期末预测基础卷 -2023-2024学年高一年级数学必修第二册期末复习（新高考人教A版专用）

期末预测基础卷（新高考人教A版专用） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知复数，为虚数单位，则在复平面内复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（22-23高一下·湖北武汉·期中）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 4．（2024高一下·全国·专题练习）为了保证采用分层随机抽样方法时每个个体被等可能地抽取，必须要求（    ） A．每层等可能抽取 B．每层抽取的个体数相等 C．每层抽取的比例为（其中n为抽取的样本容量，N是总体容量） D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制 5．（2024·贵州·模拟预测）甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知向量满足，向量与的夹角为，则（   ） A．12 B．4 C． D．2 7．（2024·湖北武汉·二模）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（    ）    A．cm3 B．33664 cm3 C．33792 cm3 D．35456 cm3 8．（2024·广东湛江·一模）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（    ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立 C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高二·全国·单元测试）下列说法不正确的是（    ） A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场 B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈 C．随机试验的频率与概率相等 D．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为 10．（2024·安徽·模拟预测）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（    ） A．平均数为9.6 B．众数为10 C．第80百分位数为9.8 D．方差为 11．（23-24高一下·山东泰安·期中）如图所示的几何体是一个棱长为的正八面体，则（   ） A．与是异面直线 B．该正八面体的表面积是 C．该正八面体的体积是 D．平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·广东潮州·期中）已知若则x= . 13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为 ；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为 .    14．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知事件与事件互斥，如果，，那么 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高三上·辽宁抚顺·期末）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求； (2)若，，求的面积. 16. (15分) （23-24高一下·福建莆田·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中，分别在棱，上． (1)求证：平面平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求多面体的体积． 17. (15分) （23-24高一下·甘肃白银·期中）人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． (1)求图中a的值； (2)估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； (3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 18. (17分) （23-24高三下·陕西西安·阶段练习）某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有5个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖. (1)求顾客一次抽奖中奖的概率； (2)若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值10元的奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖，可兑取价值5元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计500人次，估计兑出奖品的总价值. 19. (17分) （23-24高一下·浙江·期中）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的大小. (3)求直线与平面所成角的正切值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末预测基础卷（新高考人教A版专用） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知复数，为虚数单位，则在复平面内复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（22-23高一下·湖北武汉·期中）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 4．（2024高一下·全国·专题练习）为了保证采用分层随机抽样方法时每个个体被等可能地抽取，必须要求（    ） A．每层等可能抽取 B．每层抽取的个体数相等 C．每层抽取的比例为（其中n为抽取的样本容量，N是总体容量） D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制 5．（2024·贵州·模拟预测）甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知向量满足，向量与的夹角为，则（   ） A．12 B．4 C． D．2 7．（2024·湖北武汉·二模）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（    ）    A．cm3 B．33664 cm3 C．33792 cm3 D．35456 cm3 8．（2024·广东湛江·一模）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（    ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立 C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高二·全国·单元测试）下列说法不正确的是（    ） A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场 B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈 C．随机试验的频率与概率相等 D．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为 10．（2024·安徽·模拟预测）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（    ） A．平均数为9.6 B．众数为10 C．第80百分位数为9.8 D．方差为 11．（23-24高一下·山东泰安·期中）如图所示的几何体是一个棱长为的正八面体，则（   ） A．与是异面直线 B．该正八面体的表面积是 C．该正八面体的体积是 D．平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·广东潮州·期中）已知若则x= . 13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为 ；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为 .    14．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知事件与事件互斥，如果，，那么 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高三上·辽宁抚顺·期末）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求； (2)若，，求的面积. 16. (15分) （23-24高一下·福建莆田·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中，分别在棱，上． (1)求证：平面平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求多面体的体积． 17. (15分) （23-24高一下·甘肃白银·期中）人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． (1)求图中a的值； (2)估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； (3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 18. (17分) （23-24高三下·陕西西安·阶段练习）某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有5个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖. (1)求顾客一次抽奖中奖的概率； (2)若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值10元的奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖，可兑取价值5元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计500人次，估计兑出奖品的总价值. 19. (17分) （23-24高一下·浙江·期中）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的大小. (3)求直线与平面所成角的正切值. 参考答案： 1．C 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 故选：C 2．B 【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数，再利用复数的几何意义即可. 【详解】复数 所以在复平面内复数所对应的点为， 该点位于第二象限. 故选：B. 3．D 【分析】过作交于点，求出，即可判断B，再还原平面图，求出相应的线段长，即可判断ACD. 【详解】对于B：如图过作交于点， 由等腰梯形且，又，， 可得是等腰直角三角形， 即，故B错误； 对于A：还原平面图如下图， 则，故A错误； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即C错误； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：D. 4．C 【分析】利用分层抽样的概念和性质分析判断每一个选项得解. 【详解】分层随机抽样时，在各层中按层中所含个体在总体中所占的比例进行抽样， A中，虽然每层等可能地抽样，但是没有指明各层中应抽取几个个体，故A不正确； B中，由于每层的个体数不一定相等，每层抽取同样多的个体数， 显然从总体来看，各层的个体被抽取的可能性就不相等了，因此B也不正确； C中，按照这个比例抽取，对于每个个体来说，被抽取为样本的可能性是相同的，故C正确； D显然不正确. 故选：C. 5．C 【分析】根据题意先求出次传球的路线总数,再求出次传球后球在甲手中的路线种数,再利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】根据题意次传球总的传球路线种数为种, 满足题意的有:甲-乙-甲-乙-甲、甲-乙-甲-丙-甲、甲-乙-丙-乙-甲、甲-丙-甲-乙-甲、甲-丙-甲-丙-甲、甲-丙-乙-丙-甲,共有种, 所以次传球后球在甲手中的概率为. 故选:C. 6．C 【分析】利用向量数量积公式得到，从而得到. 【详解】因为，向量与的夹角为．所以， 所以． 故选：C． 7．B 【分析】由勾股定理求出，则可得，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积即可得.. 【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为cm，则cm， 由圆柱的底面圆直径为24 cm，则有， 即，可得，则， . 故选：B. 8．C 【分析】根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形： ①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同， 所以，，，， 因为事件与事件互斥，所以，又， 所以事件M与事件N不相互独立，故A错误； ，故B错误； 由，则事件M与事件Y相互独立，故C正确； 因为事件N与事件Y互斥，所以，又， 所以事件N与事件Y不相互独立，故D错误. 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先求出，，，，再根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可. 9．ABC 【分析】根据概率和频率的概念即可判断答案. 【详解】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，则A，B是错的.频率受试验次数的影响，不稳定，但当试验次数较多时频率会稳定在概率附近，则C错误，D正确. 故选：ABC. 10．ABD 【分析】根据平均数、众数、百分位数和方差的定义求解. 【详解】对于A，平均数，故A正确； 对于B，出现次数最多的数为10，故B正确； 对于C，7×0.8=5.6，第80百分位数为第6位，即10，故C错误； 对于D，方差为，故D正确. 故选：ABD. 11．ABD 【分析】由异面直线的性质判断A正确；由正八面体由八个全等的正三角形组成，再求面积之和可得B正确；由正八面体的体积等于计算可得C错误；由球的截面性质求出截面圆的半径，再求出面积可得D正确. 【详解】A：由正八面体的性质可得，，所以与不平行， 又由图可得，与不相交， 所以与是异面直线，故A正确； B：因为正八面体由八个全等的正三角形组成，且棱长为2， 由三角形面积公式可得八面体的表面积为， 故B正确； C：连接，交点设为，再连接，如图： 因为四边形为正方形，所以对角线的一半长， 又由勾股定理可得， 所以八面体的体积为，故C错误； D： 取的中点，连接， 在中，， 因为，所以正八面体外接球的球心为，半径为， 作于， 则平面， 由等面积可得， 平面截该正八面体的外接球的截面是圆，与平面所截面积相等， 其半径， 所以截面圆的面积为，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：在求组合体的体积或面积时可采用拼接的方法. 12． 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示计算即得. 【详解】由，且，得. 故答案为： 13． 21； 89 【分析】根据分层抽样按比例抽取即可得到C车间应抽取的件数；由分层抽样的方差公式：计算即可. 【详解】解：由分层抽样方法可得：抽取C车间应抽取的件数为； 样本的总体平均数为：， 样本的总体方差为：， 故答案为：21；89. 14．/ 【分析】根据互斥得到，计算，得到答案. 【详解】事件与事件互斥，则，， 故. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】 （1）根据三角恒等变换即可求解， （2）根据余弦定理，结合面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. 由为锐角三角形，得. （2）由（1）及余弦定理知. 因为，，所以， 所以的面积. 16．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由面面平行的性质得到线线平行，进而得到，进而得到，平面，同理得到平面，证明出面面平行； （2）由（1）可得为异面直线与所成角或其补角，求出三边长，利用余弦定理求出异面直线的夹角余弦值； （3）几何体与几何体的体积相等，即，设几何体的体积为，正方体的体积为，故，作出辅助线，几何体体积为三棱锥体积减去三棱锥体积，结合锥体体积公式求出答案. 【详解】（1）由题意得平面平面， 又平面平面， 平面平面，所以， 同理， 又且，且， 则且， 所以四边形为平行四边形，则， 所以， 又为中点，所以为中点， 同理为中点，连接，， 因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，且平面，平面， 同理由可得平面． 且，，平面， 所以平面平面． （2）由（1）可知：， 所以为异面直线与所成角或其补角， 连接，，因为正方体棱长为2且为中点， 则，， 又在正方体中，面，面，则， 即， 所以， 异面直线与所成角的余弦值为． （3）由正方体特性可知：几何体与几何体的体积相等，即， 设几何体的体积为，正方体的体积为， 故， 又为中点，为中点，将延长至点，使， 根据相似知识可知，，， 得到几何体体积为三棱锥体积减去三棱锥体积， 则， 所以． 17．(1) (2)79.3 (3)7次 【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解. （2）先确认频率分布直方图中频率为0.5的位置，再结合中位数定义求解即可. （3）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解. 【详解】（1）因为各组频率之和为1，组距为10， 所以， 解得. （2）因为， 所以中位数位于第三组中， 设中位数为x，则， 解得，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3. （3）由题红灯等待时间低于85秒的频率为， 故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次. 18．(1)； (2)2000元. 【分析】（1）由题意，利用列举法写出满足题意的样本空间，结合古典概型的概率公式计算即可求解； （2）由（1），求出每次中一、二等奖的概率，即可求解. 【详解】（1）设，为两个标有“中奖”字样的小球，，，为三个未标有“中奖”字样的小球， 从中随机抽取两个小球，则有 ，，，，，，，，，共10种情况， 其中中奖的情况共有7种. 所以顾客一次抽奖中奖的概率为. （2）由（1）可知，每次中一等奖的概率为. 每次中二等奖的概率为. 故进行500人次抽奖克出奖品价值的估计值为元. 19．(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）利用线线平行证明线面平行即得； （2）利用平移得到与所成角为，解三角形即得； （3）连接，过作于点，先证平面，再证平面，即得直线与平面所成角，结合即可求得. 【详解】（1） 如图，连接交于点， 因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，且平面， 所以平面. （2）因，且，易得， 则有，由（1）得，故与所成角为（或其补角）. 因为，所以， 即与所成角的大小为. （3）连接，过作于点. 因为平面，且平面， 所以，又且， 所以平面. 因为平面，所以， 又，且，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角为（或其补角）. 因为正方体的边长为1，所以，， 所以. 【点睛】思路点睛：解决异面直线的夹角问题，大多通过平移将两直线集中到一个三角形中，利用三角函数定义或正弦定理，余弦定理求解；对于线面所成角，一般需要作出并证明直线在平面上的射影，借助于直角三角形求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$