2023-2024学年人教版八年级数学下期末培优专题复习专题十八 一次函数与几何图形综合分类探究（一）

2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 专题十八 一次函数与几何图形综合分类探究（一） 一次函数与三角形 类型一、一次函数与三角形面积 解题策略 （1） 当所求三角形面积是定值时，①所求三角形一边与坐标轴平行，可直接利用三角形面积公式列方程求解。②所求三角形一边与坐标轴不平行时可进行割补转化列方程求三角形面积。 （2） 当所求三角形面积是与某个三角形面积相等时，①计算出已知三角形面积，再按（1）中方法求解。②所求三角形与已知三角形有一条公共边利用同底等高面积相等过动点作公共底边的平行线。 （3）求面积的最值问题：①过动点作y轴的平行线交定直线得到铅锤高， ②：求定直线的解析式； ③：设动点坐标(一般在一次函数上动，设横坐标，根据解析式纵坐标用横坐标的代数式表示)； ④：用动点坐标的代数式表示铅锤高； ⑤：； ⑥：计算求解。 （4）面积平分问题①如果已知图形面积可求，求出已知图形面积，从而可求出平分后图形面积根据已知面积列方程求解。 例1．在平面直角坐标系中, 直线与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，其中 A（12，0）， 直线与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点，且 OA = 3OC，两条直线交于点E． （1）求直线 AB 与直线 CD 的解析式； （2）连接 AD，求ΔADE 的面积． 变式训练1 1．如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、点F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）． （1）求一次函数的解析式； （2）若点P（x,y）是线段EF（不与点E、F重合）上的一点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在（2）的条件下探究：当点P在什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA=OB=10． （1）求直线AB的解析式； （2）若点P是直线AB上的动点，当S△OBP=S△OAP时，求点P的坐标； （3）将直线AB向下平移10个单位长度得到直线l,点M，N是直线l上的动点（M，N的横坐标分别是xM，xN，且xM＜xN），MN=4，求四边形ABNM的周长的最小值，并说明理由． 3．如图1，已知直线y=kx+1交x轴于点A、交y轴于点B，且OA：OB=4：3． （1）求直线AB的解析式 （2）如图2，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于点C、D，与直线AB交于点P． ①若点E在线段PA上且满足S△CDE=S△CDO，求点E的坐标； ②若点M是位于点B上方的y轴上一点，点Q在直线AB上，点N为第一象限内直线CD上一动点，是否存在点N，使得以点B、M、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、一次函数与等腰三角形 解题策略 平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长为半径作圆，再作线段的垂直平分线。 动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例： （1）分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC； （2）画图； ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 A为顶点的等腰三角形 ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 B 为顶点的等腰三角形 ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰三角形 （3）列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程 注意：如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来。 例2．如图，将边长为4cm正方形ABCD置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（-2，0）、顶点B的坐标为（2，0），CD与y轴交于点E，一次函数的图象交BC于点F，连接EF并延长交x轴于点G． （1）求点F的坐标． （2）连接AE，求证：△AEF是直角三角形． （3）有一动点M以2cm/s的速度从点E出发，沿着E→O→G方向运动，设运动时间为t,当t为何值时，△MOF是等腰三角形． 变式训练2 1．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴正半轴上，且．． （1）求AB； （2）在y轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出的最小值； （3）在x轴上是否存在一点M，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标． 2．如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（0，5），并与直线y=x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2． （1）求B点的坐标和k,b的值； （2）如图2，点Q为线段AC上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作OA和OC的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形OFQE的面积为3？ （3）在y轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+n图象与正比例函数y=2x的图象交于点A（m,4）． （1）求m,n的值； （2）设一次函数y=-x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标； （3）直接写出使函数y=-x+n的值小于函数y=2x的值的自变量x的取值范围． （4）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、一次函数与直角三角形 解题策略 构造直角三角形的一般思路: 构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆. 动点产生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC为直角三角形为例 （1）列出A、B、C的坐标，动点用参数表示； （2）列出线段AB、AC、BC长度的平方； （3）分类列方程： ①，②，③； 例3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，且点A（-1，m），B（n,-2）． （1）求点C的坐标； （2）求原点O到直线AB的距离； （3）在x轴上是否存在一点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式训练 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=kx+b与x轴交于点A（-6，0），与直线l2：y=-2x交于点C（a,4），点E为x轴上一个动点． （1）求直线l1的解析式； （2）若点E的坐标为（3，0），过点E作直线l⊥x轴，分别交直线l1，l2于点F，G．求△CFG的面积； （3）若以点C、A、E为顶点的三角形为直角三角形，求点E的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数y=-x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数y=x+b的图象交于点C（-2，m）． （1）求m和b的值； （2）函数y=x+b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当△ACE的面积为12时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知一次函数y=x-2的图象与y轴交于点A，一次函数y=4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y=x-2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（-2，-4）． （1）关于x、y的方程组的解为_____． （2）求△ABD的面积； （3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、一次函数与等腰直角三角形 解题策略 1. 基本题型 一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题 2. 解题思路 (1) 分类 不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角。 （2）构造K型全等三角形 （3）列方程求解：根据全等三角形对应边相等找到等量关系列方程 例4．如图，在长方形ABCO中，点O为坐标原点，点B的坐标为（8，6），点A，C在坐标轴上，直线y=2x-6与AB交于点D，与y轴交于点E． （1）直接写出点D的坐标为 _____；点E的坐标为 _____． （2）求△CDE的面积． （3）若动点M在BC边上，点N是坐标平面内的点． ①当点N在第一象限，又在直线y=2x-6上时，若△AMN是等腰直角三角形，求点N的坐标； ②若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出整个运动过程中点N纵坐标n的取值范围． 变式训练4 1．一次函数y=kx+（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点． （1）求一次函数解析式和m的值； （2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式； （3）在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)直接写出点，的坐标：（ ， ），（ ， ） (2)点是轴上一点，若的面积为，求点的坐标； (3)如图，过轴正半轴上的动点作直线轴，点在直线上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出的值． 3.探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、． (1)求证：，； (2)迁移应用：如图2，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标； (3)拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线分别与轴、轴交于点、点，以线段为一边作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 专题十八 一次函数与几何图形综合分类探究（一）（解析版） 一次函数与三角形 类型一、一次函数与三角形面积 解题策略 （1） 当所求三角形面积是定值时，①所求三角形一边与坐标轴平行，可直接利用三角形面积公式列方程求解。②所求三角形一边与坐标轴不平行时可进行割补转化列方程求三角形面积。 （2） 当所求三角形面积是与某个三角形面积相等时，①计算出已知三角形面积，再按（1）中方法求解。