精品解析：广东省茂名市高州市2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

2023-2024学年度第二学期学情练习（第15周）八年级数学试卷 一、单选题（每小题3分共30分） 1. 下列图形中，中心对称图形有　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念中心对称图形是要寻找到对称中心，使其旋转180度后能够与自身重合． 2. 不等式在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，根据，则用数轴表示不等式的解集，即可作答． 【详解】解：因为 所以不等式在数轴上表示为： 故选：B． 3. 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，根据定义即可作出判断． 【详解】解：A. ，是整式的乘法运算，不符合题意； B. ，利用平方差公式因式分解，符合题意； C. ，结果不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意； D. ，结果不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 4. 将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标平移，熟知点的坐标平移规律是解题的关键．根据点左右平移，横坐标相加减，上下平移纵坐标相加减的平移规律求解即可． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B， 则点B的坐标是即， 故选：A． 5. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. 0 B. 2 C. ±2 D. ﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据分式为0的条件列式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：x＝2． 故选B． 【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子为0，分母不为0． 6. 解分式方程时，下列去分母正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练找出分式中分母的最简公分母是解题的关键． 先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可． 【详解】解：等式两边同时乘以得，， ∴， 故选：D． 7. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，则，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，正确求出的度数是解题的关键． 8. 如图，若直线与直线交于一点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形，找出直线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图形可知， 当时，， 关于的不等式的解集是：， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象在上方的函数值比函数图像在下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键． 9. 如图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，那么∠AOB'的度数是（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可． 【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′， ∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°， ∴∠AOB′＝∠A′OA−∠A′OB′＝45°−15°＝30°， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°是解题关键． 10. 如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于( ) A. B. 2 C. 4 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】连接AP、BP、CP，设等边三角形的高为h，分别求出△APC、△APB、△BPC的面积，而三个三角形的面积之和等于△ABC面积，由此等量关系可求出到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于△ABC的高． 【详解】连接AP、BP、CP， 设等边三角形的高为h， ∵正三角形ABC边长为2， ∴h=＝， ∵S△BPC=BC•PD， S△APC=AC•PE， S△APB=AB•PF， ∴S△ABC=BC•PD+AC•PE+AB•PF， ∵AB=BC=AC， ∴S△ABC=BC•(PD+PE+PF)= BC•h， ∴PD+PF+PE=h=， 故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及三角形的面积公式，难度较大，注意计算正确． 二、填空题（每小题3分共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 用反证法证明命题“在△ABC中，若∠A＞∠B＋∠C，则∠A＞90°”时，应先假设_____________________． 【答案】∠A≤90° 【解析】 【分析】反证法的第一步是假设结论不成立；原结论为∠A＞90°，它的反面有两种情况：∠A＝90°，∠A＜90°；需一一否定． 【详解】用反证法证明命题“△ABC中，若∠A＞∠B＋∠C，则∠A＞90°”时，应先假设∠A≤90°． 【点睛】本题结合角的比较考查了反证法，解题关键是要懂得反证法的意义及步骤. 13. 将直线y＝2x+3向下平移2个单位，得直线_____． 【答案】y=2x+1． 【解析】 【详解】根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得：将直线y=2x+3先向下平移2个单位，得到直线y=2x+3-2，即y=2x+1. 故答案是：y=2x+1. 14. 方程的解为__________. 【答案】 【解析】 【分析】两边同时乘，得到整式方程，解整式方程后进行检验即可. 【详解】解：两边同时乘，得 ， 解得， 检验：当时，≠0， 所以x=1是原分式方程的根， 故答案为x=1. 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 15. 在锐角中，平分分别是上的动点，则的最小值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称，点到直线垂线段最短，含角的直角三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 利用“角的两边关于对称”作出点 关于的对称点，可以把转化成；由和分别在线段和线段上移动，而点是定点，结合“垂线段最短”即可得到，当于点时，最短，即可求解． 【详解】解：如下图，设点关于的对称点为，连接，则， ∴， ∵平分， ∴点在上， ∴当在同一直线上，且时，最短， 过点作于点，则的长是的最小值， ∴， 又∵， ∴， ∴最小值为， 故答案为：4． 三、解答题（一）（本大题4小题，其中第16题8分，17-19每题6分，共26分） 16. （1）解不等式组，将它的解集在数轴上表示出来． （2）因式分解：． 【答案】（1），数轴见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，因式分解的方法， （1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【详解】（1）解不等式，得：， 解不等式，得：， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 所以不等式组的解集为． （2）解：， ， ． 17. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将分式分子分母因式分解，再根据分式运算法则化简，最后代入求值即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，涉及异分母分式减法运算、分式乘法运算、通分及约分，熟练掌握分式化简求值是解决问题的关键． 18. 已知如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，， （1）将向左平移6个单位，得到，请画出平移后的，并直接写出点的坐标． （2）将以点为旋转中心，顺时针旋转，请画出旋转后的，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质找出点，然后连线画图，再根据图形写出点的坐标． （2）根据旋转的性质确定点，然后连线画图，再根据图形写出点的坐标． 【小问1详解】 如图，即为所求， 【小问2详解】 如图，即为所求． 19. 已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程与解不等式的综合运用．了解方程有正数解必须具备两个条件：①有解，最简公分母不等于0；②有正数解，是解题的关键． 原式去分母得，然后按照方程有正数解的条件求m的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得，解得：． 原式的解为正数，得且， 且． 四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，求： （1）指出旋转中心和旋转角度；并求的长度； （2）与的位置关系如何？并证明． 【答案】（1）旋转中心为点，旋转角为； （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质和正方形的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． （1）根据旋转的性质，点为旋转中心，对应边、的夹角为旋转角；根据旋转的性质可得，，然后根据计算即可得解； （2）根据旋转可得和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后求出，判断出． 【小问1详解】 旋转中心为点，旋转角为； 按顺时针方向旋转一定角度后得到， ，， ； 【小问2详解】 、的位置关系为：．理由如下： 按顺时针方向旋转一定角度后得到， ， ，， ， ， ， 、的位置关系为：． 21. 某工厂制作A、B两种产品，已知用8千克原材料制成A种产品的个数比制成B种产品的个数少1个，且制成一个A种产品比制成一个B种产品需要多用60%的原材料． （1）求制作每个A种产品、B种产品各用多少千克原材料？ （2）如果制作A、B两种产品的原材料共270千克，要求制作B种产品的数量不少于A种产品数量的2倍，求应最多安排多少千克原材料制作A种产品？（不计材料损耗）． 【答案】（1）制作1个B种产品需要3千克原材料，制作1个A种产品需要4.8千克原材料 （2）应最多安排120千克原材料制作A种产品 【解析】 【分析】（1）设制作1个B种产品需要x千克原材料，则制作1个A种产品需要（1+60%）x千克原材料，根据“用8千克原材料制成A种产品的个数比制成B种产品的个数少1个”列方程，求解，即可 （2）设应安排y千克原材料制作A种产品，安排（270﹣y）克原材料制作B种产品，根据“制作B种产品的数量不少于A种产品数量的2倍”列不等式，求解，即可 【小问1详解】 设制作1个B种产品需要x千克原材料，则制作1个A种产品需要（1+60%）x千克原材料 依题意有： 解得：x＝3 检验：； 故x＝3为原方程的解 制作1个A种产品需要千克原材料为：（1+60%）x＝4.8 答：制作1个B种产品需要3千克原材料，制作1个A种产品需要4.8千克原材料 【小问2详解】 设应安排y千克原材料制作A种产品，安排（270﹣y）克原材料制作B种产品 由题意得： 解得：y≤120 答：应最多安排120千克原材料制作A种产品 【点睛】本题考查分式方程和不等式的实际应用，找到等量关系或不等量关系列方程或不等式是本题解题关键，注意分式方程要检验 22. 如图，，点E是的中点，平分． （1）求证：是的平分线； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）过点E作于点F，由平分得到，再由点E是的中点得到，最后证明得到，从而得到结果； （2）先由得到，，进而利用含角的直角三角形三边关系得到，，即有． 【小问1详解】 证明：过点E作于点F，则， ∵平分， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴是的平分线； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理、直角三角形全等的判定，全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的三边关系，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形． 五、解答题（三）（本大题2小题，23题10分，24题12分，共22分） 23. 仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． （1）若二次三项式可分解为，则 ； （2）若二次三项式可分解为，求b，k的值； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】（1）4 （2）， （3）另一个因式是，的值为 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘多项式法则计算，由此可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据多项式乘多项式法则计算，再与进行比较即可得； （3）设另一个因式为，根据多项式乘多项式法则计算，由此即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：， 所以， 所以， 解得， 故答案为：4． 【小问2详解】 解：由题意得：， 所以， 所以， 所以，； 【小问3详解】 解：设另一个因式为， 则， 所以， 所以，， 解得，， 所以另一个因式是，的值为． 24 综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图2，3在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出_________，_________；在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________；   （2）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在平面直角坐标系上，使以为腰的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4，2；（2），详见解析(3)存在，C点坐标分别为：，，，，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点， （1）在中，分别令，即可求得A，B的坐标，从而求得，的长；过点E作轴于M，构造“k型全等”即可求得点E的坐标； （2）过点B作交于点C，过点A作轴，过点C作轴与交于点D，与x轴交于点N，如图，这样构造了“k型全等”，即可求得点C的坐标，用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （3）分情况考虑，构造“k型全等”即可求得点C的坐标； 熟练掌握其性质，正确作出辅助线并分情况讨论是解决此题的关键． 【详解】（1）在中，分别令，， 解得，，即点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， 故答案为：4，2； 过点E作轴于M，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴点E的坐标为， 故答案为：； （2）过点B作交于点C，过点A作轴，过点C作轴与交于点D，与x轴交于点N，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ， 解得， ∴的函数表达式为：； （3）存在，理由如下： ∵直线：分别交x轴和y轴于两点， ∴分别令，，得，， ∴，， ①如图，将直线绕点B顺时针旋转，然后过点A作交旋转后的直线于点， ∴， ∴， ∴由“k型全等”得，，， ∴， ∴， ②如图，将直线绕点B逆时针旋转，然后过点A作交旋转后的直线于点，过A点作轴的直线与过点B作轴的直线交于点G， 与过点作轴的直线交于点H，交y轴于点I， ∴四边形和四边形都为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴由“k型全等”得，，， ∴， ∴， ③如图，将直线绕点A逆时针旋转，然后过点B作交旋转后的直线于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∴由“k型全等”得，，， ∴， ∴， ④如图，将直线绕点A顺时针旋转，然后过点B作交旋转后的直线于点，过B点作轴的直线与过点A作轴的直线交于点P， 与过点作轴的直线交于点Q，交x轴于点T， ∴四边形和四边形都为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴由“k型全等”得，，， ∴， ∴， 综上所述：C点坐标为：，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期学情练习（第15周）八年级数学试卷 一、单选题（每小题3分共30分） 1. 下列图形中，中心对称图形有　　 A. B. C. D. 2. 不等式在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则点坐标是（    ） A B. C. D. 5. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. 0 B. 2 C. ±2 D. ﹣2 6. 解分式方程时，下列去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若直线与直线交于一点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，那么∠AOB'的度数是（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 10. 如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于( ) A. B. 2 C. 4 D. 无法确定 二、填空题（每小题3分共15分） 11. 因式分解：________． 12. 用反证法证明命题“在△ABC中，若∠A＞∠B＋∠C，则∠A＞90°”时，应先假设_____________________． 13. 将直线y＝2x+3向下平移2个单位，得直线_____． 14. 方程的解为__________. 15. 在锐角中，平分分别是上的动点，则的最小值是_____． 三、解答题（一）（本大题4小题，其中第16题8分，17-19每题6分，共26分） 16. （1）解不等式组，将它的解集在数轴上表示出来． （2）因式分解：． 17 化简求值：，其中． 18. 已知如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，， （1）将向左平移6个单位，得到，请画出平移后的，并直接写出点的坐标． （2）将以点为旋转中心，顺时针旋转，请画出旋转后的，并直接写出点的坐标． 19. 已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围． 四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，求： （1）指出旋转中心和旋转角度；并求的长度； （2）与的位置关系如何？并证明． 21. 某工厂制作A、B两种产品，已知用8千克原材料制成A种产品个数比制成B种产品的个数少1个，且制成一个A种产品比制成一个B种产品需要多用60%的原材料． （1）求制作每个A种产品、B种产品各用多少千克原材料？ （2）如果制作A、B两种产品的原材料共270千克，要求制作B种产品的数量不少于A种产品数量的2倍，求应最多安排多少千克原材料制作A种产品？（不计材料损耗）． 22. 如图，，点E是的中点，平分． （1）求证：是的平分线； （2）若，求证：． 五、解答题（三）（本大题2小题，23题10分，24题12分，共22分） 23. 仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． （1）若二次三项式可分解，则 ； （2）若二次三项式可分解为，求b，k的值； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 24. 综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图2，3在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出_________，_________；在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________；   （2）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在平面直角坐标系上，使以为腰的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$