精品解析：上海市格致中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷

格致中学高一月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为________. 2. 向量在方向上数量投影为________. 3. 设复数满足（为虚数单位），则________. 4. 在中，，，，则________. 5. 若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________. 6. 在复平面内，为原点，点所对应的复数是（i为虚数单位），将点绕着点按逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为________. 7. 已知，若、满足，且的最小值为，则________. 8. 在平面直角坐标系中，已知为原点，，．若点在延长线上，且，则的坐标为________. 9. 如图，，，点在以为圆心圆弧上运动，则的取值范围是________. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，成等差，则的值为___________. 11. 若函数的图像上存在不同的两点和，满足，则称函数具有性质．给出下列函数： ①，； ②， ③； ④，． 其中具有性质的函数为_____（填上所有正确序号） 12. 已知个两两互不相等的复数、、、、、，满足，且（其中、2；、1、2、、），则的最大值为_______ 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 设，则“”是“”的（ ）条件 A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 已知函数在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 由增加的长度决定 16. 甲、乙两个同学对问题“已知，，若关于实系数一元二次方程的两个根，，满足，求实数的值”，各自提出一个猜测： 甲说：“对于任意一组，的值，的不同值最多有4个；” 乙说：“存在一组，的值，使得的不同值恰有3个；” 则下列选项正确的是（ ） A. 甲的猜测正确，乙的猜测错误 B. 甲的猜测错误，乙的猜测正确 C. 甲、乙的猜测都正确 D. 甲、乙的猜测都错误 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知单位向量、满足，．向量，，其中． （1）若，用反正切值表示角； （2）设，若，求的值． 18. 已知关于的方程，其中为虚数单位． （1）设，若方程至少有一个模为1根，求的值； （2）设，虚数是方程的一个虚根，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，求的取值范围． 19. 假期间，小致同学临时起意想去电影院看电影，他想选择一个视角最好的座位．由于电影的观众比较多，当他打开订票软件时，只剩下第1至15排最边上的15个座位． （1）电影院的剖面图如上左图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛离地高度为1.20米，影院前后两排座位高度差为0.50米，如果小致想要得到更好的直方向视角（即眼睛与屏幕中点的连线尽可能保持水平，不考虑水平方向视角），你建议他选择哪一排的座位?请通过计算说明理由． （2）电影院的俯视图如上右图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小致想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择哪一排的座位？请通过计算说明理由． 20. 在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． （1）若，用，表示； （2）若点为的外心，求、的值； （3）若点在的角平分线上，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 格致中学高一月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为________. 【答案】 【解析】 【分析】由扇形弧长公式直接计算即可. 【详解】由扇形弧长公式得扇形的弧长为. 故答案为：. 2. 向量在方向上的数量投影为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量投影概念直接计算即可. 【详解】由题， 所以向量在方向上的数量投影为. 故答案为：. 3. 设复数满足（为虚数单位），则________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由求出复数，然后可求出复数的模. 【详解】由，得， 所以， 故答案为： 4. 在中，，，，则________. 【答案】 【解析】 分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得, 故答案为：. 5. 若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值. 【详解】∵与的夹角为锐角，∴，即，解得， 当与共线时，可得，解得， 所以当时，与同向， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 6. 在复平面内，为原点，点所对应的复数是（i为虚数单位），将点绕着点按逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据A点坐标以及与轴的夹角和与轴的夹角的关系求出点坐标即可求解. 【详解】设与轴的夹角为，则与轴的夹角为， 由题意，所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 7. 已知，若、满足，且的最小值为，则________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据正弦函数图象的性质得到的最小值为半个周期，然后求即可. 【详解】若、满足，则函数在、处取到最值， 的最小值为，所以，解得. 故答案为：4. 8. 在平面直角坐标系中，已知为原点，，．若点在延长线上，且，则的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合题意将用表示出来即可得答案. 【详解】因为点在延长线上，且， 所以， 所以 , 故答案为： 9. 如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】将转化成结合三角恒等变换公式即可求解. 【详解】连接，则， 由题可设，则， 所以 ， 因为，所以， 故. 故答案为：. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，成等差，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据以及，可得，再根据等差数列的性质和正弦定理可得，再根据三角函数的化简可得，再根据二倍角公式即可求出. 【详解】在中，角，，所对的边分别为，，，， 所以，所以， 因为，，成等差数列，所以， 由正弦定理可得 . 所以， 因为，所以， 所以， 故答案为：. 11. 若函数的图像上存在不同的两点和，满足，则称函数具有性质．给出下列函数： ①，； ②， ③； ④，． 其中具有性质的函数为_____（填上所有正确序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据数量积的公式将转化为过点的直线与函数图象存在至少两个不同的交点，然后结合图象判断即可. 【详解】，，， 所以，即， 即三点共线，即过点的直线与函数图象存在至少两个不同的交点， 由图可知，①②④满足，图象如下所示： 联立得，则当时方程无解或只有一个解，故③不具有性质. 故答案为：①②④. 12. 已知个两两互不相等的复数、、、、、，满足，且（其中、2；、1、2、、），则的最大值为_______ 【答案】5 【解析】 【分析】设，（），从而可得，即、对应平面内距离为的点，从而利用数形结合求解. 【详解】设，（）， ， ， 即，即， 故、对应平面内距离为的点，如图、， ， 与、对应的点的距离为或， 构成了点、、、、共个点， 故的最大值为， 故答案：. 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 设，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】依次证充分性、必要性即可判断. 【详解】充分性：当，显然，所以是充分条件； 必要性：设，， 则即，即, 所以，故， 所以是实数，故是必要条件. 故选：C. 14. 已知函数在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意求得的取值范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得解. 【详解】，， 因为函数在上恰好有两个零点，所以， 解得. 故选：D. 15. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 由增加的长度决定 【答案】A 【解析】 【分析】设原直角三角形的三边分别为，，（为最大边），则，设增加同样的长度为，则新三角形中为最大边，其对应角最大，设为，利用余弦定理得到，即可判断. 【详解】设原直角三角形的三边分别为，，（为最大边），则， 设增加同样的长度为， 则新的三角形的三边长为、、，显然为最大边，其对应角最大，设为， 显然，即， 所以， 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值， 又，所以，即为锐角，所以新三角形为锐角三角形． 故选：A 16. 甲、乙两个同学对问题“已知，，若关于的实系数一元二次方程的两个根，，满足，求实数的值”，各自提出一个猜测： 甲说：“对于任意一组，的值，的不同值最多有4个；” 乙说：“存在一组，的值，使得的不同值恰有3个；” 则下列选项正确是（ ） A. 甲的猜测正确，乙的猜测错误 B. 甲的猜测错误，乙的猜测正确 C. 甲、乙的猜测都正确 D. 甲、乙的猜测都错误 【答案】C 【解析】 【分析】由实系数一元二次方程根的问题，分别讨论△，△，△，由此进行判断即可． 【详解】实系数一元二次方程，则△， 当△时，，则与条件矛盾， 当△时，，， 可得有两个值， 当△时，，， 可得有一个或两个值． 综上可知， 当时，的值有3个， 当时，的值有4个， 所以甲、乙二人的猜测都正确． 故选：． 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知单位向量、满足，．向量，，其中． （1）若，用反正切值表示角； （2）设，若，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的共线定理即可计算角. （2）根据确定，再根据得即可. 【小问1详解】 由题意可知，因为， 所以存在实数，使得， 所以， 即， 故， 又因为， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以， 所以， 故. 18. 已知关于的方程，其中为虚数单位． （1）设，若方程至少有一个模为1的根，求的值； （2）设，虚数是方程的一个虚根，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，求的取值范围． 【答案】（1）、0、1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据存在模为1的根和模为1的根为实数根和虚数根来分类探讨即可求解. （2）先根据复数根的性质得的轨迹，再根据点坐标以及几何意义即可求解. 【小问1详解】 若，则方程为， 因为方程至少有一个模为1的根， 当时，方程为或，符合； 当时，若模为1的根为实数根1时，则有，即； 若模为1的根为虚数根时，不妨设方程模为1的根为，且， 则也是方程的根，故，，此时符合. 故的值为：、0、1. 【小问2详解】 若，则方程为， 设复数， 则，方程的一个虚根， 则也方程的一个虚根，且由根与系数关系， 故的轨迹为以为圆心，半径为的圆C，如图， 又由题，所以， 所以. 19. 假期间，小致同学临时起意想去电影院看电影，他想选择一个视角最好的座位．由于电影的观众比较多，当他打开订票软件时，只剩下第1至15排最边上的15个座位． （1）电影院的剖面图如上左图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛离地高度为1.20米，影院前后两排座位高度差为0.50米，如果小致想要得到更好的直方向视角（即眼睛与屏幕中点的连线尽可能保持水平，不考虑水平方向视角），你建议他选择哪一排的座位?请通过计算说明理由． （2）电影院的俯视图如上右图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小致想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择哪一排的座位？请通过计算说明理由． 【答案】（1）第10排；理由见解析 （2）第4排，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设表示第排座位眼睛离地高度，求出眼睛离地高度接近的值即可. （2）先由题设表示第n排座位位置、表示第n排座位的水平方向视角，则在中利用勾股定理求出即可利用余弦定理去研究水平视角与n的关系，进而得到最好的水平视角. 小问1详解】 设表示第排座位眼睛离地高度， 则由题意，接下来的每一排座位与前一排作为高度均相差 ， 所以， 令即，， 所以小致想要得到更好的直方向视角建议小致坐第10排的座位. 【小问2详解】 如图，表示屏幕长，C、D分别表示第1排和第15排座位位置， 设表示第n排座位的位置， 则由题可设表示第n排座位的水平方向视角， 则， 故 所以 ， 令，且， 则 ， 令，任取， 则， 因为，故， 所以，即， 所以在上单调递减，同理可得在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，此时； 时，，此时， 所以当时，最小，因为， 所以此时最大，即此时是最好的水平方向视角， 故建议他选择第4排的座位能得到最好的水平方向视角. 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是依据三角模型图，将第n排座位T的水平方向视角设为，接着利用勾股定理将用n表示起来，再在中利用余弦定理即可去研究水平视角与n的关系，进而得到最好的水平视角对应的n值. 20. 在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． （1）若，用，表示； （2）若点为的外心，求、的值； （3）若点在的角平分线上，当时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）可化简，化简后可用表示，表示，代入即可； .（2）由点为的外心，可得，利用这两个关系式可求、的值； （3）设为的平分线，则，利用平面向量基本定理和共线向量定理可得：，再根据平面向量基本定理可得，求出的范围后利用数量积可得，从而可得的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 化简后可得，所以， 若，则. 【小问2详解】 如图，设的中点分别为，连接， 则，  又，同理， 又， 即，同理， 整理得到，解得； 【小问3详解】 如图，为的平分线，则， 所以， 设，. 故， 因为不共线，故，所以， 因为，所以，故. 又, 所以，所以. 故的取值范围为. 【点睛】本题考查平面向量基本定理、向量的数量积，解题时注意根据外心、角平分线等几何性质实现向量计算时的转化，本题属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$