精品解析：2024届山东省泰安肥城市高考仿真模拟（三）数学试题

2024年高考适应性训练 数 学 试 题 （三） 本试卷共19题，满分150分，共6页．考试用时120分钟． 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 的子集个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ） （若随机变量，则，，） A. 236 B. 246 C. 270 D. 275 3. 已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为 和 ，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为定义在R上的偶函数，则函数的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 在上的最小值为 D. 直线是图象的一条对称轴 7. 设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆与抛物线 相交于两点，分别以为切点作的切线. 若都经过的焦点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 回归直线至少经过其样本数据中的一个点 B. 已知命题，，则命题的否定为， C. 若为取有限个值的离散型随机变量，则 D. 若一组样本数据、、、的平均数为10，另一组样本数据、、、的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为17和54 10. 已知函数，则（ ） A. 是 上的增函数 B. 函数有且仅有一个零点 C. 函数的最小值为 D. 存在唯一个极值点 11. 在正方体中，点满足，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当 时，正方体的棱长为 时，的最小值为 D. 当时，存在唯一的点P，使得P到的距离等于P到的距离 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人． 13. 已知分别是椭圆的左，右焦点，是上两点，且，，则的离心率为______. 14. 已知函数，若 恒成立，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前 项的和，已知. （1）求的通项公式； （2）令，求. 16. 如图 ，在直角梯形中，，， ，是的中点，是与的交点．将沿折起到 的位置，如图． （1）证明：平面 平面 ； （2）若平面 平面 ，求平面与平面 夹角的余弦值． 17. 平面内点到点与到直线的距离之比为3. （1）求点的轨迹的方程; （2）为的左右顶点，过的直线与交于（异于）两点，与交点为，求证：点在定直线上. 18. 为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了下面的频率分布表（不完整），并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）. 学生与最近食堂间的距离 合计 在食堂就餐 0.15 0.10 0.00 0.50 点外卖 0.20 0.00 0.50 合计 0.20 0.15 0.00 1.00 （1）求出 的值并补全频率分布表； （2）根据频率分布表补全样本容量为的列联表（如下表），并根据小概率值 的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）； 根据频率分布表列出如下的列联表： 学生距最近食堂较近 学生距最近食堂较远 合计 在食堂就餐 点外卖 合计 （3）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.该校距李明较近的有甲、乙两家食堂，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.记他选择去甲食堂就餐为事件A，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件D，且D、A均为随机事件，证明：. 附：，其中. 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 19. 定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”. （1）给出两组函数，①和；②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”； （2）若是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，问是否存在使得和为“相伴函数”？若存在写出的一个值，若不存在说明理由； （3），写出“和为相伴函数”的充要条件，证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高考适应性训练 数 学 试 题 （三） 本试卷共19题，满分150分，共6页．考试用时120分钟． 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 的子集个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由交集运算与子集的定义求解即可 【详解】因为，， 所以 ， 所以 的子集为 ， 所以 的子集个数为1， 故选：B 2. 某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ） （若随机变量，则，，） A. 236 B. 246 C. 270 D. 275 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布在特定区间的概率及正态曲线的对称性进行计算即可得解. 【详解】由题可知，，，. 所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是天． 故选：B． 3. 已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两边平方求出数量积，然后在根据投影向量公式计算即可. 【详解】因为是单位向量，所以，由得，则，得， 设与的夹角为 ，则在方向上的投影向量为. 故选：A 4. 青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据 满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为 和 ，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，建立方程，结合对数运算求解即得. 【详解】依题意，，两式相减得， 解得，所以. 故选：D 5. 已知为定义在R上的偶函数，则函数的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定出的奇偶性，然后再逐项检验定义域和奇偶性即可. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，所以，即， 所以是定义在R上的偶函数. 对于选项A，因为，所以函数定义域为，所以不满足题意； 对于选项B，函数定义域为R， ，是奇函数，不符合题意； 对于选项C，函数定义域为R， 当时，，， 当时， ，， 且，所以为偶函数，符合题意； 对于选项D，函数定义域为R， ，为奇函数，不符合题意； 故选：C. 6. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 在上的最小值为 D. 直线是图象的一条对称轴 【答案】D 【解析】 【分析】由平移变换内容得可判断A；求出的增区间可判断B；依据的范围即可求出的值域即可判断C；根据对称轴方程求解的对称轴方程即可判断D. 【详解】对于选项A，由题意，可得， 故A错误； 对于选项B，令，， 所以在上单调递增，故B错误； 对于选项C，因为，所以，故， 在上的最小值为0，故C错误； 对于选项D，函数的对称轴方程为， 化简可得，取，可得， 所以是图象的一条对称轴，故D正确. 故选：D. 7. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可. 【详解】由单调递减可知：. 由单调递增可知：，所以，即，且. 由单调递减可知：，所以. 故选：D 8. 已知圆与抛物线 相交于两点，分别以为切点作的切线. 若都经过的焦点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，联立圆与抛物线的方程可得，再结合圆的切线性质及抛物线的定义求得，然后利用二倍角的余弦计算即得. 【详解】设，由消去得：， 则有，又为圆的切线，， 由抛物线的定义得，即有化简得：， 解得，因此，整理得， 而， 所以. 故选：C 【点睛】思路点睛：联立方程组，求出点横坐标满足的关系，再借助抛物线定义求出该横坐标. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 回归直线至少经过其样本数据中的一个点 B. 已知命题，，则命题的否定为， C. 若为取有限个值的离散型随机变量，则 D. 若一组样本数据、、、的平均数为10，另一组样本数据、、、的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为17和54 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，回归直线一定过样本中心点，回归直线可能不过任何一个点；对于选项B，全称量词命题的否定的方法是改量词，否结论；对于选项C，由即可判断正误；对于选项D，计算出、的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差. 【详解】对于选项A，回归直线一定经过样本中心点，但不一定经过其样本数据中的点，故A错误； 对于选项B，命题的否定为“”，故B正确； 对于选项C，为取有限个值的离散型随机变量，，则，故C错误； 对于选项D，由题意可知，数据、、、的平均数为 ，则，则， 所以，数据、、、， 平均数为，， 方差为， 即方差为，所以. 将两组数据合并后，新数据、、、、、、、， 平均数为， 方差为， 即方差为. 故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 是 上的增函数 B. 函数有且仅有一个零点 C. 函数的最小值为 D. 存在唯一个极值点 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：求导，代特值检验即可；对于B：分、和三种情况，结合函数值的符号分析判断零点；对于C：分、和三种情况，可得 ，即可判断；对于D：根据的单调性，结合零点存在性定理分析可知，使，进而判断的单调性和极值. 【详解】对于选项A：因为，则， 当时，则， 可得， 即，所以不是 上的增函数，故A错误； 对于选项B：因为， 当时，，可知是的零点； 当时，，可知在内无零点； 当时，，则， 可得，可知在内无零点； 综上所述：函数有且仅有一个零点，故B正确； 对于选项C：当时，； 当时，； 当时，则，，可得， 综上所述： ，所以不是函数的最小值，故C错误； 对于选项D：因为，， 所以的符号决定于， 显然是 上的增函数， 又因为当时，； 当时，， 所以，使， 所以在上为减函数，在上为增函数. 所以有唯一极小值点. 故D正确. 故选 ：BD. 11. 在正方体中，点满足，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当 时，正方体的棱长为时，的最小值为 D. 当时，存在唯一的点P，使得P到的距离等于P到的距离 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，利用的轨迹为线段，并证明平面即可；对于选项B，由点的轨迹为线段，可知到平面的距离为定值，从而验证结论；对于选项C，将三角形进行翻转，利用两点之间线段最短即可验证；对于选项D，使用抛物线的定义，作图即知结论成立. 【详解】对于选项A，当时，的轨迹为线段，连接 ，则. 又平面，平面，则， 平面， ∴ 平面，平面，则， 同理可得平面， 故平面， 平面，所以， 故A正确； 对于选项B，当时，点的轨迹为线段（为的中点）， 直线 平面，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于选项C，当 时，点轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知，由余弦定理可得 ，故C错误； 对于选项D，当时，点轨迹为以为圆心， 为半径的四分之一圆弧， 由点到的距离等于到的距离，即点到点的距离等于到的距离， 则点轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线上， 作图即知，存在唯一的点，使得点到的距离等于到的距离， 故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不同情况分析点的轨迹，利用轨迹研究问题即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人． 【答案】1800 【解析】 【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解. 【详解】由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人， 所以抽取的比例为 设该校共有名学生，可得， 解得人，即该校共有1800名学生. 故答案为：1800. 13. 已知分别是椭圆的左，右焦点，是上两点，且，，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用椭圆的定义式，分别表示出，和，利用，推理得到，利用建立的齐次式，计算即得. 【详解】如图，连接，设，则，，， 在中，，即， ，，，， 在中，，即， ，，又， . 故答案为：. 14. 已知函数，若 恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式做适当变形构造函数，利用函数单调性把参数分离出来，最后转化为求函数最值问题。 【详解】∵ ∴ 两边加上得 设，则在上单调递增， ∴，即 令，则 ∵的定义域是 ∴当时，， 单调递增； 当时，， 单调递减， ∴当时， 取得极大值即为最大值，且， ∴，∴即为所求. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前项的和，已知. （1）求的通项公式； （2）令，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用数列通项与前n项和的关系判定数列是等差数列，进而求得其通项公式； （2）先利用（1）的结论，求得数列是等比数列，进而求得其前n项和. 