2024年九年级中考数学复习训练　四边形中的动点问题（二）

四边形中的动点问题（二） 1．（2023•焦作一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点B的坐标为（4，3），D为OC的中点，E是AB上一动点，将四边形OAED沿ED折叠，使点A落在F处，点O落在G处，当线段DG的延长线恰好经过BC的中点H时，点F的坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 2．（2022•海伦市校级模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连接BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连接BF与EF，BF交对角线AC于点G．过点C作CH∥QF交BE于点H，连接AH．以下四个结论：①BQ＝QF；②△DEF的周长为8；③S△BQG＝S△BEF；④线段AH的最小值为2﹣2．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2022秋•北镇市期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB＝OA；③∠MPN＝60°； ④PM+PN＝BD．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2022秋•二七区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，点E从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿CD以1cm/s的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，则点E运动时间为（　　） A． B． C．6 D．6+或6﹣ 5．（2023春•北仑区校级期中）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，有AE＝AB＝BC且BC＝a，点P是BE上一动点，则点P到边AB，AC的距离之和PM+PN的值（　　） A．有最大值a B．有最小值a C．是定值a D．是定值a 6．（2022•峄城区校级模拟）如图，点E在正方形ABCD的边AD上（包括点A和点D）的一个动点，连结BE和CE设y＝tan∠BEC，则y的取值范围是（　　） A．y＝1 B．y≥1 C．1 D．1 7．（2022春•永善县期中）如图，在正方形ABCD中，P是边AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N，下列结论： ①△APE≌△AME； ②PM+PN＝AC； ③PE2+PF2＝PO2； ④当P是AB的中点时，． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2022秋•阳新县校级月考）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论： ①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2022秋•福田区校级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E是BC边上一点，且AE＝EC，点P是边AD上一动点，连接PE，PC，则下列结论：①BE＝3；②当AP＝5时，PE平分∠AEC；③连接BP，△PBC周长的最小值为8+8；④当AP＝5或6或时，△APE为等腰三角形．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2022春•中山市期末）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（　　） A．有最大值a B．有最小值a C．是定值a D．是定值a 11．（2022春•惠山区校级期末）如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论： ①若延长DE，则DE⊥BF； ②若连接AM，则AM∥FB； ③连接FE，当F、E、M三点共线时，AE＝4﹣4；④连接EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，则AE＝4﹣4；其中正确有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．（2022春•隆安县期末）如图，正方形ABCD中，CE平分∠ACB，点F在边AD上，且AF＝BE，连接BF交CE于点G，交AC于点M，点P是线段CE上的动点，点N是线段CM上的动点，连接PM，PN，下列四个结论：①CE⊥BF；②BE＝AM；③AE+FM＝AB；④PM+PN≥AC，一定成立的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2022春•新罗区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC上的有一动点P，以DP为边作正方形DPFG． ①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上； ②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°； ③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为； ④△CDP为等腰三角形时，AP的值为或． 以上结论正确的是（　　） A．①③④ B．②④ C．①②③ D．②③④ 14．（2022春•成都期末）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D是斜边AC上一个动点，过点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接EF．在D点的运动过程中，给出下列结论：①当D运动到AC中点时，EF＝5；②EF的最小值是；③AE2+EB2+BF2+FC2的值恒为100；④当AD：DC＝3：4时，四边形BEDF为正方形．⑤设DF的长度为x，矩形BEDF的周长为y，则y与x的函数关系式是y＝x+12．其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 15．（2021秋•市南区期末）如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，AM、AN分别与对角线BD交于点E、F，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF•DE；④OM＝OF，一定成立的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 16．（2022春•龙湾区期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝75°，∠BAD＝150°，BC＝6，对角线AC⊥AD，P是线段AC上的动点，Q是射线DA上的动点，当四边形BPDQ为平行四边形时，则平行四边形BPDQ的面积是（　　） A．9﹣3 B．6 C．9 D．6 17．（2022•苏州一模）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（　　） A．AD＝4AE B．AD＝2AB C．AB＝2AE D．AB＝3AE 18．（2022春•姑苏区校级期中）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是射线AB上一动点，以CD为一边向左画正方形CDEF．连接DF，取DF中点Q，则BQ的最小值为（　　） A．2 B．2 C．4 D． 19．（2022•思明区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且DE＝AF，过原点O作OH⊥EF，垂足为H，连接HA、HB，则△HAB面积的最大值为（　　） A． B．12 C．6+3 D． 20．（2022•焦作一模）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），A（0，3），C（5，0），点D为AB上一动点，将△OAD绕点O顺时针旋转得到△OA'D'，使得点A的对应点A'落在OD上，当A'D'的延长线恰好经过点C时，点D的坐标为（　　） A．（2，3） B． C． D．（4，3） 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四边形中的动点问题（二） 1．（2023•焦作一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点B的坐标为（4，3），D为OC的中点，E是AB上一动点，将四边形OAED沿ED折叠，使点A落在F处，点O落在G处，当线段DG的延长线恰好经过BC的中点H时，点F的坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【解答】解：连接OB， ∵矩形ABCO的顶点B的坐标为（4，3）， ∴AB＝OC＝4，OA＝BC＝3， ∴OB＝＝5， 延长DH交AB的延长线于M， ∵D为OC的中点，H为BC的中点， ∴DH∥OB，DH＝OB＝， ∵BM∥OD， ∴四边形ODMB是平行四边形， ∴DM＝OB＝5，BM＝OD＝2， ∵AB∥OC， ∴∠BED＝∠ODE，∠AED＝∠EDC， ∵将四边形OAED沿ED折叠，使点A落在F处，点O落在G处， ∴∠ODE＝∠MDE，∠AED＝∠FED， ∴∠BED＝∠MDE，∠EDC＝∠DEF， ∴EM＝DM＝5， ∴AE＝EF＝AM﹣BM＝AB+BM﹣EM＝1， ∵∠DEF＝∠EDC，∠BED＝∠HDE， ∴∠FEB＝∠CDH， 过F作FN⊥AB于N， ∴∠FNE＝∠DCH＝90°， ∴△EFN∽△DHC， ∴， ∴， ∴EN＝，FN＝， ∴F（，）． 故选：A． 2．（2022•海伦市校级模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连接BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连接BF与EF，BF交对角线AC于点G．过点C作CH∥QF交BE于点H，连接AH．以下四个结论：①BQ＝QF；②△DEF的周长为8；③S△BQG＝S△BEF；④线段AH的最小值为2﹣2．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵BQ⊥FQ， ∴∠FQB＝∠BCD＝90°， ∴点B，点C，点F，点Q四点共圆， ∴∠QFB＝∠QCB＝45°，∠QBF＝∠QCF＝45°， ∴∠QBF＝∠QFB， ∴BQ＝FQ，故①正确； 如图，延长DA至N使AN＝CF，连接BN， ∵CF＝AN，∠BAN＝∠BCF＝90°，AB＝BC， ∴△ABN≌△CBF（SAS）， ∴BF＝BN，∠ABN＝∠CBF， ∵∠QBF＝45°， ∴∠ABE+∠CBF＝45°， ∵∠ABE+∠ABN＝45°， ∴∠EBN＝∠EBF＝45°， 又∵BE＝BE，BF＝BN， ∴△BEF≌△BEN（SAS）， ∴EF＝EN， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+EN＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝8，故②正确； ∵CH∥FQ， ∴∠BHC＝∠BQF＝90°， ∴点H在以BC为边的圆上运动， 如图，以BC为直径作圆，取BC的中点P，连接AP，PH， ∴BP＝2＝HP， ∴AP＝＝＝2， 在△AHP中，AH＞AP﹣HP， ∴当点H在AP上时，AH有最小值为2﹣2，故④正确； 如图，连接EG， ∵∠DAC＝∠QBF＝45°， ∴点A，点B，点G，点E四点共圆， ∴∠BAC＝∠BEG＝45°， ∴∠BEG＝∠EBF＝45°，∠EGB＝90°， ∴EG＝BG， ∴BE＝BG， ∵∠BEG＝∠BFQ＝45°， ∴点E，点F，点G，点Q四点共圆， ∴∠BQG＝∠BFE，∠BGQ＝∠BEF， ∴△BQG∽△BFE， ∴＝（）2＝， ∴S△BQG＝S△BEF；故③正确， 故选：D． 3．（2022秋•北镇市期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB＝OA；③∠MPN＝60°； ④PM+PN＝BD．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形，故①正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝30°， ∴OB＝OA，故②正确； ∵PM⊥AB，PN⊥AD， ∴∠AMP＝∠ANP＝90°， ∵AD∥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝120°， ∴∠MPN＝60°，故③正确； 如图，延长NP交BC于点G， ∵AD∥BC，PN⊥AD， ∴PG⊥BC， ∵PM⊥AB，BP平分∠ABC， ∴PM＝PG， ∴PM+PN＝PG+PN＝NG， ∵∠PBG＝∠PDN＝30°， ∴PB＝2PG，PD＝2PN， ∴PM+PN＝PG+PN＝PB+PD＝（PB+PD）＝BD， ∴PM+PN＝BD，故④正确， 综上所述：正确的有4个． 故选：D． 4．（2022秋•二七区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，点E从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿CD以1cm/s的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，则点E运动时间为（　　） A． B． C．6 D．6+或6﹣ 【解答】解：设点E运动的时间是x秒． 根据题意可得：22+（2x）2＝（3﹣2x）2+x2， 解这个方程得，x1＝6﹣，x2＝6+， ∵3÷2＝1.5（s），2÷1＝2（s）， ∴两点运动了1.5s后停止运动． 由5＜＜6得：0＜6﹣＜1＜1.5，6+＞11＞1.5， 答：当△AEF是以AF为底的等腰三角形时，点E运动的时间是（6﹣）秒． 故选：B． 5．（2023春•北仑区校级期中）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，有AE＝AB＝BC且BC＝a，点P是BE上一动点，则点P到边AB，AC的距离之和PM+PN的值（　　） A．有最大值a B．有最小值a C．是定值a D．是定值a 【解答】解：如图，连接BP，作EF⊥AB于点F，则∠EFA＝90°， ∵AE＝AB＝BC＝a， 在矩形ABCD中，∠ABC＝90°， ∴tan∠CAB＝＝＝， ∴∠CAB＝30°， ∴EF＝AE＝a， ∵PM⊥AC，PN⊥AB， ∴S△APE+S△APB＝S△ABE， ∴AE•PM+AB•PN＝AB•EF， ∵AE＝AB， ∴PM+PN＝EF＝a， 则点P到边AB，AC的距离之和PM+PN的值是定值a， 故选：D． 6．（2022•峄城区校级模拟）如图，点E在正方形ABCD的边AD上（包括点A和点D）的一个动点，连结BE和CE设y＝tan∠BEC，则y的取值范围是（　　） A．y＝1 B．y≥1 C．1 D．1 【解答】解：当点E与点A或点D重合时，y＝tan∠BEC＝1； 当点E在AD的中点时，设AE＝1，则AB＝2， ∴BE＝CE＝＝， 如图，过点C作CF⊥BE于点F， ∴BC2﹣BF2＝CE2﹣EF2， ∴22﹣（﹣EF）2＝（）2﹣EF2， ∴EF＝， ∴CF＝＝＝， ∴y＝tan∠BEC＝＝×＝， ∴y的取值范围是1≤y≤． 故选：D． 7．（2022春•永善县期中）如图，在正方形ABCD中，P是边AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N，下列结论： ①△APE≌△AME； ②PM+PN＝AC； ③PE2+PF2＝PO2； ④当P是AB的中点时，． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°， ∵PM⊥AC， ∴∠AEP＝∠AEM＝90°， 在△APE和△AME中， ， ∴△APE≌△AME（ASA），故①正确； ②∵△APE≌△AME， ∴PE＝EM＝PM， 同理，FP＝FN＝NP， ∵正方形ABCD中，AC⊥BD， 又∵PE⊥AC，PF⊥BD， ∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°， ∴四边形PEOF是矩形． ∴PF＝OE， 在△APE中，∠AEP＝90°，∠PAE＝45°， ∴△APE为等腰直角三角形， ∴AE＝PE， ∴PE+PF＝OA， 又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC， ∴PM+PN＝AC，故②正确； ③∵四边形PEOF是矩形， ∴PE＝OF， 在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2， ∴PE2+PF2＝PO2，故③正确； ④如图， 由①得△APE≌△AME， ∴AP＝AM，PE＝AE＝ME， ∵点P为AB的中点， ∴， ∵AB＝AD， ∴AM＝， ∴点M为AD的中点， ∴PM为△ABD的中位线， ∴PM∥BD， ∴， ∴AE＝OE， 又PM⊥AO， ∴四边形APOM是正方形， 同理可证，四边形PBNO是正方形， ∴S△APM＝S△OPM＝S△PON， ∴，故④错误； ∴正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 8．（2022秋•阳新县校级月考）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论： ①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝BC，∠ABC＝90°， ∵∠A1BA2＝∠ABC＝90°， ∴∠ABA1＝∠CBA2， ∵BA1＝BA2， ∴△ABA1≌△CBA2（SAS），故①正确； 过点D作DT⊥CA1于点T， ∵CD＝DA1， ∴∠CDT＝∠A1DT， ∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠CDT＝45°， ∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA1＝90°， ∴∠CDT＝∠BCA1， ∴∠ADE+∠BCA1＝45°，故②正确； 连接PA，AC． ∵A，A1关于DE对称， ∴PA＝PA1， ∴PA1+PC＝PA+PC≥AC＝， ∴PA1+PC的最小值为，故③正确； 过点A1作A1H⊥AB于点H， ∵∠ADE＝30°， ∴AE＝A1E＝AD•tan30°＝， ∴EB＝AB﹣AE＝1﹣， ∵∠A1EB＝60°， ∴A1H＝A1E•sin60°＝×＝， ∴＝×（1﹣）×＝，故④错误； 故选：C． 9．（2022秋•福田区校级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E是BC边上一点，且AE＝EC，点P是边AD上一动点，连接PE，PC，则下列结论：①BE＝3；②当AP＝5时，PE平分∠AEC；③连接BP，△PBC周长的最小值为8+8；④当AP＝5或6或时，△APE为等腰三角形．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵AB＝4，BC＝8， ∴AE＝EC＝BC﹣BE＝8﹣BE， ∵AB2+BE2＝AE2， ∴42+BE2＝（8﹣BE）2， ∴BE＝3，故①正确； ∴AE＝CE＝5， ∵AP＝5， ∴AP＝AE， ∴∠APE＝∠AEP， ∵AP∥CE， ∴∠APE＝∠PEC， ∴∠AEP＝∠PEC， ∴PE平分∠AEC，故②正确； 如图，作C关于直线AD的对称点G，连接GB交AD于P， 则此时，△PBC周长最小，且△PBC周长的最小值为PB+CP+BC＝GP+CP+BC＝GB+BC； ∴CG＝2CD＝8， ∴GB＝＝＝8， ∴△PBC周长的最小值为8+8，故③正确； 设AP＝x，则PD＝8﹣x， 过P作PH⊥BC于H，则四边形CDPH是矩形， ∴CH＝PD＝8﹣x， ∴EH＝BC﹣BE﹣CH＝8﹣3﹣（8﹣x）＝x﹣3， ∴PE＝＝＝， 当PA＝EA时， ∵AE＝5， ∴AP＝5； 当PA＝PE时， x＝，解得x＝， ∴AP＝； 当AE＝PE时， 5＝，解得x＝6或0（不合题意，舍去）， ∴AP＝6； ∴当AP＝5或6或时，△APE为等腰三角形，故④正确； 故选：D． 10．（2022春•中山市期末）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（　　） A．有最大值a B．有最小值a C．是定值a D．是定值a 【解答】解：如图，连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB＝90°， ∵正方形的性质可知∠EBF＝45°， ∴△BEF为等腰直角三角形， ∵正方形的边长为a， ∴BE＝BC＝a， ∴BF＝EF＝BE＝a， ∵PM⊥BD，PN⊥BC， ∴S△BPE+S△BPC＝S△BEC， ∴BE×PM+BC×PN＝BC×EF， ∵BE＝BC， ∴PM+PN＝EF＝a． 则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值是定值a． 故选：D． 11．（2022春•惠山区校级期末）如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论： ①若延长DE，则DE⊥BF； ②若连接AM，则AM∥FB； ③连接FE，当F、E、M三点共线时，AE＝4﹣4；④连接EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，则AE＝4﹣4；其中正确有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：①如图1中，连接AM，延长DE交BF于J． 由旋转的性质得：△BAF≌△DAE， ∴∠ABF＝∠ADE，∠BAF＝∠DAE＝90°， ∵∠ADE+∠AED＝90°，∠AED＝∠BEJ， ∴∠BEJ+∠EBJ＝90°， ∴∠BJE＝90°， ∴DJ⊥BF，故①正确； ②由翻折可知：EA＝EM，DM＝DA，∠AED＝∠MED， ∴DE垂直平分线段AM， ∴DE⊥AM， ∴AM∥BF，故②正确， ③如图2中，当F、E、M共线时， ∵AE＝AF，∠BAF＝90°， ∴∠AEF＝∠AFE＝45°， ∴∠DEA＝∠DEM＝67.5°， 在MD上取一点J，使得ME＝MJ，连接EJ， ∵∠MEJ＝∠MJE＝45°， ∴∠JED＝∠JDE＝∠MJE＝22.5°， ∴EJ＝JD， 设AE＝EM＝MJ＝x，则EJ＝JD＝x， 则有x+x＝4， ∴x＝4﹣4， ∴AE＝4﹣4，故③正确， ③如图3中，连接EC，CF， ∵∠AEF＝45°，∠AED＝67.5°， ∴∠DEF＝45°+67.5°＝112.5°， ∴∠CEF＞90°， ∵△FEC是等腰三角形， ∴EF＝CE， 设AE＝AF＝m， 则有：2m2＝42+（4﹣m）2， ∴m＝4﹣4或﹣4﹣4（舍弃）， ∴AE＝4﹣4，故④正确； 故选：A． 12．（2022春•隆安县期末）如图，正方形ABCD中，CE平分∠ACB，点F在边AD上，且AF＝BE，连接BF交CE于点G，交AC于点M，点P是线段CE上的动点，点N是线段CM上的动点，连接PM，PN，下列四个结论：①CE⊥BF；②BE＝AM；③AE+FM＝AB；④PM+PN≥AC，一定成立的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， ∵AF＝BE， ∴△ABF≌△BCE（SAS）， ∴∠ABF＝∠BCE， ∵∠ABF+∠CBF＝90°， ∴∠BCE+∠FBC＝90°， ∴∠BGC＝90°， ∴CE⊥BF，故①正确， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， ∵CE⊥BF， ∴∠CBM＝∠CMB， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠CBM， ∴∠AFM＝∠CMB＝∠AMF， ∴AF＝AM， ∴BE＝AM，故②正确； ∵∠FAM＝45°， ∴△AFM不是等边三角形， ∴AF≠FM， ∵AB＝AE+BE＝AE+AF， ∴AB≠AE+MF，故③错误； 如图，连接BP， ∵∠CBM＝∠CMB， ∴CB＝CM， 又∵CE平分∠ACB， ∴CE是MB的中垂线， ∴PM＝BP， ∴MP+NP＝BP+NP， ∴当点P在线段BN上，且BN⊥AC时，MP+NP有最小值， 此时：AB＝BC，∠ABC＝90°，BN⊥AC， ∴BN＝AC， ∴MP+NP的最小值为AC， ∴MP+NP≥AC，故④正确， 故选：C． 13．（2022春•新罗区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC上的有一动点P，以DP为边作正方形DPFG． ①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上； ②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°； ③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为； ④△CDP为等腰三角形时，AP的值为或． 以上结论正确的是（　　） A．①③④ B．②④ C．①②③ D．②③④ 【解答】解：如图，连接CF，过点P作PH⊥PC交CD于H， ∵四边形ABCD和四边形DPFG是正方形， ∴PD＝PF，∠DPF＝∠HPC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°， ∴∠DPH＝∠CPF，∠PCH＝∠PHC＝45°， ∴PH＝PC，∠PHD＝135°， ∴△DPH≌△FPC（SAS）， ∴∠PHD＝∠PCF＝135°， ∴∠ACB+∠PCF＝180°， ∴点B，点C，点F三点共线，故①正确； ∵∠CPD＝∠CAD+∠ADP，∠CAD＝45°，∠CPD＝135°， ∴∠ADP＝90°， 则点P与点C重合， 此时∠CPD不存在，故②错误； 如图，取AD的中点N，连接PN， ∵点N是AD的中点，点E是CD中点， ∴AN＝DE＝DN＝2， ∵∠ADC＝∠PDG＝90°， ∴∠ADP＝∠GDE， 又∵DP＝DG， ∴△DPN≌△DGE（SAS）， ∴EG＝PN， ∵点P是线段AC上一点， ∴当NP⊥AC时，NP有最小值为， ∴EG有最小值为，故③正确； ∵AD＝CD＝4， ∴AC＝AD＝4， 当点P是AC中点时，AP＝PD＝PC＝2，则△PCD是等腰三角形， 当CP＝CD＝4时，△PCD是等腰三角形， ∴AP＝4﹣4，故④正确， 故选：A． 14．（2022春•成都期末）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D是斜边AC上一个动点，过点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接EF．在D点的运动过程中，给出下列结论：①当D运动到AC中点时，EF＝5；②EF的最小值是；③AE2+EB2+BF2+FC2的值恒为100；④当AD：DC＝3：4时，四边形BEDF为正方形．⑤设DF的长度为x，矩形BEDF的周长为y，则y与x的函数关系式是y＝x+12．其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 【解答】解：①如图1，连接BD，∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝＝＝10， 当D运动到AC中点时，∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F， ∴∠BED＝∠BFD＝90°， ∴四边形BEDF是矩形， ∴EF＝BD， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，AC＝10， ∴BD＝AC＝5， ∴EF＝5， 故结论①正确； ②由①知：EF＝BD， 由垂线段最短可知，当BD⊥AC时，BD最小，即EF最小， 此时，S△ABC＝AC•BD＝AB•AC， 即×10BD＝×6×8， ∴BD＝， ∴EF＝， 即EF的最小值是， 故结论②正确； ③∵四边形BEDF是矩形， ∴BF＝ED，EB＝DF， ∴AE2+EB2+BF2+FC2＝AE2+BF2+EB2+FC2＝AE2+ED2+DF2+FC2＝AD2+DC2≤（AD+DC）2＝100， 故结论③不正确； ④当AD：DC＝3：4时，＝， ∴＝， ∴＝， ∴＝1， ∴DE＝DF， ∵四边形BEDF是矩形， ∴四边形BEDF是正方形； 故结论④正确． ⑤设DF的长度为x，矩形BEDF的周长为y， ∴S△BCD＝BC•DF＝×8x＝4x， ∵S△ABC＝BC•AC＝×8×6＝24， ∴S△ABD＝24﹣4x， ∴AC•DE＝24﹣4x， 即3DE＝24﹣4x， ∴DE＝8﹣x， ∴y＝2（DE+DF）＝2（8﹣x+x）＝﹣x+16， 即y与x的函数关系式是y＝﹣x+16， 故结论⑤不正确； 综上所述，正确的结论是①②④， 故选B． 15．（2021秋•市南区期末）如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，AM、AN分别与对角线BD交于点E、F，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF•DE；④OM＝OF，一定成立的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【解答】解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADM′，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'， ∴AM'＝AM，BM＝DM'，∠BAM＝∠DAM'，∠MAM'＝90°，∠ABM＝∠ADM'＝90°， ∴∠ADM'+∠ADC＝180°， ∴点M'在直线CD上， ∵∠MAN＝45°， ∴∠DAN+∠MAB＝45°＝∠DAN+∠DAM'＝∠M'AN， ∴∠M′AN＝∠MAN＝45°， 又∵AN＝AN，AM＝AM'， ∴△AMN≌△AM′N（SAS）， ∴MN＝NM′， ∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN， ∴MN＝BM+DN；故①正确； ∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'， ∴AF＝AD'，DF＝D'B，∠ADF＝∠ABD'＝45°，∠DAF＝∠BAD'， ∴∠D'BE＝90°， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°＝∠BAD'+∠BAE＝∠D'AE， ∴∠D'AE＝∠EAF＝45°， 又∵AE＝AE，AF＝AD'， ∴△AEF≌△AED'（SAS）， ∴EF＝D'E， ∵D'E2＝BE2+D'B2， ∴BE2+DF2＝EF2；故②正确； ∵∠BAF＝∠BAE+∠EAF＝∠BAE+45°，∠AEF＝∠BAE+∠ABE＝45°+∠BAE， ∴∠BAF＝∠AEF， 又∵∠ABF＝∠ADE＝45°， ∴△DAE∽△BFA， ∴， 又∵AB＝AD＝BC， ∴BC2＝DE•BF，故③正确； ∵∠FBM＝∠FAM＝45°， ∴点A，点B，点M，点F四点共圆， ∴∠ABM＝∠AFM＝90°，∠AMF＝∠ABF＝45°，∠BAM＝∠BFM， 同理可求∠AEN＝90°，∠DAN＝∠DEN， ∴∠EOM＝45°＝∠EMO， ∴EO＝EM， ∴MO＝EO， ∵∠BAM≠∠DAN， ∴∠BFM≠∠DEN， ∴EO≠FO， ∴OM≠FO，故④错误， 故选：A． 16．（2022春•龙湾区期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝75°，∠BAD＝150°，BC＝6，对角线AC⊥AD，P是线段AC上的动点，Q是射线DA上的动点，当四边形BPDQ为平行四边形时，则平行四边形BPDQ的面积是（　　） A．9﹣3 B．6 C．9 D．6 【解答】解：当四边形BPDQ为平行四边形时，如图， ∵∠BAD＝150°，AC⊥AD， ∴∠CAD＝90°， ∴∠BAC＝60°， ∵∠ABC＝75°， ∴∠ACB＝45°， ∵四边形BPDQ为平行四边形， ∴AD∥BP， ∴∠BPC＝∠DAP＝90°， ∴∠PBC＝45°， ∴△PBC是等腰直角三角形， ∴PB＝PC＝BC＝3， ∵∠ABC＝75°，∠PBC＝45°， ∴∠ABP＝30°， ∴AP＝BP＝， 则平行四边形BPDQ的面积＝DQ•AP＝BP•AP＝3×＝6． 故选：B． 17．（2022•苏州一模）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（　　） A．AD＝4AE B．AD＝2AB C．AB＝2AE D．