②所求三角形与已知三角形有一条公共边利用同底等高面积相等过动点作公共底边的平行线。 （3）求面积的最值问题：①过动点作y轴的平行线交定直线得到铅锤高， ②：求定直线的解析式； ③：设动点坐标(一般在一次函数上动，设横坐标，根据解析式纵坐标用横坐标的代数式表示)； ④：用动点坐标的代数式表示铅锤高； ⑤：； ⑥：计算求解。 （4）面积平分问题①如果已知图形面积可求，求出已知图形面积，从而可求出平分后图形面积根据已知面积列方程求解。 例1．在平面直角坐标系中, 直线与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，其中 A（12，0）， 直线与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点，且 OA = 3OC，两条直线交于点E． （1）求直线 AB 与直线 CD 的解析式； （2）连接 AD，求ΔADE 的面积． 【答案】（1）直线AB的解析式为；直线CD解析式为或 （2）216 【解析】（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；根据OA = 3OC，得到OC=4，则点C的坐标为（4，0）或（-4，0），再用待定系数法求解即可； （2）分当直线CD的解析式为和当直线CD的解析式为时，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把点A（12，0）代入到直线AB的解析式中得：， ∴， ∴直线AB的解析式为； ∵直线与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点，且 OA = 3OC， ∴OC=4， ∴点C的坐标为（4，0）或（-4，0）， 同理把点C坐标代入到直线CD解析式可得直线CD解析式为或； 【小问2详解】 解：当直线CD的解析式为， 联立， 解得， ∴点E的坐标为（0，-9）， ∵点D是直线与y轴的交点， ∴点D的坐标为（0，-9）即此时点D与E重合，不能构成△ADE，不符合题意； 当直线CD的解析式为时， 联立， 解得， ∴点E的坐标为（-12，-18）， ∵点D是直线与y轴的交点，点B是直线与y轴的交点， ∴点B的坐标为（0，-9），点D的坐标为（0，9）， ∴BD=18， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的图形面积，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． 变式训练1 1．如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、点F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）． （1）求一次函数的解析式； （2）若点P（x,y）是线段EF（不与点E、F重合）上的一点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在（2）的条件下探究：当点P在什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由． 【解析】（1）将E（-8，0）代入y=kx+6中即可； （2）由A（-6，0），得OA=6，则有，因为点P（x,y）是线段EF（不与点E、F重合）上的一点，则自变量x的取值范围：-8＜x＜0； （3）当△OPA的面积为时，则，解得x的值，代入一次函数解析式即可得出点P的坐标． 解：（1）将E（-8，0）代入y=kx+6中， 得0=-8k+6， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）如图： ∵△OPA是以OA为底边，P点的纵坐标为高的三角形， ∵A（-6，0）， ∴OA=6， ∴， ∵点P（x,y）是线段EF（不与点E、F重合）上的一点， ∴自变量x的取值范围：-8＜x＜0； （3）当△OPA的面积为时， 则， 解得， 把代入一次函数中，得， ∴当P的坐标为时，△OPA的面积为． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA=OB=10． （1）求直线AB的解析式； （2）若点P是直线AB上的动点，当S△OBP=S△OAP时，求点P的坐标； （3）将直线AB向下平移10个单位长度得到直线l,点M，N是直线l上的动点（M，N的横坐标分别是xM，xN，且xM＜xN），MN=4，求四边形ABNM的周长的最小值，并说明理由． 【解析】（1）用两点坐标求一次函数解析式； （2）△OBP的面积，若以OB为底，则点P的纵坐标就是它的高； （3）利用公式a²+b²≥2ab的变形：a+b≥2得知，当a=b时，a和b两数的和最小值为2，所以在梯形ABNM中，两腰AM=BN时AM+BN和最小．从而可知四边形ABNM的周长值最小． 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b, ∵点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA=OB=10． ∴A（0，10），B（10，0）， ∴， 解是k=-1，b=10， ∴直线AB的解析式为y=-x+10； （2）令P的坐标为（m,-m+10） ∵S△OBP=S△OAP， 则•OB•|-m+10|=•OA•|m|， ∵OA=OB=10， ∴|m|=4|m-10|， 解得m=或8， 所以点P坐标是（，-）或（8，2）； （3）解法一∵直线AB向下平移10个单位长度得到直线l, ∴直线l∥AB，距离5，即MN∥AB， 又AB=10，MN=4， ∴四边形ABNM是梯形， ∵点M，N是直线l上的动点（M，N的横坐标分别是xM，xN，且xM＜xN）， ∴当四边形ABNM是的两腰相等时，梯形ABNM的两腰的和最小， 也就是四边形ABNM的周长最小， AM=BN==2， ∴四边形ABNM的周长的最小值： AB+MN+AM+BN =10+4+2+2 =14+4， 解法二： 作点A关于MN对称点A'， 则MA=MA'， 作A′A″'∥MN，A′A″=MN， AM+NB=MA'+MB'≥A'B'， 又AA'=10，A″B'=10-4=6， 所以A″B=4， 所以当A″，N，B三点共线时AM+NB取最小值为4， 四边形ABNM的周长的最小值： AB+MN+AM+BN =10+4+4 =14+4， 3．如图1，已知直线y=kx+1交x轴于点A、交y轴于点B，且OA：OB=4：3． （1）求直线AB的解析式 （2）如图2，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于点C、D，与直线AB交于点P． ①若点E在线段PA上且满足S△CDE=S△CDO，求点E的坐标； ②若点M是位于点B上方的y轴上一点，点Q在直线AB上，点N为第一象限内直线CD上一动点，是否存在点N，使得以点B、M、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）根据解析式和线段比例关系即可求出； （2）①根据三角形面积关系得出线段关系，再结合解析式求出E点坐标即可； ②分情况讨论求出N点坐标即可． 解：（1）∵y=kx+1与y轴交于点B， ∴B（0，1）， 即OB=1， ∵OA：OB=4：3， ∴OA=， 即A（，0）， ∴0=k+1， ∴k=-， ∴直线AB的解析式为y=-x+1； （2）①∵S△CDE=S△CDO，CD为公共边， ∴点O到CD的距离=点E到CD的距离， ∴OE∥CD， ∴OE的解析式为y=x, ∴， 解得， ∴E点坐标为（，）； ②存在， （Ⅰ）当BN为对角线时，NQ∥BM，NQ=BQ， 设N（m,m+2）， 则Q（m,-m+1）， ∴NQ=m+2-（-m+1）=m+1， ∵B（0，1）， ∴BQ==m, ∴m+1=m, 解得m=6， ∴N（6，4）； （Ⅱ）当BN为边时， 则QN为对角线，BM⊥QN且平分， ∴Q（-m,m+2）， ∵点Q在直线AB上， ∴m+2=-×（-m）+1， 解得m=， ∴N（，）， 综上，N点的坐标为（6，4）或（，）． 类型二、一次函数与等腰三角形 解题策略 平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长为半径作圆，再作线段的垂直平分线。 动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例： （1）分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC； （2）画图； ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 A为顶点的等腰三角形 ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 B 为顶点的等腰三角形 ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰三角形 （3）列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程 注意：如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来。 例2．如图，将边长为4cm正方形ABCD置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（-2，0）、顶点B的坐标为（2，0），CD与y轴交于点E，一次函数的图象交BC于点F，连接EF并延长交x轴于点G． （1）求点F的坐标． （2）连接AE，求证：△AEF是直角三角形． （3）有一动点M以2cm/s的速度从点E出发，沿着E→O→G方向运动，设运动时间为t,当t为何值时，△MOF是等腰三角形． 【解析】（1）直接将x=2代入求值即可； （2）先根据正方形的性质得到A、B、C、D、E、F的坐标，再用勾股定理判断即可； （3）根据等腰三角形的性质分情况列方程求解即可． （1）解：B（2，0）是边长为4cm的正方形ABCD的顶点， 当x=2时，， 故点F（2，3）； （2）证明：∵四方形ABCD是正方形， 点A、B、C、D、E、F的坐标分别为：（-2，0）、（2，0）、（2，4）、（-2，4），（0，4）、（2，3）， 则EF2=5，AE2=20，AF2=25，故AF2=EF2+AE2， 故△AEF是直角三角形； （3）解：点F的坐标分别为：（2，3） ①当点M在EO上时，此时0＜t≤2， 点M（0，4-2t），则OM2=（4-2t）2，MF2=4+（3-2t）2，OF2=13， 当OM=MF时，（4-2t）2=4+（3-2t）2， 解得：； 当OM=OF时，同理可得：（不合题意，舍去）； 当MF=OF时，同理可得：t=0，t=4（不合题意，舍去） ②当点M在OG上时，点M（2t-4）， 由点F、E的坐标得，直线EF的表达式为：， 令y=0，则x=8，即点G（8，0），则2＜t≤6；MF2=（2t-6）2+9，OM2=（2t-4）2，OF2=13； 当OM=MF时，（2t-6）2+9=（2t-4）2， 解得：； 当OF=MF时，同理可得：t=4； 当OF=OM时，同理可得： 综上所述：t=0或或4或或或． 变式训练2 1．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴正半轴上，且．． （1）求AB； （2）在y轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出的最小值； （3）在x轴上是否存在一点M，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标． 【答案】（1）5 （2） （3）（8，0）、（-2，0）或（-3，0）． 【解析】（1）根据题意求出a、b的值，运用勾股定理可求AB的值； （2）首先求出点D的坐标，再作点B关于y轴的对称点连接，求解即可； （3）根据AB是腰分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴a=4，b=3 ∴OA=4，OB=3 根据勾股定理可得 ∴ 所以AB长度为5． 