精品解析：吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题

东北师大附中初中部2023-2024学年第二学期期中考试初二年级数学学科试卷 考试时长：120分钟 试卷分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使分式有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，枫叶遮盖了一点P，则点P的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 3. 在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝十分之一粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，“飞刃”的直径为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A B. C. D. 5. 如果把中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的9倍 D. 不变 6. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．当直线与有交点（包括顶点）时，b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：________． 10. 若分式的值为零，则x的值为 _____． 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形是平行四边形，则点D的坐标为________． 12. 已知点与点关于y轴对称，则的值为________． 13. 若一次函数（b为常数）的图象与正比例函数的图象的交点到x轴和y轴的距离之和等于4，则b的值为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形AOBC的顶点在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图象上，则图中两菱形重叠部分（阴影部分）的面积为________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点，． （1）画出关于点O成中心对称的； （2）画出绕点O逆时针旋转得到的． 18. 列分式方程解决问题： 某公司决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车的进价比每辆B型汽车的进价多5万元，若用3000万元购进A型汽车的数量与用2000万元购进B型汽车的数量相同，求每辆B型汽车的进价是多少万元． 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，我校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《呐喊》两种读物．已知购买2本《艾青诗选》和1本《呐喊》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《呐喊》需60元． （1）求购买1本《艾青诗选》和1本《呐喊》各需多少元； （2）若某班计划购买《艾青诗选》和《呐喊》共45本，其中《呐喊》数量不少于《艾青诗选》数量的2倍，设购买《艾青诗选》m本，购买两种读物所需费用共w元，则m为何值时总费用w最小，并求出w的最小值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，坐标轴的单位长度为．平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，直尺的宽度为，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）若经过A、C两点直线解析式为，当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）连结，则面积为 ． 21. 甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发，骑行3千米时，乙才出发，开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变．2.8小时后，甲到达B地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程y（千米）与乙骑行时间x（小时）之间关系如图所示． （1）图中t的值为 ； （2）求甲改变骑行速度后，y与x的函数关系式； （3）直接写出在乙骑行过程中，甲、乙两人相距2千米时x的值． 22. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 … y … 2 1 0 1 2 1 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示． 结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： （1）点，，，在函数图象上，则 ， ；（填“>”、“=”或“<”） （2）当函数值时，自变量x的值为 ； （3）在此直角坐标系中画出函数的图象；（不需列表） （4）当关于x的方程有三个不同的解时，直接写出b的取值范围． 23. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，例如：． 类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如：，就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如：，就是假分式．假分式可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式： 例如： ①； ②． （1）把假分式化为带分式的形式为 ； （2）对于函数，当时，y随着x的增大而 （填“增大”或“减小”）；对于函数，当时，y随着x的增大而 （填“增大”或“减小”）； （3）求函数的最大值； （4）直接写出函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点Q为点P的理想点．例如，点的理想点为． （1）点的理想点坐标是 ；若点P的理想点为，则点P的坐标是 ； （2）若点的理想点在直线上，则a的值为 ； （3）点P在直线上，其横坐标为，点Q为点P的理想点．若点Q到x轴的距离等于它到y轴的距离的2倍，求的值； （4）正方形各顶点的坐标分别为，，，．点在直线上，点Q为点P的理想点，连结．当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东北师大附中初中部2023-2024学年第二学期期中考试初二年级数学学科试卷 考试时长：120分钟 试卷分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使分式有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即， 故选：B． 2. 如图，枫叶遮盖了一点P，则点P的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 根据图形可得点P在第四象限，再根据第四象限内的点的坐标符号为（＋，－）进而得出答案． 【详解】解：由图形可得：点的坐标可能是． 故选：C． 3. 在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝十分之一粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，“飞刃”的直径为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选B． 4. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可直接进行排除选项． 【详解】解：由反比例函数可得：， ∵反比例函数图像上的点满足横坐标与纵坐标之积等于k， ∴只有D选项符合，而A、B、C选项横、纵坐标之积不为， 故选D． 5. 如果把中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的9倍 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据，判断作答即可． 【详解】解：由题意知，x和y都扩大为原来的3倍，则， ∴分式的值扩大为原来的3倍， 故选：A． 6. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线的交点坐标和函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：直线与直线相交于点， 不等式的解集是， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，熟练掌握一次函数与不等式的关系是解题关键． 7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点、、的坐标分别代入解析式计算出、、的值，然后比较大小即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，，， ． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．当直线与有交点（包括顶点）时，b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键，分别将代入一次函数中求出b，即可得到b的取值范围． 【详解】解：将点代入直线中，得：， ∴， 将点代入直线中，得：， ∴， 将点代入直线中，得：， ∴， ∴要使直线与有交点，且， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂的性质和零指数幂的性质及绝对值的性质是解答本题的关键．根据负整数指数幂的性质和零指数幂的性质及绝对值的性质运算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为： 10. 若分式的值为零，则x的值为 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据“分式的值为零，需同时具备两个条件分子为0，分母不为0”列式计算即可求解． 【详解】解：因为分式的值为零， 所以， 解得：． 故答案为：1． 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形是平行四边形，则点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，设，根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 详解】解： 设， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴点D的坐标为； 故答案为：． 12. 已知点与点关于y轴对称，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据关于轴对称求出、的值，再代入求出即可． 【详解】解：点与点关于y轴对称， ，， ， 故答案为：2 13. 若一次函数（b为常数）的图象与正比例函数的图象的交点到x轴和y轴的距离之和等于4，则b的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数及正比例函数交点问题，解决本题的关键是熟练掌握一次函数上点的坐标特征，由交点在正比例函数的图象上，且到x轴和y轴的距离之和等于4，可得该交点坐标为或，再代入求解即可． 【详解】由题意得，交点在正比例函数的图象上，且到x轴和y轴的距离之和等于4， 该交点坐标为或 将代入得，解得：， 将代入得，解得：， 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形AOBC的顶点在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图象上，则图中两菱形重叠部分（阴影部分）的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，由点A坐标求出，，求得，从而可求出阴影部分的面积 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵, ∴, ∴ ∵在上， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴ 由平移得， ∴点横坐标为2，纵坐标为 ∴ ∴ ∴阴影部分的面积为：, 故答案为： 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）根据分式的乘方以及分式的乘法运算进行计算即可求解； （2）根据分式的加减与除法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可； （2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 小问1详解】 解： 方程两边同乘，去分母得， 去括号得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，去分母得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根，原分式方程无解． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点，． （1）画出关于点O成中心对称的； （2）画出绕点O逆时针旋转得到的． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换和中心对称，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用中心对称变换的性质分别作出A、B、的对应点、再顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A、B、的对应点、再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：∵，． ∴，． ∴如下图所示： 【小问2详解】 逆时针旋转后的坐标为： ∵，且， 根据旋转得性质可得出：， ∴， ∴如下图所示： 18. 列分式方程解决问题： 某公司决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车的进价比每辆B型汽车的进价多5万元，若用3000万元购进A型汽车的数量与用2000万元购进B型汽车的数量相同，求每辆B型汽车的进价是多少万元． 【答案】每辆B型汽车的进价是10万元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每辆B型汽车的进价为x万元，则每辆A型汽车的进价为万元，根据用3000万元购进A型汽车的数量与用2000万元购进B型汽车的数量相同，列分式方程进行计算求解即可． 【详解】解：设每辆B型汽车的进价为x万元，则每辆A型汽车的进价为万元． 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：每辆B型汽车的进价是10万元． 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，我校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《呐喊》两种读物．已知购买2本《艾青诗选》和1本《呐喊》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《呐喊》需60元． （1）求购买1本《艾青诗选》和1本《呐喊》各需多少元； （2）若某班计划购买《艾青诗选》和《呐喊》共45本，其中《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的2倍，设购买《艾青诗选》m本，购买两种读物所需费用共w元，则m为何值时总费用w最小，并求出w的最小值． 【答案】（1）《艾青诗选》的单价10元，《呐喊》的单价15元． （2）时，总费用w最小，为600元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式、一次函数的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）设《艾青诗选》的单价x元，《呐喊》的单价y元．根据“购买2本《艾青诗选》和1本《呐喊》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《呐喊》需60元．”列出方程组，即可求解； （2）根据“《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的2倍，”列出不等式，即可求出的取值范围，再列出费用关于的函数解析式，根据一次函数的性质求得最小值即可求解． 【小问1详解】 解：设《艾青诗选》的单价x元，《呐喊》的单价y元． 根据题意可得：， 解得， 答：《艾青诗选》的单价10元，《呐喊》的单价15元． 【小问2详解】 解：根据题意：，解得， ， ∵， ∴w随m增大而减小， ∴当时，w最小， （元） 答：时，总费用w最小，为600． 