积． 20. 如图,在▱ABCD中,∠BAD和∠BCD的平分线AF,CE分别与对角线BD交于点F,E． 求证:四边形AFCE是平行四边形． 21. 如图，是一条东西方向的长为的人行道，A处放置一个灌溉草坪的喷头，以A点为圆心，为半径的圆形范围都能浇灌．小亮用仪器测得喷头在B处的东北方向，在D处的北偏西，请问在喷头工作时，行人走在人行道上是否会被淋到，请说明理由．（结果精确到，参考数据：） 22. 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE． （1）求证：BD=EC； （2）若∠E=50°，求∠BAO的大小． 23. 如图所示，在矩形中，O是与的交点，过点O的直线与，的延长线分别交于点E，F． （1）求证：； （2）当与满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论． 24. 如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长． 25. 发现（1）如图①所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点，求证：． 拓展（2）如图①所示，若，求的值． 探究（3）如图②，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿BE翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，求的长（用含m、n的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $