精品解析：2024年湖南省长沙市广益实验中学中考三模数学试题

湖南省长沙市广益实验中学2023-2024学年九年级下学期数学试题（三模） 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的． 请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此进行判断即可． 【详解】解：有理数的相反数是． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、多项式除以单项式、分式的乘方和合并同类项，根据同底数幂的乘法、多项式除以单项式、分式的乘方和合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 3. 实数在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小，熟知数轴上负方向的数总是小于正方向的数是解本题的关键． 根据数轴上负方向的数总是小于正方向的数即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴四个数种最小的数为 ， 故答案为：A． 4. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定．如图，根据三角形的中位线得出，，进而得证平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，、、 、分别是 、 、 、的中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形， 故选：C． 5. 已知蓄电池的电压（单位： ）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 蓄电池的电压是 C. 当时， D. 函数的表达式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题． 【详解】设， ∵图象过， ∴，故选项B正确，不符合题意， ∴，故选项D正确，不符合题意； 当时，，选项C正确，不符合题意； 根据函数图象可得当时，，选项A错误，符合题意； 故选：A． 6. 如图， 平移到的位置，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 平移距离为线段的长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，平移前后图形的大小和形状不发生改变，对应线段相等且互相平行，对应点之间的连线互相平行，根据平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，故选项A不符合题意； 由平移的性质可知，，故选项B不符合题意； 由平移的性质可知，，故选项C不符合题意； 由平移的性质可知，平移距离为线段 的长，故选项D符合题意； 故选：D． 7. 语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率．先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们选择的诗人相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人分别用A、B、C、D表示，列表如下： 小明 小颖 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择的诗人相同的结果数有4种， ∴他们选择的诗人相同的概率为， 故选：A． 8. 如图，四边形内接于， ，连接 ，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理．先求得，得到，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，菱形的顶点的坐标为，顶点 的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点 的对应点在 轴上，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、菱形的性质、旋转的性质，连接、 交于点，由菱形的性质结合坐标可得，，从而得出 ，，，由旋转的性质可得，，求出的长度即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、 交于点， ， 菱形的顶点的坐标为，顶点 的坐标为， ，， ，，， 由旋转的性质可得：，， ， 点的对应点的坐标为， 故选：B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. ，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图像和性质的相关知识点，根据二次函数的系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：A、根据函数图像可得当 时，，故A错误； B、根据对称轴为直线 可得：故，故B正确； C、根据函数图像可得当，则，故C错误； D、根据函数的对称性得：，则，故D错误； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 比较大小：______5（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解决问题的关键．由，可得即可得到答案． 【详解】解：， ，即， 故答案为：． 12. 若在实数范围内有意义，则 的取值范围为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可. 【详解】要使有意义，则需要，解出得到. 【点睛】本题考查根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键. 13. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则_____ （填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内 随 的增大而减小， 又∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 14. 某学生数学课堂表现为90分、平时作业为90分、期末考试为85分，若这三项成绩分别按、、的比例计入总评成绩，则该生数学总评成绩是__________分． 【答案】88 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，属于基本题型，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题关键．根据加权平均数的计算方法解答即可． 【详解】解：该学生数学学科总评成绩分． 故答案为：88． 15. 如图，在 中，，，，动点D从点B出发以的速度沿 向点C匀速运动，过点D作，交边于点E，当点E落在边上的中点处时，点D移动的时间为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先证 是的垂直平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质得出，即可求出的度数，再根据锐角三角函数的定义即可求出的长，于是有 的长，根据 的长即可求解．