20. 如图，在平面直角坐标系中，坐标轴单位长度为．平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，直尺的宽度为，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）若经过A、C两点的直线解析式为，当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）连结，则的面积为 ． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，函数与不等式的关系，比例系数的几何意义． （1）由图象确定出的坐标，然后将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可求得反比例函数解析式； （2）先求得点的横坐标，然后根据图象求得即可； （3）根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，再计算，然后进行计算即可． 【小问1详解】 由题意可知，， 将点坐标代入中，得：， ， 双曲线的解析式为； 【小问2详解】 ， 点的横坐标为4， 由图象可知，当时，或； 【小问3详解】 把代入，得， ， ，， ． 故答案为： 21. 甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发，骑行3千米时，乙才出发，开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变．2.8小时后，甲到达B地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程y（千米）与乙骑行时间x（小时）之间的关系如图所示． （1）图中t的值为 ； （2）求甲改变骑行速度后，y与x的函数关系式； （3）直接写出在乙骑行过程中，甲、乙两人相距2千米时x的值． 【答案】（1）1． （2）． （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息． （1）求出乙的速度为15千米时，根据开始时，甲、乙两人骑行速度相同，可得； （2）设甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为，把，代入可得； （3）根据甲乙两人相距列方程求值即可． 【小问1详解】 由图象可得，乙的速度为（千米时）， 开始时，甲、乙两人骑行速度相同， ， 故答案为：1； 【小问2详解】 设甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为， 把，代入得： ， 解得， 甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为； 【小问3详解】 乙的速度为15千米小时， 乙骑行过程中，关于的函数解析式为， 甲、乙两人相遇前后相距， 则， 解得或 所以当或时，甲乙两人相距． 故答案为：或 22. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 … y … 2 1 0 1 2 1 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示． 结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： （1）点，，，在函数图象上，则 ， ；（填“>”、“=”或“<”） （2）当函数值时，自变量x的值为 ； （3）在此直角坐标系中画出函数的图象；（不需列表） （4）当关于x的方程有三个不同的解时，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）>，> （2）或1； （3）见解析 （4）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据函数的增减性即可比较； （2）根据图象求解即可； （3）根据函数解析式画出函数图象即可； （4）根据图象即可求出的取值范围． 【小问1详解】 点，，，，，在函数图象上， 根据图象可知，当时，随着增大而减小，当时，随着增大而减小， ，， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 当函数值时，的值为或1， 故答案为：或1； 【小问3详解】 函数图象如图所示： 【小问4详解】 当过点时， 可得， 解得， 当方程有三个不同的解时，则的取值范围为， 故答案为：． 23. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，例如：． 类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如：，就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如：，就是假分式．假分式可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式： 例如： ①； ②． （1）把假分式化为带分式的形式为 ； （2）对于函数，当时，y随着x的增大而 （填“增大”或“减小”）；对于函数，当时，y随着x的增大而 （填“增大”或“减小”）； （3）求函数的最大值； （4）直接写出函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标． 【答案】（1） （2）减小，增大； （3）当时，分式有最大值，最大值为5． （4）函数图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标为和． 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，反比例函数的性质； （1）仿照例题将假分式化为带分式的形式即可求解； （2）类比的性质，即可求解． （3）原函数先化为，根据，随的增大而减小即可求解； （4）原函数先化为，根据为整数，且x为整数，即可求解． 【小问1详解】 【小问2详解】 对于函数，当时，y随着x的增大而减小，对于函数，当时，y随着x的增大而增大 故答案为：减小，增大； 【小问3详解】 ， ∵，随的增大而减小 ∴随的增大而减小 ∴当时，最小，此时y最大，， 综上，当时，分式有最大值，最大值为5． 【小问4详解】 ， ∵为整数，且x为整数， ∴则，∴或． 时，，时， ∴函数图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标为和． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点Q为点P的理想点．例如，点的理想点为． （1）点的理想点坐标是 ；若点P的理想点为，则点P的坐标是 ； （2）若点的理想点在直线上，则a的值为 ； （3）点P在直线上，其横坐标为，点Q为点P的理想点．若点Q到x轴的距离等于它到y轴的距离的2倍，求的值； （4）正方形各顶点的坐标分别为，，，．点在直线上，点Q为点P的理想点，连结．当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3），． （4）或． 【解析】 【分析】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握“理想点”的定义，并熟练加以运用，及一次函数图象上点的坐标和分类讨论思想的运用． （1）根据“理想点”定义进行求解即可； （2）若点的理想点为，即，由点在直线上，可得，解之可得； （3）先根据点Q为点P的理想点．求得，再由点Q到x轴的距离等于它到y轴的距离的2倍，列出方程，求解即可； （4）先根据题意画出图形，再求得也在直线上，然后根据题意分类讨论求解即可． 【小问1详解】 根据题意可得：点的理想点坐标是，即； 若点P的理想点为，则，解得， 点P的坐标是， 故答案为：，； 【小问2详解】 若点的理想点为，即， 点在直线上， ， 解得： 所以的值为， 故答案为：； 【小问3详解】 点P在直线上，其横坐标为， ， 点Q为点P的理想点． ， 点Q到x轴的距离等于它到y轴的距离的2倍， ， 解得：或； 【小问4详解】 如图， 将代入中，得， 则， 将代入中，得， 则， 在直线上， ， 点Q为点P的理想点， ， 令，得， 也在直线上， 当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，分两种情况讨论： 当点P点F下方（含点F），点Q在线段EF上时，符合题意， ，解得， 当点P在线段EF上，点Q在点E上方（含点E）时，符合题意， ，解得， 故m的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$