【小问1详解】 当 时， 则有： 化简得 又是以2为首项，1为公差的等差数列 的通项公式为 【小问2详解】 由（1）知： 当 时， 又是以为首项，为公比的等比数列 16. 如图，在直角梯形中，，， ，是的中点， 是与的交点．将沿折起到 的位置，如图 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若平面 平面 ，求平面与平面 夹角的余弦值． 【答案】（1） 在图1中连接，因为， ，是的中点，， 所以四边形为正方形，四边形 为平行四边形，所以， ． 即在图2中，， ， ， 平面 ， 所以 平面 ． 又 ，所以平面 ． 因为平面 ，所以平面 平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面几何的性质得到，即可得到， ，即可得到 平面 ，再由 ，得到平面 ，从而得证； （2）依题意可得 为二面角 的平面角，即，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知，平面 平面 ，又由（1）知，， ． 所以 为二面角 的平面角，所以． 如图，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 ，所以 ，因为 ， 所以，，，． 得， ，. 设平面的法向量，平面 的法向量，平面与平面 夹角为 ， 则，得，取. 同理：，得，取. 从而， 即平面与平面 夹角的余弦值为． 17. 平面内点到点与到直线的距离之比为3. （1）求点的轨迹的方程; （2）为的左右顶点，过的直线与交于（异于）两点，与交点为，求证：点在定直线上. 【答案】（1） （2）证明如下： 由（1）知，设直线 ，且 ， 联立方程组 ，整理得， 则，可得.，所以， 且， ① 又由和 ， 两式相除得:， ② 由①式可得，带入②式， 解得 ，所以点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）设 ，根据列出方程 ，即可求解； （2）设直线 ，联立方程组，求得，再由直线和，化简得到，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【小问1详解】 设 是所求轨迹上的任意一点， 因为点到点与到直线的距离之比为，可得 ， 整理得:，所以轨迹的方程为. 【小问2详解】 略 18. 为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了下面的频率分布表（不完整），并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）. 学生与最近食堂间的距离 合计 在食堂就餐 0.15 0.10 0.00 0.50 点外卖 0.20 0.00 0.50 合计 0.20 0.15 0.00 1.00 （1）求出 的值并补全频率分布表； （2）根据频率分布表补全样本容量为的列联表（如下表），并根据小概率值 的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）； 根据频率分布表列出如下的列联表： 学生距最近食堂较近 学生距最近食堂较远 合计 在食堂就餐 点外卖 合计 （3）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.该校距李明较近的有甲、乙两家食堂，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.记他选择去甲食堂就餐为事件A，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件D，且D、A均为随机事件，证明：. 附：，其中. 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1），频率分布表见解析； （2）列联表见解析，能； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布表估算平均数的方法列式计算即得 值，再补全频率分布表. （2）由（1）完善列联表，计算的观测值，比对并回答结论. （3）由已知可得，再利用对立事件及条件概率公式，借助作差法比较大小即可. 【小问1详解】 组的频率为， 估计学生与最近食堂间的平均距离， 解得， 所以补全频率分布表如下： 学生与最近食堂间的距离 合计 在食堂就餐 0.15 0.20 0.10 0.05 0.00 0.50 点外卖 0.05 0.20 0.15 0.10 0.00 0.50 合计 0.20 0.40 0.25 0.15 0.00 1.00 【小问2详解】由（1）知，名学生中，距最近食堂较近的学生有名，在食堂就餐的有名， 距最近食堂较远的学生中，在食堂就餐的有名， 因此列联表如下： 学生距最近食堂较近 学生距最近食堂较远 合计 在食堂就餐 700 300 1000 点外卖 500 500 1000 合计 1200 800 2000 零假设：学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关， 于是， 根据小概率值 的独立性检验，推断不成立， 即可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关. 【小问3详解】 依题意，，， 显然，则， 由条件概率公式知，即， ， 所以成立. 19. 定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”. （1）给出两组函数，①和；②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”； （2）若是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，问是否存在使得和为“相伴函数”？若存在写出的一个值，若不存在说明理由； （3），写出“和为相伴函数”的充要条件，证明你的结论. 【答案】（1）第①组是，第②组不是 （2）存在， （3）“和为相伴函数”的充要条件是，证明如下： 因为， 若和为相伴函数 即对 恒成立， 可得 ， 即， 即，可得， 由于取遍内的所有实数，因此当且仅当时成立， 所以，所以必要性得证. 下面证明充分性： 已知，则， ， 此时，所以， 即成立，和为相伴函数. 所以“和为相伴函数”的充要条件是. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合相伴函数的定义，逐个运算和判定，即可求解； （2）根据题意得，得到，若 和为“相伴函数”得到，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，得到“和为相伴函数”的充要条件，结合充分条件和必要条件的判定方法，以及三角恒等变换的公式，作出证明，即可求解. 【小问1详解】 第①组是，第②组不是. ①中，函数和，可得和， 所以，所以这两组函数是“相伴函数”. ②中，函数和，和， 所以不一定为非正数， 所以这两组函数不是 “相伴函数”. 【小问2详解】 存在 ，使得和为“相伴函数”. 证明如下： 由， 所以， 可得. 若和为“相伴函数”则成立， 即， 若，由，可得， 则可取，满足成立； 若，所以， 若 ，则不等式无解；若，则无解， 综上可得，存在 ，使得和为“相伴函数”. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决； 3、若新定义与函数有关，可得利用函数的解析式，结合函数的性质等相关知识，转化为函数的基本性质或运算法则求解； 4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $