微专题提优讲义1一元二次不等式恒成立——2025届高三数学一轮复习

微专题提优1 　一元二次不等式恒（能）成立问题 　　 　　解决不等式恒（能）成立问题，常用的方法有：分离参数法、数形结合法、判别式法、主参换位法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体的条件求解. 一、判别式法解决恒成立问题 【例1】　若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 方法技巧 （1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 （2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是 提醒　当不等式ax2＋bx＋c＞0未说明为一元二次不等式时，要对a分a＝0或a≠0进行讨论. 二、数形结合法解决恒成立问题 【例2】　已知函数f（x）＝x2－mx＋2m－4（m∈R）.当x＞2时，不等式f（x）≥－1恒成立，求m的取值范围. 方法技巧 （1）在R上恒成立：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方； （2）在给定区间恒成立：可结合二次函数的图象进行求解，设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）： ①a＞0时，f（x）＜0在α≤x≤β时恒成立⇔ ②a＜0时，f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立⇔ ③f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立⇔{x｜α≤x≤β}⊆A，其中A是f（x）＞0的解集. 三、分离参数法解决恒成立问题 【例3】　∀x∈{x｜2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1＜0恒成立，求m的取值范围. 方法技巧 如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值（范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地，a≥f（x）恒成立时，应有a≥[f（x）]max，a≤f（x）恒成立时，应有a≤[f（x）]min. 四、主参换位法解决恒成立问题 【例4】　已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为　 　. 方法技巧 如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 五、转化为函数（式子）的最值解决能成立问题 【例5】　已知f（x）＝2x2－12x＋10，若对于任意的x∈[1，3]，不等式f（x）≤2＋t能成立，则实数t的取值范围是　 　. 方法技巧　（1）a＞f（x）能成立⇔a＞f（x）min； （2）a＜f（x）能成立⇔a＜f（x）max. 跟踪训练 1.（2024·宿迁模拟）若不等式x2＋px＞4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围为（　　） A.[－1，3] B.（－∞，－1] C.[3，＋∞） D.（－∞，－1）∪（3，＋∞） 2.函数f（x）＝x2＋ax＋3. （1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围； （2）当x∈[－2，2]时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围. 课后训练题 1．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 4．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D． 5．（多选）已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（ ） A． B． C．1 D．2 6．（多选）关于x的不等式的解集为非空集合的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 7．若 使得不等式 成立，则实数的取值范围是 8．命题“，”为真命题，则实数a的取值范围 ． 9．已知函数. （1）若，试讨论不等式的解集； （2）若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 10．已知. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若，解不等式. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题提优1 　一元二次不等式恒（能）成立问题 　　 　　解决不等式恒（能）成立问题，常用的方法有：分离参数法、数形结合法、判别式法、主参换位法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体的条件求解. 一、判别式法解决恒成立问题 【例1】　若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 解：原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0， ∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0， 即4－4（a2－3a－3）≤0，即a2－3a－4≥0， 解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是{a｜a≤－1或a≥4}. 方法技巧 （1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 （2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是 提醒　当不等式ax2＋bx＋c＞0未说明为一元二次不等式时，要对a分a＝0或a≠0进行讨论. 二、数形结合法解决恒成立问题 【例2】　已知函数f（x）＝x2－mx＋2m－4（m∈R）.当x＞2时，不等式f（x）≥－1恒成立，求m的取值范围. 解：f（x）≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x＞2时恒成立， 令g（x）＝x2－mx＋2m－3， ①若≤2，即m≤4，如图（ⅰ）， 只需g（2）≥0， 即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立， ∴m≤4满足题意； ②若＞2，即m＞4，如图（ⅱ）， 只需Δ＝m2－4（2m－3）≤0， 则（m－2）（m－6）≤0，∴4＜m≤6. 综上所述，m的取值范围为{m｜m≤6}. 方法技巧 （1）在R上恒成立：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方； （2）在给定区间恒成立：可结合二次函数的图象进行求解，设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）： ①a＞0时，f（x）＜0在α≤x≤β时恒成立⇔ ②a＜0时，f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立⇔ ③f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立⇔{x｜α≤x≤β}⊆A，其中A是f（x）＞0的解集. 三、分离参数法解决恒成立问题 【例3】　∀x∈{x｜2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1＜0恒成立，求m的取值范围. 解：由不等式mx2－mx－1＜0，得m（x2－x）＜1， 因为x∈{x｜2≤x≤3}，所以x2－x＞0，所以m（x2－x）＜1可化为m＜恒成立. 因为x2－x＝（x－）2－≤6，所以≥，所以m＜. 故m的取值范围是{m｜m＜}. 方法技巧　如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值（范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地，a≥f（x）恒成立时，应有a≥[f（x）]max，a≤f（x）恒成立时，应有a≤[f（x）]min. 四、主参换位法解决恒成立问题 【例4】　已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为（－∞，1）∪（3，＋∞）　. 解析：把不等式的左端看成关于a的函数，记f（a）＝（x－2）a＋x2－4x＋4，则由f（a）＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）＝x2－5x＋6＞0，且f（1）＝x2－3x＋2＞0，解不等式组得x＜1或x＞3. 方法技巧 如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 五、转化为函数（式子）的最值解决能成立问题 【例5】　已知f（x）＝2x2－12x＋10，若对于任意的x∈[1，3]，不等式f（x）≤2＋t能成立，则实数t的取值范围是　[－10，＋∞）　. 解析：不等式f（x）≤2＋t在x∈[1，3]上能成立，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1，3]时有解，只要t≥（2x2－12x＋8）min即可，不妨设g（x）＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，则g（x）在[1，3]上单调递减，所以g（x）≥g（3）＝－10，所以t≥－10. 方法技巧　（1）a＞f（x）能成立⇔a＞f（x）min； （2）a＜f（x）能成立⇔a＜f（x）max. 跟踪训练 1.（2024·宿迁模拟）若不等式x2＋px＞4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围为（　　） A.[－1，3] B.（－∞，－1] C.[3，＋∞） D.（－∞，－1）∪（3，＋∞） 解析：D　不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为（x－1）p＋x2－4x＋3＞0，令f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3（0≤p≤4），可得∴x＜－1或x＞3. 2.函数f（x）＝x2＋ax＋3. （1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围； （2）当x∈[－2，2]时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围. 解：（1）当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，只需Δ＝a2－4（3－a）≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6，2]. （2）由题意，可得x2＋ax＋3－a≥0在[－2，2]上恒成立，令g（x）＝x2＋ax＋3－a，则有①g（x）中Δ≤0或②或③ 解①得－6≤a≤2，解②得无实数解，解③得－7≤a＜－6. 综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2]. 课后训练题 1．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：时，不等式可化为，对任意实数x均成立，满足题意； 时，不等式对任意实数x均成立， 等价于，∴． 综上，实数a的取值范围是． 2．若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：依题意，至少存在一个，使得关于的不等式成立， 即至少存在一个，使得关于的不等式成立， 画出以及的图象如下图所示，其中. 当与相切时， 由消去并化简得， . 当与相切时， 由消去并化简得①， 由解得，代入①得， 解得，不符合题意. 当过时，. 结合图象可知的取值范围是. 3．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 解析：若不等式有解，则， 因为，，所以， 当，即时，等号成立，的最小值为4， 所以，解得：或， 所以实数的取值范围是或 选项中只有CD满足条件.故选：CD 4．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D． 解析：依题意，对任意的实数，不等式恒成立， 整理得，令， 则，解得或.故选：A 5．（多选）已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（ ） A． B． C．1 D．2 解析：由，， 可得：，设， 当时，， 当且仅当时取等，所以，故AB正确，CD错误.故选：AB. 6．（多选）关于x的不等式的解集为非空集合的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 解析：当时，，成立 当时，不等式恒有解， 当时，不等式有解，，得， 综上可知，， 所以不等式有解的必要不充分条件表示的集合要能包含集合， 7．若 使得不等式 成立，则实数的取值范围是 解析：若 使得不等式 成立， 即 使得不等式 成立， 即要小于等于的最大值，故. 8．命题“，”为真命题，则实数a的取值范围 ． 解析：由题意，解得或， 故答案为：或． 9．已知函数. （1）若，试讨论不等式的解集； （2）若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 解析：（1）若不等式，即， ①当时，不等式，解得，该不等式的解集为； ②当时，因式分解可得， 因为，不等式可变为， （i）当即时，不等式的解集为； （ii）当即时，不等式的解集为； （iii）当即时，不等式的解集为； 综上所述：当时，该不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）对于，恒成立， 化简得在上恒成立， 设，该函数是开口向上的二次函数，对称轴， 所以在上单调递增，，所以， 则的取值范围为. 10．已知. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若，解不等式. 解析：（1）变形得到对一切实数x恒成立， 当时，，不对一切实数x恒成立，舍去； 当时，则需，解得， 综上，实数a的取值范围是； （2），即， 因为，所以， 因为， 所以当时，，解集为， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 综上：当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$