2024年九年级中考数学复习训练　四边形中的动点问题（一）

四边形中的动点问题（一） 1．（2024•娄星区二模）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6+ D． 2．（2024•宜兴市模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC上的有一动点P，以DP为边作正方形DPFG．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；④△CDP为等腰三角形时，AP的值为2或4﹣4．其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④ 3．（2024•东莞市三模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024•游仙区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝8，E为AB上一点，BE＝8，P为直线CD上的动点，以PQ为斜边作Rt△PDQ，交直线AD于点Q，且满足PQ＝10，若F为PQ的中点，连接CE，CF，则当∠ECF最小时，tan∠ECF的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024•天山区校级一模）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论： ①△ABA1≌△CBA2； ②∠ADE+∠A1CB＝45°； ③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为； ④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为． 其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023秋•高青县期末）如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（　　） A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s 7．（2023春•衡山县校级期中）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（点P不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N，下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝BD；③PE2+PF2＝PO2；其中正确的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2023春•西城区校级期中）已知：如图，正方形ABCD中，AB＝4，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF始终是等腰直角三角形； ②△OEF面积的最小值是2；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是4+2；④四边形OECF的面积始终是4．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 9．（2023•紫金县二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连接BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连接BF与EF，BF交对角线AC于点G．过点C作CH∥QF交BE于点H，连接AH．有以下四个结论：①BF＝BQ；②△DEF的周长为12；③线段AH的最小值为2；④2S△BQG＝S△BEF．其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2023•平原县二模）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点P为射线DA上一个动点，连接CP，点E为CD上一点，且DE＝4，在射线AB上截取点Q使EQ＝CP，交CP于点M，连接BM，则BM的最小值为（　　） A．8 B．12 C． D． 11．（2023秋•郏县期中）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△ODP，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为10；③当P在运动过程中，CD的最小值2﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（　　） A． B． C． D．2π 13．（2023•花山区二模）如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，且满足BD＝CE＝BC，P是边AB上的动点，以P、D、E为顶点，DE为对角线构造▱PDQE，若AB＝10，则BQ的最小值为（　　） A． B． C． D．10 14．（2023春•梁园区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D．2 15．（2023春•平桥区期末）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（　　） A．2 B． C． D． 16．（2023春•江阴市期末）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝4，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（　　） A．8 B．8 C．8 D．12 17．