精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期5月质量检测数学试卷

华东师大二附中2023学年第二学期5月质量检测 高一数学 （考试时间：120分钟 卷面满分：150分） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 2024弧度的角在第______象限. 2. 已知为虚数单位，则复数的虚部为__________． 3. 在直角中，，则的值是__________． 4. 已知，且在第二象限，则__________． 5. 函数图像的对称中心的坐标为__________． 6. 若非零向量，且设，则实数__________． 7. 已知复数满足，，则的取值范围是__________． 8. 已知、分别是函数在轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且，则该函数的最小正周期是_____ 9. 已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数图像关于直线对称,则的值为________． 10. 正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为__________． 11. 已知为虚数单位，复数，其中为正偶数，．则当取到最小值时，值为__________． 12. 已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足＝0（n＝1，2，3），，则的最小值为______． 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．） 13. 已知，语句中至少有一个为虚数，语句为虚数．则是的（ ）条件． A. 充要 B. 充分不必要 C 必要不充分 D. 既不充分也不必要 14. 已知向量满足，且，则、、中最小的值是（ ） A. B. C. D. 不能确定的 15. 已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列情况不可能发生的是（　　　　） A. B. C. D. 16. 已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 设关于的方程的两根为 （1）若，求的值； （2）若方程至少有一根的模为，求的值． 18. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且． （1）求角B的大小； （2）若为锐角三角形，求的值域． 19. 圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年货币．如图1，其边框由大､小不等的两个同心圆围成，内嵌的正方形孔的中心与同心圆的圆心重合．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其“小圆”内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比正方形孔的边长小､用于刻铜钱上的字），每个正方形有两个顶点在圆周上､另两个顶点在孔边上．设，五个正方形的面积和为． （1）求面积关于的函数表达式； （2）求面积最小值，和取到最小值时的的值． 20. 已知，是的中点． （1）若，求向量与向量夹角的余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值； （3）若点是内一点，且，求的最小值． 21. 已知为虚数单位，复数满足． （1）若，求复数的辐角主值； （2）若，复数满足为实数．则复数在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由． （3）已知复平面上点对应的复数分别为．记复数的辐角主值为．求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大二附中2023学年第二学期5月质量检测 高一数学 （考试时间：120分钟 卷面满分：150分） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 2024弧度的角在第______象限. 【答案】一 【解析】 【分析】根据象限角的定义结合弧度制分析求解即可. 【详解】因为， 可知2024弧度的角的终边在第一象限， 所以2024弧度的角在第一象限. 故答案为：一. 2. 已知为虚数单位，则复数的虚部为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则计算即可. 【详解】， 故的虚部为. 故答案为： 3. 在直角中，，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将作为基底，用将表示，代入化简计算即可. 【详解】因为，所以， 因为,， 所以, 故答案为： 4. 已知，且在第二象限，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的关系求出，再求出，然后利用正切的二倍角公式可求得结果. 【详解】因为，且在第二象限， 所以， 所以， 所以， 故答案为： 5. 函数图像对称中心的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，可求的对称中心. 【详解】由，可得， 所以的对称中心为. 故答案为： 6. 若非零向量，且设，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的加减法法则对化简变形，然后结合可求得结果. 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 故答案为： 7. 已知复数满足，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义画图求解即可. 【详解】根据复数的模的几何意义可知，复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 复数 对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 则的几何意义为圆上的点到圆上的点的距离， 根据图象可知 故答案为： 8. 已知、分别是函数在轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且，则该函数的最小正周期是_____ 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的草图分析可得，，，，再结合勾股定理，求解即可得到结果. 【详解】画出函数的草图如下， 连接AB，因为A，B分别是函数在轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，所以，，， 又，由勾股定理可得， 即，解得. 故答案为. 【点睛】本题考查根据的图象求解析式，灵活运用其中的几何关系是解题的关键，属中档题. 9. 已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得 ,且,所以 考点:本题主要考查三角函数的性质. 10. 正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据求出点的坐标，设出，将转化为关于，即可求出其最小值. 【详解】如图，以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴，以过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，则, 所以， 所以，即点的坐标为， 设，则（）， 所以， 所以 ， 所以当，且时，取得最小值， 故答案为： 11. 已知为虚数单位，复数，其中为正偶数，．则当取到最小值时，的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理将展开，然后根据得到为实数，即可得到，最后计算的情况即可. 【详解】， 因为，则， 当时，，不成立； 当时，，解得或0或-1， 又，则，此时，不成立； 当时，，解得或或0， 又，则或， 当时，，成立，当时，，不成立； 所以当最小时，. 故答案为：. 12. 已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足＝0（n＝1，2，3），，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据已知条件求得的表达式，并利用基本不等式求得的最小值，进而求得的最小值. 【详解】设，则， 设，如图，则： ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．） 13. 已知，语句中至少有一个为虚数，语句为虚数．则是的（ ）条件． A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】由必要不充分条件的定义、复数的概念即可判断. 【详解】若、皆实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立； 当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立， 故选：C. 14. 已知向量满足，且，则、、中最小的值是（ ） A. B. C. D. 不能确定的 【答案】B 【解析】 【分析】可在两边分别乘，，可得出，，，再根据，即可判断. 【详解】解：∵， ∴，，. ∴，，. ∵， ∴，. ∴， ∴． 故选：B． 15. 已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列情况不可能发生的是（　　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的单调性，取特殊值排除选项. 【详解】取时，则，，函数在上单调递减，最大值为，函数在上单调递减，最大值为，故A正确； 取时，则，，函数在上单调递减，最大值为，函数在上单调递减，在上单调递增，最大值为，故B正确； 取时，则，，函数在上单调递减，在上单调递增，最大值为，函数在上单调递增，，最大值为，故C正确； 所以不可能发生的是D. 故选：D. 16. 已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】假设，根据模长公式构造关于的函数，从而可确定当取最大值时，的取值，从而求得；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状. 【详解】因为 ，所以可设， 所以， 所以， 当时，取最大值， 即当，即时，取最大值， 此时， 所以对应的点， 所以，， ， 所以，根据各边关系易知各边对应角为锐角， 所以该图形为等腰三角形. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于能够根据的模长将为，从而可利用三角函数的知识确定的最大值，根据复数几何意义可确定对应的点的坐标，进而可求得三角形的各个边长. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 设关于的方程的两根为 （1）若，求的值； （2）若方程至少有一根的模为，求的值． 【答案】（1） （2）的所有可能值为 【解析】 【分析】（1）直接使用韦达定理即可； （2）分根是实数和虚数两种情况分类讨论. 【小问1详解】 由韦达定理得，. 所以. 【小问2详解】 设方程有一根的模长为，则，. 若是实数，则，而，故或； 若不是实数，设，则. 从而，故. 所以. 这表明的取值只可能是. 对，可取；对，可取；对，可取. 所以的所有可能值为. 18. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且． （1）求角B的大小； （2）若为锐角三角形，求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行得到，结合正弦定理化简得到，进而根据余弦定理求得即可得到答案； （2）根据化简函数，得到原函数即为，结合锐角三角形得到进而即可得到答案. 【小问1详解】 因为，，且， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以，化简得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以 【小问2详解】 由（1）得，，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以，则 即的值域为 19. 圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，其边框由大､小不等的两个同心圆围成，内嵌的正方形孔的中心与同心圆的圆心重合．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其“小圆”内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比正方形孔的边长小､用于刻铜钱上的字），每个正方形有两个顶点在圆周上､另两个顶点在孔边上．设，五个正方形的面积和为． （1）求面积关于的函数表达式； （2）求面积最小值，和取到最小值时的的值． 【答案】（1） （2），此时 【解析】 【分析】（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，则点分别为小正方形和大正方形边的中点，从而可表示出小正方形和大正方形的边长，进而可表示出面积 （2）对利用三角函数恒等变换公式化简变形后可求得其最小值. 【小问1详解】 过点分别作小正方形边，大正方形边垂线，垂足分别为， 因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合， 所以点分别为小正方形和大正方形边的中点． 所以小正方形的边长为， 大正方形边长为， 所以五个正方形的面积和为 ， 因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长， 所以，得， 又大正方形的边长小于等于，当大正方形的边长等于时，设小正方形的边长为2x， 则,解得,此时， 所以定义域为， 所以; 【小问2详解】 ，其中， 所以， 此时， 因为，所以， 得，所以. 20. 已知，是的中点． （1）若，求向量与向量的夹角的余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值； （3）若点是内一点，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）6 【解析】 【分析】 （1）根据向量数量积等于，可得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，根据向量加法、减法以及数量积的坐标表示即可求向量的夹角. （2）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示即可求解. （3）设，可得，利用向量的数量积可得，，再将平方，根据向量数量积定义以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系． 令，则， 所以， 设向量，与向量的夹角为， ， （2）因为，所以， 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系． 因为，则， 设 ， 当且仅当时，的最小值是． （3）设， ， 同理：， 当且仅当时，所以． 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量数量积的定义、利用向量数量积求向量的夹角，考查了运算求解能力，属于中档题. 21. 已知为虚数单位，复数满足． （1）若，求复数的辐角主值； （2）若，复数满足为实数．则复数在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由． （3）已知复平面上点对应的复数分别为．记复数的辐角主值为．求的取值范围． 【答案】（1） （2）以为圆心､半径为1的圆，不含点，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求得复数，可求辐角主值； （2）法一：设，，可得为纯虚数，可求得，且； 法二：与对应的向量垂直，所以为纯虚数，，与对应的向量垂直，可得对应点在以点的连线为直径的圆上； （3）设，则，设的一个辐角为的一个辐角为，可得，令，设，利用车辅助角公式可求得范围，分类可求得的范围. 【小问1详解】 的辐角主值为． 【小问2详解】 设，则 为纯虚数 为纯虚数 ，为纯虚数或0 即，且． 是以为圆心､半径为1的圆，不含点 解法二：与对应的向量垂直，所以为纯虚数 为纯虚数或0 与对应的向量垂直， 对应点在以点的连线为直径的圆上，且 综上，是以为圆心､半径为1的圆，不含点 【小问3详解】 设，则． 设的一个辐角为的一个辐角为． ． 令． 设，即，解得范围为， 若，则的范围是若，则的范围是． 的范围是． 【点睛】方法点睛：与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相应的关系求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $