精品解析：江西省临川第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

临川二中2023-2024学年度下学期高二年级第三次月考 数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出切点坐标，切点处的导数值，然后写出点斜式即可得到切线方程. 【详解】，切点为， ， 所以切线方程为，即 故选：B 2. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得； 【详解】记服用金花清感颗粒为事件，服用连花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 依题意可得，，，，，， 所以 . 故选：C 3. 在等比数列中，，则的值为（ ） A. 48 B. 72 C. 147 D. 192 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】数列是等比数列，则， ，故． 故选：C． 4. 某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且 ， ，则（ ） A. 0.14 B. 0.22 C. 0.2 D. 0.26 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合题设条件，即可求解. 【详解】因为数学考试成绩服从且， 所以， 又因为， 所以． 故选：B． 5. 已知函数，若有最小值，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，函数有最小值，则导函数在小于0有解，于是转化为斜率问题求解得到答案. 【详解】根据题意，得，若有最小值，即在 上先递减再递增，即在先小于0，再大于0，令，得：， 令，只需斜率大于过的的切线的斜率即可，设切点为，则切线方程为：，将代入切线方程得：，故切点为，切线的斜率为1，只需即可，解得：，故答案为C. 【点睛】本题主要考查函数的最值问题，导函数的几何意义，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度较大. 6. 已知是数列的前项和，若，数列的首项，则（ ） A. B. C. 2023 D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，进而即得. 【详解】令，得. 又因为，所以. 由，得，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故选：A. 7. 已知等差数列的公差大于0且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及等差数列的通项公式，结合分母有理化及数列求和中的裂项相消法即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， ,解得 . 故选：B． 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数比较的大小关系，构造比较的大小关系，先验证，再相除并化简式子，构造函数即可比较的大小关系，则可求得答案. 【详解】令，则， 可得在单调递减， 故，即在上恒成立， 则，即， 令，则，即在上单调递减， 所以，即得， ，， 令， 则， 令，则， ， 故使得，所以当时，，即在上为增函数， 又，所以当时，， 故，即单调递减， 又，所以, 即，所以，则，变形可得， 所以，故，综上：， 故选：A. 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 若方程有三个实数根，则 D. 曲线关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D. 【详解】， 令解得，令解得或， 所以在单调递增，单调递减，单调递增， 因为，极大值，且极小值， 所以在有一个零点，共1个零点，A错误； 由A知，函数有两个极值点，故B正确； 由A知，函数在单调递增，单调递减，单调递增， 且时，，时，， 所以方程有三个实数根，需，即，故C正确； 因为，所以点在函数图象上， 又点关于点的对称点为，而， 即不是函数图象上的点， 故函数不关于点对称，故D错误. 故选：BC. 10. 在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（ ） A. 服从二项分布 B. 服从超几何分布 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得前10项中有6个正数，即可求解从而可判断服从超几何分布，即可判断ABC,由超几何分布的期望计算即可判断D. 【详解】依题意，等差数列公差，则通项为 ， 由得，即等差数列前10项中有6个正数， 的可能取值为的事件表示取出的3个数中有个正数，（）个非正数， 因此，不服从二项分布，服从超几何分布，不正确，B正确； 错误； 由题正确． 故选：． 11. （多选题）数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，是意大利数学家莱昂纳多斐波那契在他写的算盘全数中提出的，所以它常被称作斐波那契数列该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为，其前n项和为，则下列结论正确的有（ ） A. 不一定是偶数 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，先由特殊值进行归纳、猜想，可得答案；对于B，由题意，根据求和定义和数列特点，直接求和；对于C，先求前面几个式子成立，可得规律，解得答案；对于D，由题意，根据裂项相消的原理，可得答案. 【详解】对于A选项，为奇数，， 为偶数，则为奇数，为奇数，为偶数，…， 以此类推，观察分析发现，这个数列的数字是按照奇数、奇数、偶数这三个一组循环排列的，故A不正确； 对于B选项，又， ，故B正确； 对于C 选项，， ， 以此类推，故C正确； 对于D选项， ， 所以，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知、的对应值如下表所示： 0 2 4 6 8 1 11 若与线性相关，且回归直线方程为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出、，根据回归直线方程经过样本中心点，代入计算可得. 【详解】由表可知，， 因为回归直线方程经过样本中心点， 所以，解得． 故答案为：． 13. 甲、乙两名学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤这5个项目中分别随机选择其中1个项目，记事件A:甲和乙选择的项目不同，事件B:甲和乙恰好一人选择①，则_______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据给定条件，求出事件和事件含有的基本事件数，再借助古典概率公式计算即得. 【详解】依题意，事件含有的基本事件数为，事件含有的基本事件数为， 所以. 故答案为： 14. 已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，将不等式化为，令，利用导数即可得出 ，令，利用导数即可求解. 【详解】由可得，即恒成立， 令， 则不等式可化为：， 令，则， 所以，当时，，上单调递减；当时，，在上单调递增. 所以， 故要使恒成立，只需，即，即， 令，所以， 令，则， 所以时，，上单调递增，且当时，， 时，，在上单调递减，且当时，， 所以， 故. 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件，.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 四．解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得，进一步由的关系得是以为首项，为公比的等比数列，由此即可求解； （2）由等差数列求和公式、错位相减法求得表达式，进一步原问题等价于不等式恒成立，由此即可求解. 【小问1详解】 因为，① 当时可得，即. 当时，，② 由①-②得，即， 即是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 两式相减得，， 即，则， 故. 由，得，即， 依题意，不等式恒成立， 因为随着增大而减小， 所以，即的取值范围为. 16. 跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表. 喜欢 不喜欢 合计 男 12 8 20 女 10 10 20 合计 22 18 40 （1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 （2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为.对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）.设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为，求的概率分布及数学期望. 【答案】（1）没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联 （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）由题中所给数据求出，然后利用独立性检验的结论即可求解； （2）由题意可得的所有可能取值分别为1，2，3，4，然后计算出对应的概率，利用期望公式即可求解, 【小问1详解】 假设：人们对跑步的喜欢情况与性别无关. 根据题意，由列联表中的数据， 可得， 因， 所以没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联. 【小问2详解】 的所有可能取值分别为1，2，3，4. ； ； ； ， 所以的概率分布为： 1 2 3 4 所以. 所以的数学期望为. 17. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）若，为整数，且当时，，求的最大值． 【答案】（1）答案见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）由，求出，然后根据变化时，，变化情况，得到的单调区间，从而求得极值； （2）根据条件，参变量分离得，令，利用导数求最值，即可得到的最大值． 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，则，在上单调递增； 当时，由，得． 当变化时，，变化如下表： 0 单调递减 极小值 单调递增 综上，当时，无极值； 当时，有极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ，， 故当时，等价于， 令，则． 由（1）知，函数在上单调递增，而， 在存在唯一的零点，故在存在唯一的零点， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 在上的最小值为， 由，可得， ， 故整数的最大值为2． 18. 已知函数，. （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，且，求证：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后分和讨论，当时又分为和讨论即可； （2）求导后得到单调性找到零点，设，构造函数，求导分析单调性和零点，并设从而得到，再由单调性可证明结论. 【小问1详解】 . ①当时，令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 在上单调递减，在上单调递增. ②当时，令，解得或， 当即时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 当即时，在上单调递增， 当即时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ， 恒成立， 在上单调递增，且， 设 ，， 设，， ， 令，解得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ， ， ， 不妨设，则， ， ， ， 在上单调递增， ，即. 【点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，可根据所求不等式构造函数，求导分析单调性和零点，在实际问题中往往需要两次构造，分析. 19. 已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． （1）若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质； （2）设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值； ②求的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）①；②的最小值为4. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式及前项和，再利用定义判断即得. （2）①根据给定条件，可得，再按，探讨，当时，，又按且讨论得解；②由定义，消去结合基本不等式得，再迭代得，借助正项数列建立不等式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，得， 解得，则， 于是，即， 所以数列具有性质． 【小问2详解】 ①由数列具有性质，得，又等比数列的公比为， 若，则，解得，与为任意正整数相矛盾； 当时，，而，整理得， 若，则，解得，与为任意正整数相矛盾； 若，则，当时，恒成立，满足题意； 当且时，，解得，与为任意正整数相矛盾； 所以 ②由，得，即， 因此，即， 则有， 由数列各项均为正数，得，从而，即， 若，则，与为任意正整数相矛盾， 因此当时，恒成立，符合题意， 所以的最小值为4． 【点睛】易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临川二中2023-2024学年度下学期高二年级第三次月考 数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，则的值为（ ） A. 48 B. 72 C. 147 D. 192 4. 某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且 ， ，则（ ） A. 0.14 B. 0.22 C. 0.2 D. 0.26 5. 已知函数，若有最小值，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 6. 已知是数列的前项和，若，数列的首项，则（ ） A. B. C. 2023 D. 7. 已知等差数列公差大于0且，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 若方程有三个实数根，则 D. 曲线关于点对称 10. 在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（ ） A. 服从二项分布 B. 服从超几何分布 C. D. 11. （多选题）数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，是意大利数学家莱昂纳多斐波那契在他写的算盘全数中提出的，所以它常被称作斐波那契数列该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为，其前n项和为，则下列结论正确的有（ ） A. 不一定是偶数 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知、的对应值如下表所示： 0 2 4 6 8 1 11 若与线性相关，且回归直线方程为，则_______． 13. 甲、乙两名学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤这5个项目中分别随机选择其中1个项目，记事件A:甲和乙选择的项目不同，事件B:甲和乙恰好一人选择①，则_______． 14. 已知不等式恒成立，则实数a取值范围是________. 四．解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列前项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围. 16. 跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表. 喜欢 不喜欢 合计 男 12 8 20 女 10 10 20 合计 22 18 40 （1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 （2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为.对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）.设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为，求的概率分布及数学期望. 17. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）若，为整数，且当时，，求的最大值． 18 已知函数，. （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，且，求证：. 19. 已知数列前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． （1）若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质； （2）设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值； ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$