（2023•南山区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为（　　） A．2 B．4 C．1 D．8﹣2 18．（2023•诸暨市模拟）如图，▱ABCD中AB＞AD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上异于端点的四点，满足AE＝CG＝1，DH＝BF＝2，M，N分别为AH，BF上异于端点的两点，连接MN，点O为线段MN上一个动点，从点M出发，运动到点N后停止，连接EH，OE，OH，OF，OG，当图中存在△OEH与四边形OFCG时，随着点O的移动，两者的面积之和变化趋势为（　　） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．一直不变 D．以上都不对 19．（2023•安徽模拟）如图，正方形ABCD的边长AB＝8，E为平面内一动点，且AE＝4，F为CD上一点，CF＝2，连接EF，ED，则EF+ED的最小值为（　　） A．6 B．4 C．4 D．6 20．（2023•沛县校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，动点P从点A出发向终点D运动，连接BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H．①△ABP∽△HCB；②AH的最小值为﹣； ③在运动过程中，点H的运动路径的长π，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ ( 第 1 页 共 7 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四边形中的动点问题（一） 1．（2024•娄星区二模）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6+ D． 【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠MAE＝30°， ∴AM＝2ME， ∵MD＝MB， ∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE， 点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为6， ∴DE＝＝＝3， ∴2DE＝6． ∴MA+MB+MD的最小值是6． 故选：D． 2．（2024•宜兴市模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC上的有一动点P，以DP为边作正方形DPFG．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；④△CDP为等腰三角形时，AP的值为2或4﹣4．其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④ 【解答】解：如图，连接CF，过点P作PH⊥PC交CD于H， ∵四边形ABCD和四边形DPFG是正方形， ∴PD＝PF，∠DPF＝∠HPC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°， ∴∠DPH＝∠CPF，∠PCH＝∠PHC＝45°， ∴PH＝PC，∠PHD＝135°， ∴△DPH≌△FPC（SAS）， ∴∠PHD＝∠PCF＝135°， ∴∠ACB+∠PCF＝180°， ∴点B，点C，点F三点共线，故①正确； ∵∠CPD＝∠CAD+∠ADP，∠CAD＝45°，∠CPD＝135°， ∴∠ADP＝90°， 则点P与点C重合， 此时∠CPD不存在，故②错误； 如图，取AD的中点N，连接PN， ∵点N是AD的中点，点E是CD中点， ∴AN＝DE＝DN＝2， ∵∠ADC＝∠PDG＝90°， ∴∠ADP＝∠GDE， 又∵DP＝DG， ∴△DPN≌△DGE（SAS）， ∴EG＝PN， ∵点P是线段AC上一点， ∴当NP⊥AC时，NP有最小值为， ∴EG有最小值为，故③正确； ∵AD＝CD＝4， ∴AC＝AD＝4， 当点P是AC中点时，AP＝PD＝PC＝2，则△PCD是等腰三角形， 当CP＝CD＝4时，△PCD是等腰三角形， ∴AP＝4﹣4， 当点P是AC起点A的时候，AP＝0，△PCD是等腰三角形， 故④不正确， 故选：C． 3．（2024•东莞市三模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵四边形OACB是矩形， ∴∠OBC＝90°， ∵将△OBP沿OP折叠得到△OPD， ∴OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP， ∵∠BOP＝45°， ∴∠DOP＝∠BOP＝45°， ∴∠BOD＝90°， ∴∠BOD＝∠OBP＝∠ODP＝90°， ∴四边形OBPD是矩形， ∵OB＝OD， ∴四边形OBPD为正方形；故①正确； ②过D作DH⊥OA于H， ∵点A（10，0），点B（0，6）， ∴OA＝10，OB＝6， ∴OD＝OB＝6，∠BOP＝∠DOP＝30°， ∴∠DOA＝30°， ∴DH＝＝3， ∴△OAD的面积为OA•DH＝×3×10＝15，故②正确； ③连接OC， 则OD+CD≥OC， 即当OD+CD＝OC时，CD取最小值， ∵AC＝OB＝6，OA＝10， ∴OC＝＝＝2， ∴CD＝OC﹣OD＝2﹣6， 即CD的最小值为2﹣6；故③正确； ④∵OD⊥AD， ∴∠ADO＝90°， ∵∠ODP＝∠OBP＝90°， ∴∠ADP＝180°， ∴P，D，A三点共线， ∵OA∥CB， ∴∠OPB＝∠POA， ∵∠OPB＝∠OPD， ∴∠OPA＝∠POA， ∴AP＝OA＝10， ∵AC＝6， ∴CP＝＝8， ∴BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确； 故选：D． 4．（2024•游仙区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝8，E为AB上一点，BE＝8，P为直线CD上的动点，以PQ为斜边作Rt△PDQ，交直线AD于点Q，且满足PQ＝10，若F为PQ的中点，连接CE，CF，则当∠ECF最小时，tan∠ECF的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接DF，延长CF与DQ交于点M，连接EM，过E点作EN⊥CF于点N， ∵F是PQ的中点，∠PDQ＝90°， ∴DF＝＝＝5， 当CF为以D为圆心，5为半径的圆相切时，∠ECF最小， 此时DF⊥CF， ∴CF＝＝12， ∵∠CDM＝∠CFD＝90°，∠DCF＝∠MCD， ∴△CDF∽△CMD， ∴，即， ∴， ∴， ∴＝， ∴， ∵BE＝8， ∴AE＝13﹣8＝5， ∴S△CEM＝S矩形ABCD﹣S△AEM﹣S△CDM﹣S△BCE＝＝， ∴，即， ∴EN＝， ∵CE＝， ∴＝ ∴tan∠ECF＝． 故选：D． 5．（2024•天山区校级一模）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论： ①△ABA1≌△CBA2； ②∠ADE+∠A1CB＝45°； ③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为； ④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为． 其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝BC，∠ABC＝90°， ∵∠A1BA2＝∠ABC＝90°， ∴∠ABA1＝∠CBA2， ∵BA1＝BA2， ∴△ABA1≌△CBA2（SAS），故①正确； 过点D作DT⊥CA1于点T， ∵CD＝DA1， ∴∠CDT＝∠A1DT， ∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠CDT＝45°， ∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA1＝90°， ∴∠CDT＝∠BCA1， ∴∠ADE+∠BCA1＝45°，故②正确； 连接PA，AC． ∵A，A1关于DE对称， ∴PA＝PA1， ∴PA1+PC＝PA+PC≥AC＝， ∴PA1+PC的最小值为，故③正确； 过点A1作A1H⊥AB于点H， ∵∠ADE＝30°， ∴AE＝A1E＝AD•tan30°＝， ∴EB＝AB﹣AE＝1﹣， ∵∠A1EB＝60°， ∴A1H＝A1E•sin60°＝×＝， ∴△A1BE的面积＝×（1﹣）×＝，故④错误； 故选：C． 6．（2023秋•高青县期末）如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（　　） A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s 【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm， 如图，过点D作DG⊥AB于点G， ∵∠A＝45°， ∴△ADG是等腰直角三角形， ∴AG＝DG＝AD＝8， 过点F作FH⊥AB于点H， 得矩形DGHF， ∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH， ∵EF＝10cm， ∴EH＝＝6cm， 由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm， ∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm， ∴2t﹣2＝22﹣t， 解得t＝8， 当F点在E点左侧时， 由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm， ∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm， ∴2t﹣14＝22﹣t， 解得t＝12， ∵点E到达点B时，两点同时停止运动， ∴2t≤22，解得t≤11． ∴t＝12不符合题意，舍去， ∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s， 故选：C． 7．（2023春•衡山县校级期中）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（点P不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N，下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝BD；③PE2+PF2＝PO2；其中正确的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°， ∵PM⊥AC， ∴∠AEP＝∠AEM＝90°， 在△APE和△AME中， ， ∴△APE≌△AME（ASA），故①正确； ②∵△APE≌△AME， ∴PE＝EM＝PM， 同理，FP＝FN＝NP， 在正方形ABCD中，AC⊥BD，AC＝BD， ∵PE⊥AC，PF⊥BD， ∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中，AE＝PE， ∴四边形PEOF是矩形． ∴PF＝OE， 在△APE中，∠AEP＝90°，∠PAE＝45°， ∴△APE为等腰直角三角形， ∴AE＝PE， ∴PE+PF＝OA， 又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC， ∴PM+PN＝AC＝BD，故②正确； ③∵四边形PEOF是矩形， ∴PE＝OF， 在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2， ∴PE2+PF2＝PO2， 故③正确； ∴正确的有①②③，共3个． 故选：D． 8．（2023春•西城区校级期中）已知：如图，正方形ABCD中，AB＝4，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF始终是等腰直角三角形； ②△OEF面积的最小值是2；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是4+2；④四边形OECF的面积始终是4．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O， ∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°， 在△OBE和△OCF中， ， ∴△OBE≌△OCF（SAS）， ∴OE＝OF， ∵∠BOE＝∠COF， ∴∠EOF＝∠BOC＝90°， ∴△OEF是等腰直角三角形； 故①正确； ②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝2， ∴△OEF面积的最小值是×2×2＝2， 故②正确； ③∵BE＝CF， ∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝4， 假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是4+2， 则EF＝2， 由①得△OEF是等腰直角三角形， ∴OE＝＝． ∵OB＝2，OE的最小值是2， ∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是4+2． 故③正确； ④由①知：△OBE≌△OCF， ∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4， 故④正确； 故选：D． 9．（2023•紫金县二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连接BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连接BF与EF，BF交对角线AC于点G．过点C作CH∥QF交BE于点H，连接AH．有以下四个结论：①BF＝BQ；②△DEF的周长为12；③线段AH的最小值为2；④2S△BQG＝S△BEF．其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①∵BQ⊥FQ， ∴∠FQB＝∠BCD＝90°， ∴点B，点C，点F，点Q四点共圆， ∴∠QFB＝∠QCB＝45°，∠QBF＝∠QCF＝45°， ∴∠QBF＝∠QFB， ∴BQ＝FQ， ∴BF＝BQ． 故①正确； ②如图，延长DA至N使AN＝CF，连接BN， ∵CF＝AN，∠BAN＝∠BCF＝90°，AB＝BC， ∴△ABN≌△CBF（SAS）， ∴BF＝BN，∠ABN＝∠CBF， ∵∠QBF＝45°， ∴∠ABE+∠CBF＝45°， ∵∠ABE+∠ABN＝45°， ∴∠EBN＝∠EBF＝45°， 又∵BE＝BE，BF＝BN， ∴△BEF≌△BEN（SAS）， ∴EF＝EN， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+EN＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝12，故②正确； ③∵CH∥FQ， ∴∠BHC＝∠BQF＝90°， ∴点H在以BC为直径的圆上运动， 如图，以BC为直径作圆，取BC的中点P，连接AP，PH， ∴BP＝3＝HP， ∴AP＝＝3 ， 在△AHP中，AH≥AP﹣HP， ∴当点H在AP上时，AH有最小值为3﹣3，故③错误； ④如图，连接EG， ∵∠DAC＝∠QBF＝45°， ∴点A，点B，点G，点E四点共圆， ∴∠BAC＝∠BEG＝45°， ∴∠BEG＝∠EBF＝45°，∠EGB＝90°， ∴EG＝BG， ∴BE＝BG， ∵∠BEG＝∠BFQ＝45°， ∴点E，点F，点G，点Q四点共圆， ∴∠BQG＝∠BFE，∠BGQ＝∠BEF， ∴△BQG∽△BFE， ∴＝（ ）2＝， ∴S△BQG＝S△BEF；故④正确， 故选：C． 10．（2023•平原县二模）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点P为射线DA上一个动点，连接CP，点E为CD上一点，且DE＝4，在射线AB上截取点Q使EQ＝CP，交CP于点M，连接BM，则BM的最小值为（　　） A．8 B．12 C． D． 【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F， 则∠EFA＝∠EFQ＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠D＝∠A＝90°， ∴四边形DAFE是矩形， ∴AD＝EF＝CD， 在Rt△EFQ和Rt△CDP中， ， ∴Rt△EFQ≌Rt△CDP（HL）， ∴∠FEQ＝∠DCP， ∵∠FEQ+∠CEM＝∠CEF＝90°， ∴∠DCP+∠CEM＝90°， ∴∠EMC＝90°， ∴点M在以CE为直径的半圆上（不与重合C，E）， ∵AB＝CD＝12，DE＝4， ∴EC＝12﹣4＝8， ∴OE＝OC＝4， ∴OB＝＝4， ∴当点M运动到OB与半圆的交点处时BM最小，此时BM＝OB﹣OM＝4﹣4． 故选：C． 11．（2023秋•郏县期中）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△ODP，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为10；③当P在运动过程中，CD的最小值2﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵四边形OACB是矩形， ∴∠OBC＝90°， ∵将△OBP沿OP折叠得到△OPD， ∴OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP， ∵∠BOP＝45°， ∴∠DOP＝∠BOP＝45°， ∴∠BOD＝90°， ∴∠BOD＝∠OBP＝∠ODP＝90°， ∴四边形OBPD是矩形， ∵OB＝OD， ∴四边形OBPD为正方形；故①正确； ②过D作DH⊥OA于H， ∵点A（10，0），点B（0，6）， ∴OA＝10，OB＝6， ∴OD＝OB＝6，∠BOP＝∠DOP＝30°， ∴∠DOA＝30°， ∴DH＝＝3， ∴△OAD的面积为，故②错误； ③连接OC， 则OD+CD≥OC， 即当OD+CD＝OC时，CD取最小值， ∵AC＝OB＝6，OA＝10， ∴OC＝＝＝2， ∴CD＝OC﹣OD＝2﹣6， 即CD的最小值为2﹣6；故③正确； ④∵OD⊥AD， ∴∠ADO＝90°， ∵∠ODP＝∠OBP＝90°， ∴∠ADP＝180°， ∴P，D，A三点共线， ∵OA∥CB， ∴∠OPB＝∠POA， ∵∠OPB＝∠OPD， ∴∠OPA＝∠POA， ∴AP＝OA＝10， ∵AC＝6， ∴CP＝＝8， ∴BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确； 故选：C． 12．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（　　） A． B． C． D．2π 【解答】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′， 当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″， ∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''， 在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2，CD＝2， ∴tan∠DBC＝＝， ∴∠DBC＝30°， ∴∠CBC″＝60°， ∵BC＝BC''， ∴△BCC''为等边三角形， ∴S扇形BC′C″＝＝4π， 作C''F⊥BC于F， ∵△BCC''为等边三角形， ∴BF＝BC＝， ∴C''F＝tan60°×＝3， ∴S△BCC''＝×2×3＝3， ∴线段CC1扫过的区域的面积为：4π+3． 故选：C． 13．（2023•花山区二模）如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，且满足BD＝CE＝BC，P是边AB上的动点，以P、D、E为顶点，DE为对角线构造▱PDQE，若AB＝10，则BQ的最小值为（　　） A． B． C． D．10 【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图，设平行四边形对角线交于点M． 由题意，∵BD＝CE＝BC＝AB＝， ∴D（，0），E（，）． ∵M是DE的中点， ∴M（，）． 由题意，设直线AB为y＝kx，A为（5，）， ∴5＝5k． ∴k＝． ∴直线AB为y＝x． ∵P在直线AB上， ∴可设P（m，m）． 再设Q（x，y）， ∴＝，＝． ∴上面两式消去m得，x﹣y＝10． ∴Q在直线y＝x﹣10上（如图）． ∴当BQ垂直于直线y＝x﹣10时，BQ最小． 对于直线y＝x﹣10， 令x＝0，∴y＝﹣10； 令y＝0，∴x＝10． ∴利用面积法可得BQ的最小值为＝5． 故选：A． 14．（2023春•梁园区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D．2 【解答】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2＝CE． 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP． 由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF． ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值． ∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点， ∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1． ∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°． ∴∠DP2P1＝90°． ∴∠DP1P2＝45°． ∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值为BP1的长． 在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1． ∴BP1＝． ∴PB的最小值是． 故选：C． 15．（2023春•平桥区期末）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：作OH⊥AB于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴△OBC和△OAB是等腰直角三角形， ∴∠BOP+∠EOC＝90°， ∵OQ⊥OP， ∴∠QOC+∠EOC＝90°， ∴∠BOP＝∠COQ， ∵∠ABO＝∠OCB＝45°， ∴∠OBP＝∠OCQ＝135°， ∵OB＝OC， ∴△OBP≌△OCQ（ASA）， ∴PO＝QO， ∴△OPQ是等腰直角三角形， ∵OH⊥AB，EB⊥AB， ∴BE∥OH， ∴PB：BH＝PE：OE， ∵OE＝PE， ∴PB＝BH， ∵△OAB是等腰直角三角形，OH⊥AB， ∴OH＝BH＝AB＝×2＝1， ∴PB＝BH＝1， ∴PH＝PB+BH＝2， ∴OP＝＝＝， ∴PQ＝PO＝． 故选：D． 16．（2023春•江阴市期末）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝4，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（　　） A．8 B．8 C．8 D．12 【解答】解：过点D作DH∥MN，交AB于点H，过点E作EG∥MN，过点M作MG∥NE，两直线交于点G，连接AG，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠B＝∠BAD＝90°， ∵AB＝12，BE＝4， ∴AE＝＝＝4， ∵DH∥MN，AB∥CD， ∴四边形DHNM是平行四边形， ∴DH＝MN， ∵MN⊥AE，DH∥MN，EG∥MN， ∴DH⊥AE，AE⊥EG， ∴∠BAE+∠AHD＝90°＝∠AHD+∠ADH，∠AEG＝90°， ∴∠BAE＝∠ADH， 在△ABE和△DAH中， ， ∴△ABE≌△DAH（ASA）， ∴DH＝AE＝4，∠ADH＝∠BAE， ∵∠ADH+∠DHA＝90°， ∴∠DHA+∠HAE＝90°， ∴AE⊥DH， ∵DH∥MN∥EG， ∴AE⊥EG， ∴MN＝DH＝AE＝4， ∵EG∥MN，MG∥NE， ∴四边形NEGM是平行四边形， ∴NE＝MG，MN＝EG＝AE＝4， ∴AM+NE＝AM+MG， ∴当点A，点M，点G三点共线时，AM+NE的最小值为AG， ∴AG＝＝＝8． 故选：C． 17．（2023•南山区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为（　　） A．2 B．4 C．1 D．8﹣2 【解答】解：过点E作EH⊥AC于H，如图： ∵四边形DEFB是正方形， ∴∠BDE＝90°＝∠C，DE＝BD， ∴∠EDA+∠BDC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°， ∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠DHE＝∠C＝90°， ∴△BDC≌△DEH（AAS）， ∴EH＝CD，DH＝BC＝4， ∴AH＝AC﹣DH﹣CD＝8﹣4﹣CD＝4﹣CD， ∵AE2＝AH2+EH2＝（4﹣CD）2+CD2＝2（CD﹣2）2+8， ∵2＞0， ∴当CD＝2时，AE2最小，AE也最小， 此时BD＝＝＝2， 故选：A． 18．（2023•诸暨市模拟）如图，▱ABCD中AB＞AD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上异于端点的四点，满足AE＝CG＝1，DH＝BF＝2，M，N分别为AH，BF上异于端点的两点，连接MN，点O为线段MN上一个动点，从点M出发，运动到点N后停止，连接EH，OE，OH，OF，OG，当图中存在△OEH与四边形OFCG时，随着点O的移动，两者的面积之和变化趋势为（　　） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．一直不变 D．以上都不对 【解答】解：如图，连接OD，BO， 设点O到CD的距离为h1，到BE的距离为h2，到AD的距离h3，到BC的距离为h4， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD＝AB，AD＝BC， ∵CG＝AE＝1， ∴DG＝BE， ∴S△DOG+S△BOE＝DG•h1+BE•h2＝DG•（h1+h2）＝（CD﹣1）（h1+h2）， S△DHO+S△BFO＝DH•h3+BF•h4＝2h3+2h4＝h3+h4， ∵CD为定值，h1+h2，h3+h4是平行四边形ABCD的高，均为定值， ∴S△DOG+S△BOE，S△DHO+S△BFO，均为定值， ∵△AEH的边长是定值， ∴S△AEH也为定值， ∵△OEH与四边形OFCG的面积之和为：平行四边形ABCD的面积﹣（S△DOG+S△BOE）﹣（S△DHO+S△BFO）﹣S△AEH，平行四边形ABCD的面积为定值， ∴△OEH与四边形OFCG的面积之和保持不变， 故选：C． 19．（2023•安徽模拟）如图，正方形ABCD的边长AB＝8，E为平面内一动点，且AE＝4，F为CD上一点，CF＝2，连接EF，ED，则EF+ED的最小值为（　　） A．6 B．4 C．4 D．6 【解答】解：如图，当点E运动到点E′时，EF+ED的值最小，最小值为EF+DE'， 在AD边上取AH＝2， ∵AE′＝AE＝4， ∴＝2， ∵AD＝8， ∴＝2， ∴， ∵∠DAE′＝∠E′AH， ∴△DAE′∽△E′AH， ∴＝2， ∴E′H＝DE'， ∴EF+ED＝EF+E′D＝EF+E′H＝HF， ∴EF+ED的最小值为HF的值， ∵DH＝AD﹣AH＝6， DF＝DC﹣CF＝6， 在Rt△DHF中，根据勾股定理，得 HF＝， 故选：A． 20．（2023•沛县校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，动点P从点A出发向终点D运动，连接BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H．①△ABP∽△HCB；②AH的最小值为﹣； ③在运动过程中，点H的运动路径的长π，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，CH⊥BP， ∴∠BAP＝∠CHB＝∠ABC＝90°， ∴∠ABP＝∠HCB＝90°﹣∠CBH， ∴△ABP∽△HCB， 故①正确； ②如图1，取BC的中点E，连接EH，AE， ∴BC＝AD＝2，AB＝CD＝2， ∴HE＝BE＝CE＝BC＝， ∴AE＝＝＝， ∵AH+HE≥AE， ∴AH+≥， ∴AH≥﹣， ∴AH的最小值是﹣， 故②正确； ③如图2，点H的运动路径为以BC的中点E为圆心，半径长为的一段圆弧， 当点P与点D重合时，则BP为与矩形ABCD的对角线BD重合， ∴BP扫过的面积为S△ABD＝AB•AD＝×2×2＝2， ∵∠BCD＝90°， ∴tan∠CBD＝， ∴∠CBD＝30°， ∴∠EBH＝∠EHB＝30°， ∴∠BEH＝180°﹣∠EBH﹣∠EHB＝120°， 则点H运动的路径长为：＝， 故③正确， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $$