第21章 一元二次方程（单元测试·培优卷） -2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

第21章 一元二次方程（单元测试·培优卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如果0是关于的一元二次方程的一个根，那么的值是（   ） A．3 B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程时，配方的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程，其中较大的一个根为，下列最接近的范围是（    ） A． B． C． D． 4．若m是方程的根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 5．若关于x的方程有解，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．在平面直角坐标系xOy中，若已知点，则下列结论一定不成立的是 A． B． C． D． 7．若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 9．已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 10．使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（    ） A．35 B．30 C．26 D．21 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若方程有一个解为，则方程的解为 ． 12．方程的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是 ． 13．若实数x满足，则代数式的值是 ． 14．已知平行四边形的两条邻边长，的长分别是关于x的方程的两个实数根，当 时，四边形是菱形． 15．已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为 ． 16．如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入中得到一个y值，再把得到的y值代入中，又求出一个新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得． （1）把代入中，最后求出的x值为 ； （2）小明发现，给x一个整数并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是 ． 17．若关于的方程为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 18．已知点为线段上一点．如果的比值为关于的方程的解，那么点为的阶黄金分割点． 已知阶黄金分割点作法如下： 步骤一：如图，过点作的垂线，在垂线上取，连接； 步骤二：以点为圆心，为半径作弧交于点； 步骤三：以点为圆心，为半径作弧交于点； 结论：点为线段的阶黄金分割点． （1）作法步骤一中，当时，点为线段的 阶黄金分割点； （2）作法步骤一中，当 （结果用的代数式表示）时，点为线段的阶黄金分割点． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）用指定方法解下列一元二次方程 （1）配方法 （2）公式法 20．（8分）已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （2）若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 21．（10分）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围墙如图（围墙的长足够长），另两边和由总长为80米长的篱笆组成． （1）若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求的长； （2）能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 22．（10分）若m，n为正实数，，t是关于x的方程的一正实根． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）用含k的代数式表示． 23．（10分）根据以下素材，解决生活问题 【素材背景】某超市购进200箱的A款牛奶，进价为每箱40元．若每箱售价为60元，每天可销售50箱．超市也可采取降价促销措施来提高利润，经过营销部的市场调研反馈：若A款牛奶单价每降1元，每天可多售出5箱． 【问题解决】 思考1：第一天超市决定按原价每箱60元出售，则第一天售出A款牛奶所获利润为______元． 思考2：第二天超市采取降价促销措施，为了使第二天的利润比第一天增加，又要让顾客实现最优惠，问第二天A款牛奶的每箱售价为多少元？ 思考3：第三天超市仍采取降价促销措施，既要销售完这批剩余的A款牛奶，又要使超市利益最大化，问销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为多少元？ 24．（12分）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想――转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是______； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿走到点P处，把长绳段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求的长．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】把代入一元二次方程得，解方程得，然后根据一元二次方程的定义得到的值． 【详解】解：把代入一元二次方程 得， 解得， 而， 所以的值为3． 故选：A． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 2．D 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法求解即可，解题的关键熟练掌握配方法解方程． 【详解】解： ， ， 故选：． 3．A 【分析】先利用配方法解一元二次方程求得，再根据，即可求解． 【详解】解：， ∴， 配方得，， ∴， ∵较大的一个根为， ∴， ∵， ∴，即， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简分式，再结合代入计算即可． 【详解】解： ， ， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了方程有解的情况，以及一元二次方程根的判别式，根据以及分别讨论求解，即可解题． 【详解】解：关于x的方程有解， 当时，方程为，解得， 时，方程有解； 当，即时，方程为有解， 即， ， 解得， 综上所述，关于x的方程有解，k的取值范围是， 故选：A． 6．A 【分析】由勾股定理可得：，再利用配方法求解的最小值，再求解的最小值，从而可得答案． 【详解】解：由勾股定理可得： 当时，有最小值 ∴的最小值为 所以A不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意； 故选A 【点拨】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键． 7．A 【分析】本题是函数有意义的条件与一元二次方程的解相结合的问题．函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0． 函数的自变量取值范围是一切实数，即分母一定不等于0，即方程无解．即，即可解得、的关系． 【详解】解：∵函数的自变量取值范围是一切实数， ∴分母一定不等于0， ∴无解， 即， 解得：或． 当时，一定满足要求． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．首先根据题意可得，然后根据图形写出剩下的钢板面积，然后利用配方法可把代数式配成的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案． 【详解】解：∵， ∴，则， 根据图形可得：剩下的钢板面积 ； ∵， ∴，即剩下的钢板面积， ∴剩下的钢板面积的最大值为，只有选项B符合； 故选：B． 9．B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 10．B 【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可． 【详解】解：整理不等式组得： 由①得：， 由②得：x<4 ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0， ∴， 解得：， ∵有实数根， ∴ 解得：a≤9， ∵方程是一元二次方程， ∴a≠5 ∴，且a≠5， 满足条件的整数有：6、7、8、9； ∴6+7+8+9=30， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，熟练掌握解不等式的性质和不等式解集的写法是解题发关键． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根据题意得出，进而解方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有一个解为， ∴ ∴ 即 ∴ 解得： 故答案为：． 12．或4 【分析】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 先求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可． 【详解】解:解方程得：或5， 即直角三角形的两边为3或5， 当5为直角边时，第三边为：； 当5为斜边时，第三边为：； 故答案为：或4． 13．2 【分析】本题考查了解一元二次方程．设，则，利用因式分解法求得即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∴或， 解得或， 即或（方程无解，舍去）， ∴代数式的值是2， 故答案为：2． 14． 【分析】本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质．先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可解题． 【详解】解：由题可得：， 则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．/ 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质．由一元二次方程根的判别式先求解，根据一元二次方程的解的定义得出代入代数式，进而即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：， 设此方程的一个实数根为， ， ， ， ，即． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了解一元二次方程，和分式方程． （1）根据题意运算法则计算即可求解； （2）设这个数为，依题意得，解一元二次方程求得整数解即可． 【详解】解：（1）把代入中，， 再把代入中，求得； 经检验是原方程的解， 故答案为：； （2）设这个数为，依题意得， 整理得， 解得（舍去），， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数的关系得到，；，；，．把原式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】解：，，2，3，，2020， 由根与系数的关系得：，；，；，， 原式 ． 故答案为：． 18． 1/一 / 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，根式的化简，解题的关键是熟练掌握勾股定理，公式法解一元二次方程． （1）根据勾股定理得出，求出，根据的比值为关于的方程的解，得出，求出，即可得出答案； （2）根据勾股定理得出，求出，解方程得出，根据的比值为关于的方程的解，且的比值大于0，得出，求出k的值即可． 【详解】解：（1）当时，， 根据勾股定理得： ， ∴， ∴， ∵的比值为关于的方程的解， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∴当时，点为线段的1阶黄金分割点； 故答案为：1； （2）∵， 根据勾股定理得： ， ∴， ∴， 解方程得：， ∵， ∴，， ∵的比值为关于的方程的解，且的比值大于0， ∴， ∴， 令， 则 ， ∴， ∴． 故答案为：． 19．(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． 20．(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意得到，，进而求解即可； （2）首先得到方程，然后利用根与系数的关系得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）由题意得，该方程有两个不相等的实数根 ，即， 解得， 则的取值范围为且； （2）当时，， ， ． 21．(1)的长为20米或60米 (2)不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式， （1）设的长为米，则的长为米，依题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据题意，列出方程，由方程解的情况即可得解； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）设的长为米，则的长为米， 根据题意，得， 整理，得， 解得：， 答：的长为20米或60米． （2）不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， ， 该方程无实数根， 不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地． 22．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程： （1）根据t是关于x的方程的一正实根得到，配方即可得出结论； （2）根据，得到，即可得到，两边同时除以，将方程转化为，解方程即可； （3）同法（2）进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵t是关于x的方程的一正实根， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍掉）； ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或（不合题意，舍掉）． 故：． 23．思考1：1000；思考2：54元；思考3：3240元 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用： 思考1：售价与进价之差为每箱利润，乘以销量即为总利润； 思考2：设第二天A款牛奶的每箱售价为x元，则销量为箱，每箱利润为元，根据第二天的利润比第一天增加列一元二次方程，解方程即可； 思考3：先求出剩余牛奶的箱数，降价后的销量刚好等于该数时，可以使超市利益最大化，由此可解． 【详解】解：思考1：（元）， 即第一天售出A款牛奶所获利润为1000元， 故答案为：1000； 思考2：设第二天A款牛奶的每箱售价为x元， 由题意得：， 整理得， 解得，， 要让顾客实现最优惠， 第二天A款牛奶的每箱售价为54元． 思考3：第一天销量为：50箱，第二天销量为：（箱）， 第三天销量为：（箱）， 设第三天A款牛奶的每箱售价为y元， 则， 解得， 第三天售出A款牛奶所获利润为：（元）， （元）， 即销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为3240元． 24．(1)，， (2)； (3)AP的长为4m 【分析】（1）先将该方程转化成，然后再求解即可； （2）由可得且，然后解出x即可； （3）设，则，然后根据勾股定理求得和，然后再根据列方程求出x即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以或或， ，，； （2）解：， 方程的两边平方，得， 即， ， 或， ，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； （3）解：因为四边形是矩形， 所以， 设，则， 因为， ，， ∴， ∴， 两边平方，得， 整理，得， 两边平方并整理，得；即， 所以． 经检验，是方程的解． 答：AP的长为4m． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及转换法的应用，掌握转换法是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$