【小问2详解】 解：存在点P，使得PB+PD最小值为 如图；过点D作轴，交y轴于点E，作点B关于y轴的对称点连接，过点D作轴于点F， ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴OB=AE=3，OA=DE=4 ∴点D坐标为（4，7） ∵，DF=7 根据勾股定理可得 ∴ ∴PB+PD最小值为． 【小问3详解】 解：当AB=AM时，点M坐标为（-3，0） 当BA=BM时，点M坐标为（8，0）、（-2，0） ∴使以AB为等腰三角形的点M的坐标为（8 ，0）、（-2，0）或（-3，0）． 【点睛】本题是一次函数的综合应用，解题的关键是掌握勾股定理、对称求线段和最小、等腰三角形的判定． 2．如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（0，5），并与直线y=x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2． （1）求B点的坐标和k,b的值； （2）如图2，点Q为线段AC上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作OA和OC的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形OFQE的面积为3？ （3）在y轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为B是直线y=上一点，且B的横坐标为2，代入解析式中，求得B点坐标，再将A，B两点坐标代入到直线y=kx+b中，求得k和b的值； （2）由（1）可得直线y=kx+b的解析式，令y=0，求出x=，即C点坐标可求，因为Q是线段AC上一点，可以设Q（m,-2m+5），0＜m＜，因为QE⊥OA，QF⊥OC，所以用m表示出QE，QF的长度，利用矩形OFQE的面积为3，列出关于m的方程，即可求解m,并且要注意m的取值范围； （3）因为△PAB为等腰三角形，且A，B两点坐标已知，P是y轴上一动点，故要分三类讨论，即PA=PA，AP=AB，BP=BA，画出图形，求解出P点坐标． 解：（1）令x=2，则y=， ∴B的坐标为（2，1）， 将A，B两点坐标代入到直线y=kx+b中得， ， 解得 ∴B的坐标为（2，1），k=-2，b=5； （2）由（1）可得，一次函数解析式为y=-2x+5， 令y=0，则x=， ∴C（）， ∵点Q为线段AC上（不与A、C重合）一动点， ∴设Q（m,-2m+5），0＜m＜， ∵QE⊥OA，QF⊥OC， ∴QE=m,QF=-2m+5， ∵四边形QEOF的面积为3， ∴m（-2m+5）=3， ∴m=或1， ∴Q（）或（1，3）时，四边形OFQE的面积为3； （3）∵△PAB为等腰三角形， ∴可以分三类讨论， ①当BA=BP时，如图1， 过B作BM⊥y轴于M，则M（0，1）， AM=MP=5-1=4， ∴AP=2AM=8， ∴P（0，-3）， ②当AP=AB时，如图2，此时P有两个位置，分别记为P和P′， 由①可得，AM=4，BM=2， ∴=2， 当P在A点下方时，AP=AB=，则P（0，）， 当P在A点上方时，AP=AB=，则P（0，5+）， ③当PA=PB时，如图3，过P作PG⊥AB于G， 则AG=BG， ∴G（1，3）， 延长GP交x轴于N，过G作GD⊥x轴于D， 设N（m,0）， 则ND=1-m,DG=3， 在Rt△NGD中，NG2=DG2+ND2=9+（1-m）2=m2-2m+10， 同理，， ∵NG2+CG2=CN2， ∴， ∴m=-5， ∴N（-5，0）， 设直线NP为y=n（x+5）， 代入点G（1，3）得，6n=3， ∴， ∴直线NP为y=， 令x=0，则y=， ∴P（0，）， ∴P（0，-3）或（0，）或（0，5+）或（0，）． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+n图象与正比例函数y=2x的图象交于点A（m,4）． （1）求m,n的值； （2）设一次函数y=-x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标； （3）直接写出使函数y=-x+n的值小于函数y=2x的值的自变量x的取值范围． （4）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）将点A的坐标代入正比例函数的解析式中即可求出m的值．将点A的坐标代入一次函数的解析式中即可求出n的值． （2）令x=0，可得y=6，令y=0，可得x=6，即可求解； （3）根据图象即可写出x的取值范围； （4）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 解：（1）正比例函数y=2x的图象过点A（m,4）． ∴4=2m, ∴m=2． 又∵一次函数y=-x+n的图象过点A（2，4）． ∴4=-2+n, ∴n=6． （2）一次函数y=-x+n的图象与x轴交于点B， ∴令y=0，则0=-x+6 ∴x=6， ∴点B坐标为（6，0）， 令x=0，则y=6， ∴点C坐标为（0，6）； （3）由图象可知：x＞2； （4）∵点A（2，4）， ∴AB==4， 当AB=BP=4时，则点P（6+4，0）或（6-4，0）； 当AB=AP时，如图，过点A作AE⊥BO于E，则点E（2，0）， ∵AB=AP，AE⊥BO， ∴PE=BE=4， ∴点P（-2，0）； 当PA=PB时， ∴∠PBA=∠PAB=45°， ∴∠APB=90°， ∴点P（2，0）， 综上所述：点P坐标为（6+4，0）或（6-4，0）或（-2，0）或（2，0）． 类型三、一次函数与直角三角形 解题策略 构造直角三角形的一般思路: 构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆. 动点产生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC为直角三角形为例 （1）列出A、B、C的坐标，动点用参数表示； （2）列出线段AB、AC、BC长度的平方； （3）分类列方程： ①，②，③； 例3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，且点A（-1，m），B（n,-2）． （1）求点C的坐标； （2）求原点O到直线AB的距离； （3）在x轴上是否存在一点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）令y=0，求出x的值即可得出点C的坐标； （2）将点A，B的坐标代入直线解析式，可得出m,n的值，即可得出点A，B的坐标；求点O到直线的距离可利用同一个三角形的不同表示方法得出； （3）根据图形可知，∠ACP为锐角，所以需要分两种情况，当∠APC=90°时，∠PAC=90°，分别求解即可． 解：（1）令， 解得：， ∴点C的坐标为； （2）由（1）知OC=； 代入点A（-1，m），B（n,-2）两点可得：， 解得：m=3，n=3， ∴A（-1，3），B（3，-2）， ∴S△AOC=，AC==， 设原点O到直线AB的距离为d, ∴S△AOC=×d=， 解得：； （3）存在，理由如下：设点P的坐标为（x,0）， ∵∠ACP为锐角， ∴△ACP是直角三角形，而分两种情况分析： ①若∠APC=90°，此时点P的坐标为（-1，0）； ②若∠PAC=90°，AC2+AP2=CP2， 故， 解得：， 此时点P的坐标为（-6，0）； 综上所述，存在满足条件的点P的坐标为（-1，0）或． 变式训练 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=kx+b与x轴交于点A（-6，0），与直线l2：y=-2x交于点C（a,4），点E为x轴上一个动点． （1）求直线l1的解析式； （2）若点E的坐标为（3，0），过点E作直线l⊥x轴，分别交直线l1，l2于点F，G．求△CFG的面积； （3）若以点C、A、E为顶点的三角形为直角三角形，求点E的坐标． 【解析】（1）首先求出点C的坐标，再将A（-6，0）．C（-2，4）代入y=kx+b,解方程即可； （2）求出F，G的坐标，从而得出FG的长度，代入三角形面积公式； （3）分∠AEC=90°或∠ACE=90°或∠CAE=90°，分别画图进行计算即可． 解：（1）将C（a,4）代入y=-2x得，-2a=4， ∴a=-2， ∴C（-2，4）， 将A（-6，0）．C（-2，4）代入y=kx+b得， ， 解得， ∴直线l1的解析式y=x+6； （2）如图，当x=3时，y=3+6=9，∴F（3，9）， 当x=3时，y=-2x=-6，∴G（3，-6）， ∴FG=15， ∴S△CFG=×15×5=； （3）当∠AEC=90°时，E'（-2，0）， 当∠ACE=90°时， ∵AE'=CE'=4， ∴∠ACE'=45°， ∴∠E'CE''=45°， ∴E'E''=CE=4， ∴E''（2，0）， 由题意知∠CAE不可能为90°， 综上，E（-2，0）或（2，0）． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数y=-x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数y=x+b的图象交于点C（-2，m）． （1）求m和b的值； （2）函数y=x+b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当△ACE的面积为12时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）根据点C（-2，m）在直线y=-x+2上，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再根据点C在函数y=x+b的图象上，可以得到b的值； （2）①根据（1）中的结果可以求得点A、点B、点C、点D的坐标，然后用含t的代数式表示出AE的长度，然后根据△ACE的面积为12，即可得到t的值； ②先写出使得△ACE为直角三角形时t的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当∠ACE=90°和∠CEA=90°对应的t的值即可解答本题． 解：（1）∵点C（-2，m）在直线y=-x+2上， ∴m=-（-2）+2=2+2=4， ∴点C（-2，4）， ∵函数y=x+b的图象过点C（-2，4）， ∴4=×（-2）+b,得b=， 即m的值是4，b的值是； （2）①∵函数y=-x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴点A（2，0），点B（0，2）， ∵函数y=x+的图象与x轴交于点D， ∴点D的坐标为（-14，0）， ∴AD=16， ∵△ACE的面积为12， ∴=12， 解得，t=5． 即当△ACE的面积为12时，t的值是5； ②当t=4或t=6时，△ACE是直角三角形， 理由：当∠ACE=90°时，AC⊥CE， ∵点A（2，0），点B（0，2），点C（-2，4），点D（-14，0）， ∴OA=OB，AC=4， ∴∠BAO=45°， ∴∠CAE=45°， ∴∠CEA=45°， ∴CA=CE=4， ∴AE=8， ∵AE=16-2t, ∴8=16-2t, 解得，t=4； 当∠CEA=90°时， ∵AC=4，∠CAE=45°， ∴AE=4， ∵AE=16-2t, ∴4=16-2t, 解得，t=6； 由上可得，当t=4或t=6时，△ACE是直角三角形． 3．如图，已知一次函数y=x-2的图象与y轴交于点A，一次函数y=4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y=x-2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（-2，-4）． （1）关于x、y的方程组的解为_____． （2）求△ABD的面积； （3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 【解析】（1）根据题目中点D的坐标，从而可以得到关于x、y的方程组的解； （2）根据点D的坐标可得b=4，计算AB的长，根据三角形面积公式可得结论； （3）根据题意，画出相应的图形，可知有三种情况，然后分别进行讨论计算即可解答本题． 解：（1）∵一次函数y=x-2的图象与一次函数y=4x+b的图象交于点D，且点D的坐标为（-2，-4）， ∴关于x、y的方程组的解是， ∴关于x、y的方程组的解是， 故答案为：； （2）把点D的坐标代入一次函数y=4x+b中得：-8+b=-4， 解得：b=4， ∴B（0，4）， ∵A（0，-2）， ∴AB=4-（-2）=6， ∴S△ABD==6； （3）存在， 如图1，当点E为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于E， ∵D（-2，-4）， ∴E（-2，0）； 当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E； 当点D为直角顶点时，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，作DF⊥x轴于F， 设E（t,0）， 当y=0时，4x+4=0， ∴x=-1， ∴C（-1，0）， ∵F（-2，0）， ∴CE=-1-t,EF=-2-t, ∵D（-2，-4）， ∴DF=4，CF=-1-（-2）=1， 在Rt△DEF中， DE2=EF2+DF2=42+（-2-t）2=t2+4t+20， 在Rt△CDF中， CD2=12+42=17， 在Rt△CDE中，CE2=DE2+CD2， ∴（-1-t）2=t2+4t+20+17， 解得t=-18， ∴E（-18，0）， 综上，点E的坐标为：（-2，0）或（-18，0）． 类型四、一次函数与等腰直角三角形 解题策略 1. 基本题型 一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题 2. 解题思路 (1) 分类 不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角。 （2）构造K型全等三角形 （3）列方程求解：根据全等三角形对应边相等找到等量关系列方程 例4．如图，在长方形ABCO中，点O为坐标原点，点B的坐标为（8，6），点A，C在坐标轴上，直线y=2x-6与AB交于点D，与y轴交于点E． （1）直接写出点D的坐标为 _____；点E的坐标为 _____． （2）求△CDE的面积． （3）若动点M在BC边上，点N是坐标平面内的点． ①当点N在第一象限，又在直线y=2x-6上时，若△AMN是等腰直角三角形，求点N的坐标； ②若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出整个运动过程中点N纵坐标n的取值范围． 【答案】(1)（6，6）;(2)（0，-6）; 【解析】（1）把y=6代入解析式得出点D的坐标，把x=0代入解析式得出点E的坐标即可； （2）把y=0代入解析式得出直线DE与x轴的交点坐标，利用三角形面积公式解答即可； （3）①分三种情况，利用等腰直角三角形的性质解答即可； ②根据等腰直角三角形的性质解答即可． 解：（1）∵在长方形ABCO中，点B的坐标为（8，6），直线y=2x-6与AB交于点D，与y轴交于点E， 把y=6代入y=2x-6中，x=6， 所以点D的坐标为（6，6）， 把x=0代入y=2x-6中，y=-6， 所以点E的坐标为（0，-6）； 故答案为：（6，6），（0，-6）； （2）如图1， 把y=0代入y=2x-6中，可得：x=3， 所以点F的坐标为（3，0）， ∴FC=8-3=5， ∴△CDE的面积=． （3）①（a）若点A为直角顶点时，点N在第一象限，连接AC，如图2，∠AMB＞∠ACB＞45°， ∴△AMN不可能为等腰直角三角形， ∴点N不存在； （b）若点M为直角顶点时，点N在第一象限，如图3，过点N作NH⊥CB，交CB的延长线于点H， ∵△AMN是等腰直角三角形， ∴AM=MN，∠AMN=90°， ∵∠AMH+∠MAB=90°，∠AMH+∠HMN=90°， ∴∠MAB=∠HMN， ∴Rt△ABM≌Rt△MHN（AAS）， ∴AB=MH=8，HN=BM， 设N（x,2x-6），则HN=x-8， ∴2x-6=8+6-（x-8）， ∴x=， ∴N（，）， （c）若点N为直角顶点，点N在第一象限，如图4， 设N'（x,2x-6）， 过点N'作N'G'⊥OA于点G'，交BC于点H'， ∴∠G′N″A+∠H″N″M=90°，∠G′N″A+∠G′AN″=90°， ∴∠G′AN″=∠H″N″M， ∴△AG'N'≌Rt△N'H'M（AAS）， ∴AG'=N'H'=6-（2x-6）， ∴x+6-（2x-6）=8， ∴x=4， ∴N'（4，2）， 设Q“（x,2x-6）， 同理可得x+2x-6-6=8， ∴x=， ∴N“（，）， 综上所述，点N的坐标可以为（，），（4，2），（，）； ②当点M在B点时，如图， AN1=BN1，∠AN1B=90°，∠N1AB=∠N1BA=45°， ∵AB=8，N1T⊥AB， ∴AT=N1T=AB=4， ∴N1的纵坐标为6+4=10， 同理，N2的纵坐标为6-4=2， 当M在C点时，如图， AN3=CN3，∠AN3C=90°，∠N3AC=∠N3CA=45°， 过点N3作N3S⊥AO于点S，延长SN3交CB于点M， 则Rt△N3SA≌Rt△CMN3， 则N3S=CM，SA=MN3， 设点N3纵坐标为6+y,则BM=SA=MN3=y, 那么N3S=8-y=CM=6+y, 解得：y=1， 则点N3纵坐标为6+y=7， 同理可得，N4纵坐标为6-y=-1， 当点N为直角顶点时，t的取值范围为7≤n≤10或-1≤n≤2． 变式训练4 1．一次函数y=kx+（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点． （1）求一次函数解析式和m的值； （2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式； （3）在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）将点A，点B代入一次函数解析式可得； （2）分情况讨论，△ACP的面积△ABC的面积或求解，利用底一样，面积比等于高的比求解； （3）分情况讨论D点位置，利用三角形全等求解． 解：（1）把点A（1，0），B（0，m）代入y=kx+， 得，解得，， ∴一次函数解析式为y=-+，m的值为； （2）过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q， 由（1）得，B（0，），点A（1，0）， ∴OA=1，OB=，AB==2， ∵线段A绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处， ∴AB=AC=2， ∴C（-1，0）， ∴S△ABC===， 若直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分，则有以下两种情况： ①当S△BCP：S△ACP=2：1时，S△ACP=S△ABC=， ∴P1Q1==， ∴点P1的纵坐标为， 将其代入一次函数y=-+得，点P1的坐标为（，）， 设直线CP1的解析式为y=m1x+n1，将点C（-1，0），点P1（，）代入得， ， 解得， ∴直线CP1的解析式y=x+； ②当S△BCP：S△ACP=1：2时，S△ACP=S△ABC=， ∴P2Q2==， 将其代入一次函数y=-+得，点P2的坐标为（，）， 设直线CP2的解析式为y=m2x+n2，将点C（-1，0），点P2（，）代入得， ， 解得 ∴直线CP2的解析式y=x+； 综上所述：直线CP的解析式y=x+或y=x+； （3）存在， ∵△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形， ①当BC=CD1时， ∵∠BCD1=90°， ∴∠M1CD1+∠OCB=∠OCB+∠OBC=90°， ∴∠M1CD1=∠OBC， 在Rt△M1CD1和Rt△OBC中， ， ∴Rt△M1CD1≌Rt△OBC（AAS）， ∴CM1=OB=，D1M1=OC=1， ∴点D1（--1，1）； ②当BC=BD2时，类比①可证Rt△BD2M2≌Rt△CBO（AAS）， ∴BM2=OC=1，D2M2=OB=， ∴点D2（-，）； 综上所述，D点坐标（--1，1）或（-，）． 2.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)直接写出点，的坐标：（ ， ），（ ， ） (2)点是轴上一点，若的面积为，求点的坐标； (3)如图，过轴正半轴上的动点作直线轴，点在直线上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出的值． 【答案】(1)4，0；； (2)或； (3)或或. 【分析】（）把代入求点的坐标，把代入求点的坐标； （）过点作轴，垂足为，由的面积为，求的长度，从而得到点的坐标； （）由条件分，；②，； ，，再通过全等三角形的判定和性质求出边的长度，从而得到的值； 本题考查求一次函数与坐标轴的交点坐标，通过三角形的面积求坐标，全等三角形的性质与判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论． 【详解】（1）把代入，解得， ∴点的坐标为 把代入， 解得， ∴点的坐标为， 故答案为：4，0；； （2）过点作轴，垂足为， ∵的面积为， ∴ ，即，解得， ∵点，， ∴点的坐标为或； （3）当，时，过点作轴，垂足为，交直线于点， ∵轴，直线轴, ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 当，时，过点作轴, 垂足为，过点作轴，垂足为 同理可证 ， ∵， ∵，， ∴， ∴， 当，时，过点C作直线，垂足为，过点作, 垂足为， 同理可证 ， ∴， 设， ∵，， ∵， ∴， ∴，解得： ， ∴， 综上所述，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，或或. 3.探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、． (1)求证：，； (2)迁移应用：如图2，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标； (3)拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线分别与轴、轴交于点、点，以线段为一边作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或或或 【分析】（1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，，进而得出，，即可求出，即可得出结论； （3）分三种情况：以为直角顶点，以为直角顶点，以为直角顶点，运用全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ，， ， ，， （2）解：如图2，过点作轴，垂足为，过点作，交的延长线于， 由已知得，且 由得，， ， ，， ，， ， ， 点的坐标为， （3）解：分三种情况： 当点为直角顶点时，如图3， 过点作轴于点， 由知，， ，， 直线分别与轴、轴交于点、点， 当时，；当时， ， ，， ，， ， 同理可得． 当点为直角顶点时，如图， 过点作轴于点， 由（）知， ，， ， ，， ，， ， 同理可得． 当点为直角顶点时，如图， 过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线，交于点， 由（）知， ，， ， ，， 设，则， ， ， ， 同理可得． 综合以上可得点的坐标为或或或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，构造出全等三角形是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$