AB＝3AE 【解答】解：方法一：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x， ∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH） ＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）] ＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx） ＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx ＝（a﹣2c）x+bc， ∵F为BC上一动点， ∴x是变量，（a﹣2c）是x的系数， ∵平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值， ∴x的系数为0，bc为固定值， ∴a﹣2c＝0， ∴a＝2c， ∴E是AB的中点， ∴AB＝2AE， 方法二：如图，连接EG， ∵E是定点， ∴G是定点， ∵S△EFG＝S平行四边形EFGH，点F位置改变，S△EFG不变， ∴EG∥BC， ∴E是AB中点， ∴若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足AB＝2AE， 故选：C． 18．（2022春•姑苏区校级期中）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是射线AB上一动点，以CD为一边向左画正方形CDEF．连接DF，取DF中点Q，则BQ的最小值为（　　） A．2 B．2 C．4 D． 【解答】解：如图： ∵四边形CDEF为正方形， ∴∠DCF＝∠ACB＝90°，CD＝CF， ∴∠ACD＝∠BCF， 在△ACD与△BCF中， ， ∴△ACD≌△BCF（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBF＝45°， ∴∠FBD＝∠CBF+∠CBA＝90°， ∴△FBD为直角三角形， ∵Q为FD的中点， ∴BQ＝DF， ∵DF＝＝CD， ∴BQ＝CD， ∴当CD最小时，BQ最小， ∴当CD⊥AB时，CD最小，CD最小值为AB＝×＝×＝2， ∴BQ最小值为×2＝2， 故选：A． 19．（2022•思明区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且DE＝AF，过原点O作OH⊥EF，垂足为H，连接HA、HB，则△HAB面积的最大值为（　　） A． B．12 C．6+3 D． 【解答】解：如图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P， ∵直线y＝分别与x轴、y轴相交于点A、B， ∴点A（4，0），点B（0，﹣3）， ∴OB＝3，OA＝4， ∴AB＝＝＝5， ∵四边形ACDO是正方形， ∴OD∥AC，AO＝AC＝OD＝4，OC＝4，∠COA＝45°， ∴∠EDN＝∠NAF，∠DEN＝∠AFN， 又∵DE＝AF， ∴△DEN≌△AFN（ASA）， ∴DN＝AN，EN＝NF， ∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点， ∴ON＝NC＝2， ∵OH⊥EF， ∴∠OHN＝90°， ∴点H在以ON直径的圆上运动， ∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大， ∵点M是ON的中点， ∴OM＝MN＝， ∵MP⊥OP，∠COA＝45°， ∴OP＝MP＝1， ∴AP＝3， ∵∠OAB+∠OBA＝90°＝∠OAB+∠AKQ， ∴∠AKQ＝∠ABO＝∠MKP， 又∵∠AOB＝∠MPK＝90°， ∴△MPK∽△AOB， ∴， ∴， ∴MK＝，PK＝， ∴AK＝， ∵∠AKQ＝∠ABO，∠OAB＝∠KAQ， ∴△AKQ∽△ABO， ∴， ∴， ∴KQ＝， ∴QM＝KQ+MK＝+＝， ∴点H到AB的最大距离为+， ∴△HAB面积的最大值＝×5×（+）＝， 故选：D． 20．（2022•焦作一模）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），A（0，3），C（5，0），点D为AB上一动点，将△OAD绕点O顺时针旋转得到△OA'D'，使得点A的对应点A'落在OD上，当A'D'的延长线恰好经过点C时，点D的坐标为（　　） A．（2，3） B． C． D．（4，3） 【解答】解：由题意当A'D'的延长线恰好经过点C时，如图， ∵A（0，3），C（5，0）， ∴OA＝3，OC＝5， ∵四边形AOCB是矩形， ∴∠OAD＝90°，AB∥OC， ∵将△OAD绕点O顺时针旋转得到△OA'D'， ∴∠OA′D′＝∠OAD＝90°，OA′＝OA＝3， ∴A′C＝＝4， ∵AB∥OC， ∴∠ADO＝∠A′OC， ∵∠OA′D′＝∠OAD＝90°， ∴△OAD∽△CA′O． ∴＝， ∴＝， ∴AD＝． ∴D（，3）． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $$