2024年九年级中考数学复习训练　四边形中的动点问题（三）

四边形中的动点问题（三） 1．（2024•鹰潭一模）在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝2∠A，点E，F分别是AD，AB的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为 　 　． 2．（2024春•重庆期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E、F分别在线段AB、BC上，且BE＝CF，则EF的最小值为 　 　． 3．（2024春•武威期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），点E是BC的中点，点P为线段AD上的动点，若△BEP是等腰三角形，则点P的坐标为　 　． 4．（2024春•柯桥区期中）如图，长方形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E、F分别为线段AD、BC上动点，且AE＝CF，点G是线段BC上一点，且满足BG＝2，四边形AEFB关于直线EF对称后得到四边形A′EFB′，连接GB′，当AE＝　 　时，点B′与点D重合，在运动过程中，线段GB′长度的最大值是 　 　． 5．（2024春•成都期中）如图，在△ABC中，AC＝4，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠CAB交BC于点D，则AD的长为 　 　，若P为直线AB上一动点，以DP、BD为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，则CQ的最小值为 　 　． 6．（2024•双流区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，动点E从点C开始沿边CB向点B以每秒a个单位长度的速度运动，运动到B时停止运动，动点F从点D开始沿边DC向点C以每秒个单位长度的速度运动，运动到C时停止运动，连接EF．点E，F分别从点C，D同时出发，在整个运动过程中，线段EF的中点所经过的路径长为 　 　． 7．（2024春•江阴市期中）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 　 　． 8．（2024•温江区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，，E，F分别是边AD，BD上的两个动点，满足AE＝DF，AF与BE交于点P．∠APE的度数为 　 　；当∠PCB最大时，线段CP的长是 　 　． 9．（2024•全州县校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E为AD边上的一个动点，连接BE，F为BE上的一个动点，连接AF，CF，当∠ABE＝∠BCF时，线段AF的最小值是 　 　． 10．（2024春•京口区期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为 　 　． 11．（2024春•江阴市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为2，P为对角线BD上动点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F；连接EF，则EF的最小值为 　 　． 12．（2024•浑南区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝，AB＝1，以AC为边作矩形ACDE（点A，C，D，E按逆时针方向排列），CD＝2，BC和ED的延长线相交于点F，点P从点B出发沿BF向点F运动，到达点F时停止．点Q在线段CD上运动，且始终满足PC＝DQ，连接EP，PQ，QE．当△EPQ 的面积为时，CP的长是 　 　． 13．（2024•锦江区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E和F分别为AD、AB上的动点，且AE＝BF，以EF为底边在右侧构造等腰△EFG且满足，连接CG，则CG的最小值为 　 　． 14．（2023秋•泰兴市期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝9，AC＝12，D是CB延长线上一点，BD＝3，F是边AB上一动点（不与点B重合），以BF、BD为邻边作▱BDEF，连接CE，G是线段CE上一点且，那么GF的取值范围是 　 　． 15．（2023秋•惠山区期末）如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点． （1）若AE＝1，则EF的长＝　 　； （2）在整个运动过程中，OP长的最小值为 　 　． 16．（2023秋•伊金霍洛旗期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 　 　． 17．（2023秋•汉中期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为 　 　． 18．（2023秋•西岗区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，，以AC为边作矩形ACDE（点A，C，D，E按逆时针方向排列），CD＝，BC和ED的延长线相交于点F，点P从点B出发沿BF向点F运动，到达点F时停止．点Q在线段CD上运动，且始终满足PC＝2DQ，连接EP，PQ，QE．当△EPQ的面积为时，CP的长是 　 　． 19．（2024•市中区校级二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为 　 　． 20．（2023•封丘县一模）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 　 　． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四边形中的动点问题（三） 1．（2024•鹰潭一模）在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝2∠A，点E，F分别是AD，AB的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为 　3或或．　． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AB＝4， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4， ∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠B＝2∠A， ∴∠A+2∠A＝180°， ∴∠A＝60°． ∵E，F分别是AD，AB的中点， ∴AE＝，AF＝， ∴AE＝AF＝2． 连接EF，△AEF是等边三角形； ①当点P在AB边上时；如图， 当点P是AF的中点时，△PEF为直角三角形， 此时AP＝AF＝1， ∴BP＝AB﹣AP＝4﹣1＝3； ②当点P在AD边上时；如图， 连接PF， 当点P是AE的中点时，△PEF为直角三角形， 此时， 连接BD，BE，BP， ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BE⊥AD， 由勾股定理得， 由勾股定理得：； ③当点P在CD边上时，连接BD，AC，PE，PF，PB，如图， 当点P是CD的中点时，此时， ∵AC⊥BD，PE为△ACD的中位线，EF为△ABD的中位线， ∴PE∥AC，EF∥BD， ∴PE⊥EF， ∴△PEF为直角三角形， ∵CD＝BC，∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BP⊥CD， 由勾股定理得； 综上，PB的长为3或或． 故答案为：3或或． 2．（2024春•重庆期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E、F分别在线段AB、BC上，且BE＝CF，则EF的最小值为 　2　． 【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DG⊥AB于G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，AD∥BC， ∵∠C＝∠A＝60°， ∴△ABD、△BCD都是等边三角形， ∴CD＝BD，∠ABD＝∠CDB＝60°， ∴∠DBA＝∠CDB＝60°＝∠C， 又∵BE＝CF， ∴△BDE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF， ∴∠BDE+∠BDF＝∠CDF+∠BDF，即∠EDF＝∠CDB＝60°， ∴△EDF是等边三角形， ∴EF＝DE， ∴当DE最小时，EF最小， ∴当E与G重合时，此时DE最小，即EF最小，最小值为DG， ∵DG⊥AB， ∴AG＝AD＝2， ∴DG＝AG＝2， ∴EF的最小值为2， 故答案为：2． 3．（2024春•武威期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），点E是BC的中点，点P为线段AD上的动点，若△BEP是等腰三角形，则点P的坐标为　（0，2）或（3，2）或（，2）或（，2）　． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0）， ∴D（5，2）， ∵E是BC的中点， ∴E（1.5，0），BE＝2.5， 设P（m，2），则0≤m≤5， ∴BP＝， PE＝， ∵△BEP是等腰三角形， ∴①当BE＝BP时，有2.5＝， 解得，m＝﹣＜0（舍去），或m＝， 此时P（，2）； ②当PB＝PE时，有＝， 解得，m＝， 此时P（，2）； ③当EP＝EB时，有2.5＝， 解得，m＝0或3， 此时P（0，2）或（3，2）， 综上，P（0，2）或（3，2）或（，2）或（，2）． 故答案为：（0，2）或（3，2）或（，2）或（，2）． 4．（2024春•柯桥区期中）如图，长方形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E、F分别为线段AD、BC上动点，且AE＝CF，点G是线段BC上一点，且满足BG＝2，四边形AEFB关于直线EF对称后得到四边形A′EFB′，连接GB′，当AE＝　3　时，点B′与点D重合，在运动过程中，线段GB′长度的最大值是 　2+2　． 【解答】解：当B与点D 合时， 如图： 由于对称：BF＝B′F＝DF FC＝AE， 设AE＝x，则CF＝x，DF＝BF＝8﹣x， 在Rt△CDF中， 由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x ）2； ∴x＝3， 则AE＝3； 如图：取EF中点O， ∵AE＝CF， 由题意知，无论EF如何变动，EF经过点O， 连接 B′O、OG、OB， 在△B′OG中 B′G＜OB′+OG， ∵四边形AEFB关于EF对称得到四边形A′EFB′， ∴OB＝OB′，故只有当 B′、O、G 三点共线时、GB′长度最大， 此时GB'＝B′O+OG＝OB+OG， 过点O作OH⊥BC，AD＝2AB＝8，CD＝AB＝4， ∴在Rt△OBH 中，OH＝CD＝2，BH＝BC＝4， ∴OB＝＝2， ∵在Rt△OGH中OH＝2，GH＝BH﹣BG＝2， ∴OG＝＝2， ∴GB'＝2+2， 故答案为：3；2+2． 5．（2024春•成都期中）如图，在△ABC中，AC＝4，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠CAB交BC于点D，则AD的长为 　6　，若P为直线AB上一动点，以DP、BD为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，则CQ的最小值为 　3+3　． 【解答】解：如图1，过C作CO⊥AB于O，过D作DH⊥AB于H， 在Rt△ACO中，∠CAB＝60°， ∴∠ACO＝30°， ∴AO＝AC＝2， ∴CO＝＝2， 在Rt△BCO中，∠CBA＝45°， ∴BO＝CO＝2， ∴AB＝AO+BO＝2+2， ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAB＝∠CAB＝30°， 在Rt△DHB中，∠CBA＝45°， ∴可设DH＝HB＝a， ∴AD＝2DH＝2a， ∴AH＝＝a， ∴AB＝AH+BH＝a+a． ∴a+a＝3+3， ∴a＝3， ∴DH＝3，AD＝6． 如图2，过Q作QG⊥AB于G，连接DQ交AB于M， ∵四边形DPQB为平行四边形， ∴DM＝QM， 在△QGM与△DHM中， ， ∴△QGM≌△DHM（AAS）， ∴QG＝DH＝3， 故Q到直线AB的距离始终为3， 所以Q点在平行于AB的直线上运动，且两直线距离为3， 根据垂线段最短， 当C，O，Q三点在一条直线上时，此时CQ最小，如图3， 最小值为：CO+3＝3+3， 故答案为：6；3+3． 6．（2024•双流区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，动点E从点C开始沿边CB向点B以每秒a个单位长度的速度运动，运动到B时停止运动，动点F从点D开始沿边DC向点C以每秒个单位长度的速度运动，运动到C时停止运动，连接EF．点E，F分别从点C，D同时出发，在整个运动过程中，线段EF的中点所经过的路径长为 　　． 【解答】解：如图，以点C建立平面直角坐标系， 则A（﹣12，9）、B（﹣12，0）、C（0，0）、D（0，9）， ∵点F运动开始到结束共用时间为，点E运动开始到结束共用时间为， ∴点E运动结束之后点F继续运动， 当点E、F共同运动阶段时，经过t s，则，EC＝at， ∴，E（﹣at，0）， ∴EF的中点M的坐标为， ∴点M横坐标与纵坐标满足关系：，即点M在此阶段始终在直线上， 当点E、F未开始时，t＝0s，则， 当点E运动到点B时，，E（﹣12，0），， ∴， ∴从t＝0s到，M点的运动距离为M1M2， 过点M2作M2R⊥y轴，则M2R＝6，， ∴， 当点E运动结束，点F继续运动时，E（﹣12，0），， ∴， ∴此阶段点M始终在直线x＝﹣6上， 当点F运动结束时，M3（﹣6，0）， ∴此阶段EF中点运动距离为， 8综上所述，线段EF的中点所经过的路径长为， 故答案为：． 7．（2024春•江阴市期中）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 　①②④　． 【解答】 解：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形，故②正确； ∴DE＝DG，∠EDG＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∵AD＝CD， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故①正确； ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝90°是定值，故③错误； ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝3是定值．故④正确； 故答案为：①②④． 8．（2024•温江区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，，E，F分别是边AD，BD上的两个动点，满足AE＝DF，AF与BE交于点P．∠APE的度数为 　60°　；当∠PCB最大时，线段CP的长是 　2　． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵∠BAD＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴AD＝DB＝AB，∠ADF＝∠BAE＝60°， 在△ADF和△BAE中， ， ∴△ADF≌△BAE（SAS）， ∴∠DAF＝∠ABE， ∴∠APE＝∠PAB+∠ABE＝∠PAB+∠DAF＝∠DAB＝60°， ∴∠APB＝180°﹣60′＝120°， ∴点P的运动轨迹是， 设圆心为O，连接OA，OB，OD． ∵DA＝DB，OA＝OB， ∴OD垂直平分线段AB， ∴AT＝TB＝，DT＝AT＝3，OT＝AT＝1，OA＝OB＝OP＝2OT＝2， ∴OD＝DT+OT＝4， ∴OC＝＝＝2， 当CP与⊙O相切时，∠BCP的值最大，此时PC＝＝＝2． 故答案为：60°，2． 9．（2024•全州县校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E为AD边上的一个动点，连接BE，F为BE上的一个动点，连接AF，CF，当∠ABE＝∠BCF时，线段AF的最小值是 　4　． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， 又∵∠ABE＝∠BCF， ∴∠DAB＝∠CFB＝90°， ∴点F在以BC为直径的圆上运动， 如图，取BC的中点H，连接FH，AH， ∵BC＝12，点H是BC的中点， ∴BH＝CH＝6＝FH， ∴AH＝＝＝10， 在△AFH中，AF＞AH﹣FH， ∴当点F在AH上时，AF有最小值为：AH﹣FH＝4， 故答案为：4． 10．（2024春•京口区期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为 　（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）或（2.5，﹣4）　． 【解答】解：∵A（10，0），C（0，4）， ∴OC＝AB＝4，BC＝OA＝10， ∵点D是OA的中点， ∴OD＝5， ①如图1所示，以OP为对角线，点P在点D的左侧时，PD＝OD＝5， 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝OC＝4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得：， ∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2， ∴点P的坐标为（2，4）， 此时，点Q的坐标为（﹣3，4）； ②如图2所示，以OQ为对角线，点P在点D的左侧时，OP＝OD＝5． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4． 在Rt△POE中，由勾股定理得：， ∴点P的坐标为（3，4）， 此时，点Q的坐标为（8，4）； ③如图3所示，以OP为对角线，点P在点D的右侧时，PD＝OD＝5， 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得：， ∴OE＝OD+DE＝5+3＝8， ∴点P的坐标为（8，4）， 此时，点Q的坐标为（3，4）； ④当以OD为对角线时，PO＝PD， ∴P（2.5，4）， ∵P和Q关于x轴对称， ∴Q（2.5，﹣4）； 综上所述，点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）或（2.5，﹣4）； 故答案为：（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）或（2.5，﹣4）． 11．（2024春•江阴市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为2，P为对角线BD上动点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F；连接EF，则EF的最小值为 　2　． 【解答】解：连接PC，如图所示： ∵四边形ABCD为正方形，且边长为， ∴BC＝2，∠BCD＝∠ABC＝90°，∠BCD＝45°， ∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴四边形PECF是矩形， ∴EF＝PC， 要求EF的最小值，只需求出PC的最小值即可， ∵点P在BD上， 根据“垂线段最短”可知：当PC⊥BD时，PC为最短， 当PC⊥BD时，由于∠BCD＝45°， ∴△PBC为等腰直角三角形，即：PB＝PC， 在Rt△PBC中，PB＝PC，BC＝2， 由勾股定理得：PB2+PC2＝BC2， ∴2PC2＝（2）2， ∴PC＝2（舍去负值）， 即PC的最小值为2， ∴EF的最小值为2． 故答案为：2． 12．（2024•浑南区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝，AB＝1，以AC为边作矩形ACDE（点A，C，D，E按逆时针方向排列），CD＝2，BC和ED的延长线相交于点F，点P从点B出发沿BF向点F运动，到达点F时停止．点Q在线段CD上运动，且始终满足PC＝DQ，连接EP，PQ，QE．当△EPQ 的面积为时，CP的长是 　1或　． 【解答】解：∵PC＝DQ， ∴设DQ＝x，CP＝x， ∵点P从点B出发沿BF向点F运动，到达点F时停止， ∴有以下两种情况： ①当点P在线段BC上运动时，过点P作PH⊥EF于H，过点Q作QT⊥CF于T，如图1， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝＝，AB＝1， ∴BC＝2， ∴AC＝， ∵四边形ACDE为矩形， ∴AC＝DE＝，AE＝CD＝2，∠ACD＝∠CDE＝90°， ∵AC∥EF， ∴∠ACB＝∠F， ∴tanF＝＝tan∠ACB＝， ∴DF＝2CD＝4， ∴CF＝＝10， ∴PF＝CP+CF＝x+10， 在Rt△PHF中，sinF＝＝＝＝， ∴PH＝x+2， ∵DQ＝x，CD＝2， ∴CQ＝2﹣x， 在Rt△CQT中，sin∠DCF＝＝＝＝， ∴QT＝CQ•sin∠DCF＝（2﹣x）×， ∵DE＝，DF＝4， ∴EF＝DE+DF＝5， ∵S△EPQ＝S△EPF﹣S△CDF﹣S△EDQ﹣S△PCQ＝EF•PH﹣CD•DF﹣DE•DQ﹣CP•QT＝， ∴×5×（x+2）﹣×2×4﹣×x﹣×x（2﹣x）×＝， 解得：x＝或x＝﹣（负值舍去）， ∴CP＝x＝×＝1． ②当点P在线段CF上运动时，连接EC，过点Q作QN⊥EC于N，QM⊥CF于M，过点P作PK⊥DF于K，如图2所示： 同理，设DQ＝x，则PC＝x，△CDF为直角三角形， 依题意得：CD＝AE＝2，DE＝AC＝， ∵tan∠ECD＝＝＝，tanF＝， ∴∠ECD＝∠F， ∵∠F+∠FCD＝90°， ∴∠ECD+∠FCD＝90°， 即∠ECF＝90°， 在Rt△CDE中，CE＝＝＝5， ∵CQ＝CD﹣DQ＝2﹣x， ∴QM＝CQ•sin∠DCF＝（2﹣x）×，QN＝CQ•cos∠DCF＝（2﹣x）×， ∵S△EPQ＝S△EPC﹣S△CEQ﹣S△CPQ＝CE•CP﹣CE•QN﹣PC•QM＝， ∴×5×x﹣×5×（2﹣x）×﹣×x（2﹣x）×＝， 解得：x＝或x＝（舍去）， ∴CP＝x＝×＝， 综上所述：CP的长为1或． 故答案为：1或． 13．（2024•锦江区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E和F分别为AD、AB上的动点，且AE＝BF，以EF为底边在右侧构造等腰△EFG且满足，连接CG，则CG的最小值为 　　． 【解答】解：如图，过点G作GH⊥EF于H，过点H作PQ∥AB与过点G作GQ⊥PQ交于点Q， ∵EG＝FG，GH⊥EF， ∴H为EF的中点， 设PE＝x，则AE＝BF＝2x， ∴AF＝4﹣2x， ∴PH＝2﹣x， ∵， ∴， ∴， ∵∠PHE+∠PEH＝∠PHE+∠GHQ＝90°， ∴∠PEH＝∠GHQ， 又∵∠HPE＝∠HQG， ∴△HEP∽△GHQ， ∴HQ＝2x，GQ＝4﹣2x， 过点G作GT⊥BC于T， 则BT＝x+4﹣2x＝4﹣x， ∴CT＝x，GT＝4﹣（2﹣x+2x）＝2﹣x， ∴CG＝， 当x＝1时，CG有最小值为， 故答案为：． 14．（2023秋•泰兴市期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝9，AC＝12，D是CB延长线上一点，BD＝3，F是边AB上一动点（不与点B重合），以BF、BD为邻边作▱BDEF，连接CE，G是线段CE上一点且，那么GF的取值范围是 　　． 【解答】解：， 如图1，在CD上截取CN＝3，连接NG并延长交AC于M，作NP垂直AB于点P， ∵， ∴， ∵CN＝3，CD＝CB+BD＝9+3＝12， ∴， ∴， ∵∠GCN＝∠ECD， ∴△CGN∽△CED， ∴∠CNG＝∠CDE， ∴GN∥DE， ∵▱BDEF，DE∥BF， ∴GN∥AB． ∴当F在边AB上移动时，点G在过点N与AB平行的直线上移动． Rt△ABC中，AB＝＝＝15， ∵∠ABC＝∠NBP，∠ACB＝∠NPB， ∴△ABC∽△NBP． ∴， ∴， ∴NP＝． 如图2，当GF⊥AB时GF最小，GF＝NP＝． 如图3，作CT⊥DE于T，交AB于I，作GQ⊥AB于Q， 当点F和点A重合时GF最大． DE＝AB＝15， ∵GN∥AB∥DE，CN＝3，NB＝6，BD＝3， ∴CG：CH＝CN：CB＝1：3， ∴， ∴， ∴BH＝， ∵cos∠ABC＝， ∴， ∴， ∴＝， ∴GQ∥CI， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵FG2＝GQ2+AQ2， ∴FG2＝（）2+（）2＝， ∴． ∴． 故答案为：． 15．（2023秋•惠山区期末）如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点． （1）若AE＝1，则EF的长＝　　； （2）在整个运动过程中，OP长的最小值为 　　． 【解答】解：（1）∵ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝4，∠DAB＝∠ABF＝90°， 又∵AE＝BF， ∴△DAE≌△ABF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF，AE＝BF， ∵AE＝1， ∴BF＝1，BE＝3， ∴EF＝＝； 故答案为：； （2）∵∠ADE＝∠BAF， ∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝90°， ∴∠EOF＝∠AOD＝90°， 又∵点P为EF的中点， ∴OP＝EF， 设AE＝BF＝x，则BE＝4﹣x， ∴EF＝＝＝， ∴当x＝2时，EF最小为2，即OP最小为； 故答案为：． 16．（2023秋•伊金霍洛旗期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 　2或7　． 【解答】解：∵△DCE是直角三角形， ∴△PBC为直角三角形， ∴点P只能在AB上或者CD上， 当点P在AB上时，有BP＝CE， ∴BP＝CE＝1， ∴AP＝2， ∴t＝2÷1＝2， 当点P在CD上时，有CP＝CE＝1， ∴t＝（3+3+1）÷1＝7， 故答案为：2或7． 17．（2023秋•汉中期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为 　　． 【解答】解：如图，连接AC、AE、CF、CG， 在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝CD，DE＝DG＝EF，∠ADC＝∠EDG＝90°， ∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG， ∴AE＝CG， ∴d1+d2+d3＝DE+CF+CG＝EF+CF+AE， ∴当点A、E、F、C在同一直线上时（此时点F与点C重合），DE+CF+AE最小，最小值为线段AC长， 在Rt△ABC中，AC＝， ∴d1+d2+d3的最小值为． 18．（2023秋•西岗区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，，以AC为边作矩形ACDE（点A，C，D，E按逆时针方向排列），CD＝，BC和ED的延长线相交于点F，点P从点B出发沿BF向点F运动，到达点F时停止．点Q在线段CD上运动，且始终满足PC＝2DQ，连接EP，PQ，QE．当△EPQ的面积为时，CP的长是 　1或　． 【解答】解：∵PC＝2DQ， ∴设DQ＝x，CP＝2x， ∵点P从点B出发沿BF向点F运动，到达点F时停止， ∴有以下两种情况： ①当点P在线段BC上运动时：过点P作PH⊥EF于H，过点Q作QT⊥CF于T，如图1所示： ∵四边形ACDE为矩形， ∴AC＝DE＝，AE＝CD＝，∠ACD＝∠CDE＝90°， ∴∠DCF＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝60°，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝90°， ∴∠DCF＝60°，∠F＝30°， ∴DF＝3，CF＝2CD＝2， ∴PF＝CP+CF＝2x+2， 在Rt△PHF中，sinF＝＝， ∴PH＝x+， ∵DQ＝x，CD＝， ∴CQ＝﹣x， 在Rt△CQT中，sin∠DCF＝＝＝， ∴QT＝CQ•sin∠DCF＝（﹣x）×， ∵DE＝，DF＝3， ∴EF＝DE+DF＝4， ∴S△PEF＝EF•PH＝×4（x+）＝2（x+）， ∴S△CDF＝CD•DF＝××3＝3，S△EDQ＝DE•DQ＝×x＝x，S△PCQ＝CP•QT＝×2x×（﹣x）＝x（﹣x）， ∵S△PEF＝S△EPQ+S△CDF+S△EDQ+S△PCQ，S△EPQ＝， ∴2（x+）＝+3+x+x（﹣x）， 解得：x＝（负值舍去）， ∴CP＝2x＝1． ②当点P在线段CF上运动时， 连接EC，过点Q作QN⊥EC于N，QM⊥CF于M，过点P作PK⊥DF于K，如图2所示： 同理，设DQ＝x，则CP＝2x，△CDF为直角三角形， 依题意得：CD＝AE＝，DE＝AC＝， ∴CQ＝﹣x，EF＝DE+DF＝3， 在直角△ECD中，由勾股定理得：EC＝2， 在直角△CDF中，CF＝2CD＝2， ∵QN⊥EC，QM⊥CF， ∴四边形CMQN为矩形， ∵CQ＝﹣x， ∴QN＝CQ＝，QM＝（﹣x）， 又∵PK⊥DF，PF＝CF﹣PC＝2﹣2x＝2（﹣x）， ∴PK＝PF＝﹣x，FK＝PF＝（﹣x）， ∴S△ECQ＝EC•QN＝×＝， S△PCQ＝PC•QM＝2x×（﹣x）＝x（﹣x）， S△PEF＝EF•PK＝×4（﹣x）＝2（﹣x）， S△ECF＝EF•CD＝×4×＝4， ∵S△ECQ+S△PCQ+S△PEF+S△EPQ＝S△ECF，S△EPQ＝， ∴+x（﹣x）+2（﹣x）+＝4， 解得：x＝（舍去负值）， ∴CP＝， 综上所述：CP的长为1或． 故答案为：1或． 19．（2024•市中区校级二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为 　①②③　． 【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AC＝＝4． ∴DE＝AC＝2． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为2， ∴④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故答案为：①②③． 20．（2023•封丘县一模）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 　　． 【解答】解：连接AF， ∵G，H分别为AE，EF的中点， ∴GH∥AF，且， 要使GH最小，只要AF最小， 当AF⊥BC时，AF最小， ∵GH的最小值为3， ∴AF＝6， ∵∠B＝45°， ∴∠BAF＝45°， ∴BF＝AF＝6， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴． 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/11 23:41:36；用户 学科网（北京）股份有限公司 $$