本题考查了线段垂直平分线的性质，锐角三角函数，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，点为的中点， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 是的外角， ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 即， 点移动的时间， 故答案为： 16. 雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形（如图所示），连接 ，若 是 边上的中点，连接，则的值为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理是正确解答的关键． 【详解】解：如图，取 的中点，连接，由对称性可知，所在的直线是正六边形的对称轴，设圆心为，连接， ∵六边形是正六边形，点是中心， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， 在中，设，则， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组解集，掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以该不等式组的解集为：． 19. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、分式的化简求值等知识点，掌握分式的混合运算法则以及特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后再根据特殊角的三角函数值化简，最后代入计算即可． 【详解】解：， ； ， 所以原式． 20. 如图，在中，点在边 上，，为线段 上一点，．求证：． 【答案】 证明：∵是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质；先根据平行四边形的性质得到，然后利用得到，即可得到结论． 【详解】略 21. 某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元． （1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？ （2）若该景区要购买A，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【答案】（1）600元，1000元 （2）购买A种型号帐篷15顶，购买B种型号帐篷5顶，总费用最低，最低总费用为14000元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用： （1）设A种帐篷的单价是m元，B种帐篷的单价是n元，根据购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元得：，即可解得A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元； （2）设购买A种帐篷x顶，购买帐篷的总费用为y元，由B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，可得，而，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设A种帐篷的单价是m元，B种帐篷的单价是n元， 根据题意得：， 解得， ∴A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元； 【小问2详解】 解：设购买A种帐篷x顶，购买帐篷的总费用为y元，则购买B种帐篷顶， ∵B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的， ∴，解得， 根据题意得：， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值， 此时， ∴购买A种帐篷15顶，购买B种帐篷5顶，总费用最低为14000元． 22. 如图，四边形内接于， 是的直径，于点， 是的切线． （1）求证：平分； （2）如果，的半径为4，求 的长． 【答案】（1） 证明：连接 ，如图， 是的切线， ， ， ∴， ． ， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． （1）连接 ，利用切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质解答即可； （2）利用圆周角定理和勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的直径， ， 的半径为4， ， ． ， ． ， ， ， ， ， ． 23. 2020年起，相关统计部门持续推进长三角区域发展指数研究，设置了示范引领等6项一级指标，并测算了2016年以来的长三角区域发展总指数． 长三角区域发展总指数和示范引领分项指数统计表（以2015年为基期，基期指数为100） 分类 指数 2015年 2016年 2017年 2019年 2020年 2021年 2022年 2018年 示范引领 115.8 119.7 121.1 123.1 124.2 100.0 105.6 109.5 总指数 100.0 105.3 110.5 119.8 122.7 127.9 129.5 115.9 请根据表中所给出的信息解答下列问题： （1）长三角区域示范引领指数稳步增长，2022年为 ，与2015年相比，平均每年大约提高 （精确到0.1）； （2）为进一步了解2016～2022年长三角区域发展总指数随年份变化的大致发展趋势，我们建立以年份为横坐标、总指数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据上面的统计表画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，我们选择两个点、作一条直线来近似地表示2016～2022年长三角区域发展总指数不断增长的变化趋势．请以此估计2030年长三角区域发展总指数． 【答案】（1）124.2，； （2）168.1 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出直线 的函数关系式是解题的关键． （1）根据统计表数据解答即可； （2）利用待定系数法求出直线 的函数关系式，再把代入计算即可． 【小问1详解】 解：由统计表可知，长三角区域示范引领指数稳步增长，2022年为124.2，与2015年相比，平均每年大约提高：， 故答案为：124.2，； 【小问2详解】 设直线 的函数关系式为，根据题意得： ， 解得， 直线 的函数关系式为， 当时，， 答：此估计2030年长三角区域发展总指数为168.1． 24. 如图 ，在中，，，是 的中点，点是 边上一点，连接 ，在线段 的左侧作，射线与边 交于点． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）如图 ，过点 作于点 ，与线段交于点，当点与点重合时，求的值． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（ ）证明即可求证； （ ）过点作交 于点，可得，得到，，进而得，，又由是 的中点得到，可得，利用勾股定理得到，得到，即得，即可得到； （）由是 的中点得，设，则，由勾股定理的，由得，根据，得到，即得，可得，再证明，得到，又证明，得到，可得，在中，利用三角函数得，再代入计算即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作交 于点， ∴， ，， ， ，， ∵是 的中点， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ； 【小问3详解】 解：，是 的中点， ， 设，则，， ∴ ∵， ， ∵点与点重合， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， 在中，于点 ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 在中，， ， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点，，与 轴交于点 ，对称轴直线与 轴交于点，连接 ， ，的面积为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作直线轴交直线于点，于点 ，当时，求 的值； （3）抛物线与关于 轴对称，若点是抛物线上一点，点 在直线上，点在坐标平面内，当四边形是正方形时，请求出点的横坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）点横坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据面积求出，将点 代入函数解析式即可求 的值，从而确定函数解析式即可； （2）由题可知，再分别求出，，则，，根据，建立方程求出 的值即可； （3）由对称性可求，当 点在 轴下方时，过 点作轴，过点 作交于点，过点作交于点，可证明，设，则或，将点代入函数解析式求出 的值即可求点横坐标；当 点在 轴上方时，同理可得或，再求点横坐标即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 、 的中点为， ， 的面积为， ， 解得， ， 将 点代入， ， 解得 ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：点的横坐标为， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ∵轴， ， ∵轴， ， ，， ， ， 解得或， ， 或； 【小问3详解】 解：抛物线与关于 轴对称， ， 当 点在 轴下方时，过 点作轴，过点 作交于点，过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， 设， ，， ， ， 解得（舍）或， 点横坐标为； 同理可得， ， 解得或（舍）， 点横坐标为； 当 点在 轴上方时，同理可得， ， 解得或（舍， 点横坐标为； 同理可得， ， 解得或（舍， 点横坐标为； 综上所述：点横坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市广益实验中学2023-2024学年九年级下学期数学试题（三模） 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的． 请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中最小的是（ ） A. B. C. D. 4. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 正方形 5. 已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位： ）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 蓄电池的电压是 C. 当时， D. 函数的表达式 6. 如图，平移到的位置，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 平移距离为线段的长 7. 语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形 内接于，，连接 ， ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形 的顶点 的坐标为，顶点 的坐标为，将菱形 绕着点 按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在 轴上，则点 的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. ，则 D. 若，则 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 比较大小：______5（填“”“”或“ ”）． 12. 若在实数范围内有意义，则 的取值范围为_________________. 13. 在平面直角坐标系 中，若点，在反比例函数的图象上，则_____ （填“”“”或“ ”）． 14. 某学生数学课堂表现为90分、平时作业为90分、期末考试为85分，若这三项成绩分别按、、的比例计入总评成绩，则该生数学总评成绩是__________分． 15. 如图，在中，，，，动点D从点B出发以的速度沿 向点C匀速运动，过点D作，交边于点E，当点E落在边上的中点处时，点D移动的时间为____________． 16. 雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形（如图所示），连接 ，若是 边上的中点，连接，则的值为 ____________________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求代数式的值，其中． 20. 如图，在中，点 在边 上，， 为线段 上一点，．求证：． 21. 某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元． （1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？ （2）若该景区要购买A，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 22. 如图，四边形 内接于，是的直径，于点 ， 是的切线． （1）求证：平分； （2）如果，的半径为4，求 的长． 23. 2020年起，相关统计部门持续推进长三角区域发展指数研究，设置了示范引领等6项一级指标，并测算了2016年以来的长三角区域发展总指数． 长三角区域发展总指数和示范引领分项指数统计表（以2015年为基期，基期指数为100） 分类 指数 2015年 2016年 2017年 2019年 2020年 2021年 2022年 2018年 示范引领 115.8 119.7 121.1 123.1 124.2 100.0 105.6 109.5 总指数 100.0 105.3 110.5 119.8 122.7 127.9 129.5 115.9 请根据表中所给出的信息解答下列问题： （1）长三角区域示范引领指数稳步增长，2022年为 ，与2015年相比，平均每年大约提高 （精确到0.1）； （2）为进一步了解2016～2022年长三角区域发展总指数随年份变化的大致发展趋势，我们建立以年份为横坐标、总指数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据上面的统计表画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，我们选择两个点、作一条直线来近似地表示2016～2022年长三角区域发展总指数不断增长的变化趋势．请以此估计2030年长三角区域发展总指数． 24. 如图 ，在中， ，， 是 的中点，点 是 边上一点，连接 ，在线段 的左侧作，射线与边 交于点 ． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）如图，过点作于点，与线段交于点，当点 与点 重合时，求的值． 25. 在平面直角坐标系 中，抛物线与 轴交于点，，与轴交于点，对称轴直线与 轴交于点 ，连接 ， ，的面积为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点 为抛物线上的一个动点，点 的横坐标为，过点 作直线轴交直线于点 ，于点，当时，求 的值； （3）抛物线与关于轴对称，若点 是抛物线上一点，点在直线上，点 在坐标平面内，当四边形是正方形时，请求出点 的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $