黑龙江省佳木斯市同江市场直中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷

黑龙江省佳木斯市同江市场直中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷(解析版) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 2．（3分）等腰三角形的一个内角为80°，则此三角形其余两个内角的度数分别为（　　） A．50°，50° B．80°，20° C．80°，50° D．50°，50°或80°，20° 3．（3分）在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3．则平行四边形ABCD的周长是（　　） A．16 B．13 C．10 D．8 4．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．，， B．6，8，10 C．7，24，25 D．，3，5 5．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C．﹣ D． 6．（3分）如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（　　） A． B．2 C． D．3 7．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．（a3）4＝a7 C．3a2﹣2a2＝a2 D．3a2×2a2＝6a2 8．（3分）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（　　） A．4 B． C．2 D．3 9．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（　　） A．7 B．8 C．7 D．7 10．（3分）△ABC中，AB＝20，AC＝13．高AD＝12．则△ABC的周长是（　　） A．54 B．44 C．54或44 D．54或33 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是　 　． 12．（3分）式子有意义，则实数a的取值范围是　 　． 13．（3分）小聪让你写一个含有字母a的二次根式．具体要求是：不论a取何实数，该二次根式都有意义，且二次根式的值为正．你所写的符合要求的一个二次根式是　 　． 14．（3分）一种病毒长度约为0.0000056mm，数据0.0000056用科学记数法可表示为　 　． 15．（3分）y＝（2m﹣1）x3m﹣2+3是一次函数，则m的值是 　 　． 16．（3分）在正方形ABCD中，点E在边CD上，点P在线段AE上，且PA＝，PB＝2，PD＝6则∠APD＝　 　度，四边形BCDP的面积＝　 　． 三、解下列各题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元． （1）求每行驶1千米纯用电的费用； （2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米？ 18．（8分）解不等式组并在数轴上表示解集． 19．（8分）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 20．（8分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．试证明：无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的． 21．（8分）如图，E、F分别为△ABC的边BC、AC的中点，BC＝4，延长EF至点D，使得DF＝EF，连接DA、DC、AE．若AC⊥DE时，求四边形AECD的周长． 22．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点 B、C，如果四边形OBAC是正方形． （1）求一次函数的解析式． （2）一次函数的图象与y轴交于点D．在x轴上是否存在一点P，使得PA+PD最小？若存在，请求出P点坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 23．（10分）如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x﹣3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11﹣x．求证：四边形OPMN是平行四边形． 24．（12分）某中学由6名师生组成一个排球队．他们的年龄（单位：岁）如下： 15 16 17 17 17 40 （1）这组数据的平均数为 　 　，中位数为 　 　，众数为 　 　． （2）用哪个值作为他们年龄的代表值较好？ 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 【分析】根据平行线的性质求出∠3＝∠1＝40°，根据三角形的外角性质求出∠2＝∠3+∠A，代入求出即可． 【解答】解： ∵EF∥MN，∠1＝40°， ∴∠1＝∠3＝40°， ∵∠A＝30°， ∴∠2＝∠A+∠3＝70°， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能求出∠3的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等． 2．（3分）等腰三角形的一个内角为80°，则此三角形其余两个内角的度数分别为（　　） A．50°，50° B．80°，20° C．80°，50° D．50°，50°或80°，20° 【分析】80°的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况进行计算即可． 【解答】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°； ②当80°的角是底角，则顶角是20°． 故三角形其余两个内角的度数分别为50°，50°或20°、80°． 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是注意分情况进行讨论． 3．（3分）在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3．则平行四边形ABCD的周长是（　　） A．16 B．13 C．10 D．8 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等可得DC＝5，AD＝3，然后再求出周长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝CD，AD＝BC， ∵AB＝5，BC＝3， ∴DC＝5，AD＝3， ∴平行四边形ABCD的周长为：5+5+3+3＝16， 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等． 4．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．，， B．6，8，10 C．7，24，25 D．，3，5 【分析】由两条短边长的平方和不等于长边的平方，可得出这三个数不能作为直角三角形的三边长，此题得解． 【解答】解：∵（）2+（）2＝7≠（）2， ∴，，不能作为直角三角形的三边长． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键． 5．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C．﹣ D． 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、不是二次根式，故本选项不符合题意； B、不是二次根式，故本选项不符合题意； C、是二次根式，故本选项符合题意； D、当x＜0时不是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，注意：形如（a≥0）的形式，叫二次根式． 6．（3分）如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】延长BC 到E 使BE＝AD，则四边形ACED是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到CM＝DE＝AB，根据跟勾股定理得到AB＝＝＝5，于是得到结论． 【解答】解：延长BC 到E 使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6， ∴C是BE的中点， ∵M是BD的中点， ∴CM＝DE＝AB， ∵AC⊥BC， ∴AB＝＝＝5， ∴CM＝， 解法二：延长CM交AD于T． ∵AD∥BC， ∴∠MBC＝∠MDT， ∵MD＝MB，∠BMC＝∠DMT， ∴△BMC≌△DMT（ASA）， ∴CM＝MT，DT＝BC＝3， ∵AD＝6， ∴AT＝3， ∵AC＝4，∠CAT＝90°， ∴CT＝＝＝5， ∴CM＝MT＝CT＝． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 7．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．（a3）4＝a7 C．3a2﹣2a2＝a2 D．3a2×2a2＝6a2 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则和合并同类项法则分别计算得出答案． 【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误； B、（a3）4＝a12，故此选项错误； C、3a2﹣2a2＝a2，正确； D、3a2×2a2＝6a4，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 8．（3分）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（　　） A．4 B． C．2 D．3 【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题． 【解答】解：∵等边三角形高线即中点，AB＝2， ∴BD＝CD＝1， 在Rt△ABD中，AB＝2，BD＝1， ∴AD＝， ∴S△ABC＝BC•AD＝×2×＝， 故选：B． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 9．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（　　） A．7 B．8 C．7 D．7 【分析】12和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长7，即可利用勾股定理得出EF的值． 【解答】解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5为两条直角边长时， 小正方形的边长＝12﹣5＝7， ∴EF＝； 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 10．（3分）△ABC中，AB＝20，AC＝13．高AD＝12．则△ABC的周长是（　　） A．54 B．44 C．54或44 D．54或33 【分析】本题应分两种情况进行讨论： （1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出； （2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出． 【解答】解：此题应分两种情况说明： （1）当△ABC为锐角三角形时， 在Rt△ABD中，BD＝＝＝16， 在RT△ADC中，CD＝＝＝5， 即可得BC＝BD+CD＝21，故可得△ABC的周长＝AB+BC+CA＝54； （2）当△ABC为钝角三角形时， 在Rt△ABD中，BD＝＝＝16， 在RT△ADC中，CD＝＝＝5， 即可得BC＝BD﹣CD＝11，故可得△ABC的周长＝AB+BC+CA＝44． 故选：C． 【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是　50°　． 【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝BD，根据等边对等角可得∠A＝∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C＝∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可． 【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠DBC＝15°， ∴∠ABC＝∠A+15°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝∠A+15°， ∴∠A+∠A+15°+∠A+15°＝180°， 解得∠A＝50°． 故答案为：50°． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键． 12．（3分）式子有意义，则实数a的取值范围是　a≥﹣1且a≠2　． 【分析】根据二次根式有意义和分式的分母不能为0得出a+1≥0且a﹣2≠0，再求出答案即可． 【解答】解：∵式子有意义， ∴a+1≥0且a﹣2≠0， 解得：a≥﹣1且a≠2， 故答案为：a≥﹣1且a≠2． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，注意：①式子中a≥0，②分式的分母B≠0． 13．（3分）小聪让你写一个含有字母a的二次根式．具体要求是：不论a取何实数，该二次根式都有意义，且二次根式的值为正．你所写的符合要求的一个二次根式是　（a≠0）（答案不唯一）　． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出符合题意的答案． 【解答】解：例如：（a≠0）（答案不唯一）， 故答案为：（a≠0）（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式定义是解题关键． 14．（3分）一种病毒长度约为0.0000056mm，数据0.0000056用科学记数法可表示为　5.6×10﹣6　． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.0000056＝5.6×10﹣6． 故答案为：5.6×10﹣6． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 15．（3分）y＝（2m﹣1）x3m﹣2+3是一次函数，则m的值是 　1　． 【分析】先根据一次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值． 【解答】解：∵y＝（2m﹣1）x3m﹣2+3是一次函数， ∴ 解得m＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查的是一次函数的定义，即一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 16．（3分）在正方形ABCD中，点E在边CD上，点P在线段AE上，且PA＝，PB＝2，PD＝6则∠APD＝　135　度，四边形BCDP的面积＝　43　． 【分析】根据旋转作辅助线，构建三角形全等，根据勾股定理的逆定理证明△BP'P是直角三角形，再得△DPG是等腰直角三角形，可得∠APD的度数，利用勾股定理计算AD的长，根据面积差可得四边形BCDP的面积． 【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， 将△APD绕点A顺时针旋转90°到△ABP'，连接PP'，过D作DG⊥AE于G， 由旋转得：AP'＝AP＝，∠PAP'＝90°，P'B＝PD＝6， ∴∠AP'P＝45°，PP'＝2， ∵P'B2+P'P2＝62+22＝40， PB2＝（2）2＝40， ∴P'B2+P'P2＝PB2， ∴∠PP'B＝90°， ∴∠AP'B＝∠APD＝90°+45°＝135°， ∴∠DPG＝45°， ∴△DPG是等腰直角三角形， ∵PD＝6， ∴PG＝DG＝3， ∴AG＝AP+PG＝4， 由勾股定理得：AD＝＝5， ∴四边形BCDP的面积＝S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△APB＝﹣S△AP'P﹣S△BP'P＝50﹣﹣＝43， 故答案为：135，43． 【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 三、解下列各题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元． （1）求每行驶1千米纯用电的费用； （2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米？ 【分析】（1）根据某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元，可以列出相应的分式方程，然后解分式方程即可解答本题； （2）根据（1）中用电每千米的费用和本问中的信息可以列出相应的不等式，解不等式即可解答本题． 【解答】解：（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x元， ＝ 解得，x＝0.26 经检验，x＝0.26是原分式方程的解， 即每行驶1千米纯用电的费用为0.26元； （2）从A地到B地油电混合行驶，用电行驶y千米， 0.26y+（﹣y）×（0.26+0.50）≤39 解得，y≥74， 即至少用电行驶74千米． 【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程与不等式，注意分式方程在最后要检验． 18．（8分）解不等式组并在数轴上表示解集． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来． 【解答】解：解不等式2x＜5，得：x＜， 解不等式3（x+2）≥x+4，得：x≥﹣1， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜， 将不等式解集表示在数轴上如图： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19．（8分）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 【分析】首先求得线段AB的长，然后利用勾股定理求得线段AC的长，然后除以时间即可得到乙船的速度． 【解答】解：根据题意得：AB＝12×2＝24，BC＝30，∠BAC＝90°．…（1分） ∴AC2+AB2＝BC2． ∴AC2＝BC2﹣AB2＝302﹣242＝324 ∴AC＝18．…（4分） ∴乙船的航速是：18÷2＝9海里/时．…（6分） 【点评】本题考查了勾股定理的知识及方向角的内容，解题的关键是正确的整理出直角三角形求解． 20．（8分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．试证明：无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的． 【分析】分两种情况探讨：（1）当正方形A1B1C1O边与正方形ABCD的对角线重合时；（2）当转到一般位置时，由题求证△AEO≌△BOF，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积，得出结论． 【解答】解：（1）当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到其边OA1，OC1分别于正方形ABCD的两条对角线重合这一特殊位置时， 显然S两个正方形重叠部分＝S正方形ABCD； （2）当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到如图位置时． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠OAB＝∠OBF＝45°，OA＝OB BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB＝90°， 又∵四边形A′B′C′O为正方形， ∴∠A′OC′＝90°，即∠BOF+∠EOB＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， 在△AOE和△BOF中， ， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∵S两个正方形重叠部分＝S△BOE+S△BOF， 又S△AOE＝S△BOF ∴S两个正方形重叠部分＝SABO＝S正方形ABCD． 综上所知，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的． 【点评】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点． 21．（8分）如图，E、F分别为△ABC的边BC、AC的中点，BC＝4，延长EF至点D，使得DF＝EF，连接DA、DC、AE．若AC⊥DE时，求四边形AECD的周长． 【分析】由“SAS”可证△ADF≌△CEF，可得AD＝CE，∠DAF＝∠FCE，可证平行四边形AECD是菱形，由直角三角形的性质可得AE＝CE＝BE＝BC＝2，即可求四边形AECD的周长． 【解答】解：∵E、F分别为△ABC的边BC，AC的中点， ∴EF∥AB，CE＝BE，CF＝AF ∵AF＝CF，∠DFA＝∠EFC，DF＝EF， ∴△ADF≌△CEF（SAS） ∴AD＝CE，∠DAF＝∠FCE ∴AD∥CE，且AD＝CE ∴四边形AECD是平行四边形 ∵AC⊥DE ∴平行四边形AECD是菱形 ∵EF∥AB，AC⊥DE ∴AC⊥AB，且CE＝BE ∴AE＝CE＝BE＝BC＝2 ∴四边形AECD的周长＝4×2＝8 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，证明四边形AECD是菱形是本题的关键． 22．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点 B、C，如果四边形OBAC是正方形． （1）求一次函数的解析式． （2）一次函数的图象与y轴交于点D．在x轴上是否存在一点P，使得PA+PD最小？若存在，请求出P点坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）若四边形OBAC是正方形，那么点A的横纵坐标相等，代入反比例函数即可求得点A的坐标，进而代入一次函数即可求得未知字母k． （2）在y轴负半轴作OD′＝OD，连接AD′，与x轴的交点即为P点的坐标，进而求出P点的坐标． 【解答】解：（1）∵四边形OBAC是正方形， ∴S四边形OBAC＝AB2＝OB2＝9， ∴点A的坐标为（3，3）， ∵一次函数y＝kx+1的图象经过A点， ∴3＝3k+1， 解得k＝， ∴一次函数的解析式y＝x+1， （2）y轴负半轴作OD′＝OD，连接AD′，如图所示，AD′与x轴的交点即为P点的坐标， ∵一次函数的解析式y＝x+1， ∴D点的坐标为（0，1）， ∴D′的坐标为（0，﹣1）， ∵A点坐标为（3，3）， 设直线AD′的直线方程为y＝mx+b， 即， 解得m＝，b＝﹣1， ∴直线AD′的直线方程为y＝x﹣1， 令y＝0，解得x＝， ∴P点坐标为（，0）． 【点评】本题主要考查反比例函数的综合题，解决本题的关键是利用反比例函数求得关键点点A的坐标，然后利用待定系数法即可求出函数的解析式，解答（2）问时需要求出D′的坐标． 23．（10分）如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x﹣3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11﹣x．求证：四边形OPMN是平行四边形． 【分析】由题意可证∠MON＝90°＝∠PMO，根据勾股定理列出方程求出x的值，可得PM＝ON，OP＝MN，即结论可证． 【解答】证明：在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝5， 因此，OM2+ON2＝42+32＝25，MN2＝52＝25 ∴OM2+ON2＝MN2 ∴△MON是直角三角形． ∴∠MON＝∠PMO＝90° 因此，在Rt△POM中，OP＝x﹣3，OM＝4，MP＝11﹣x， 由勾股定理可得，OM2+MP2＝OP2 即：42+（11﹣x）2＝（x﹣3）2 解得：x＝8 ∴OP＝x﹣3＝8﹣3＝5，MP＝11﹣x＝11﹣8＝3 ∴OP＝MN MP＝ON ∴四边形OPMN是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理证明∠MON＝90°是本题的关键． 24．（12分）某中学由6名师生组成一个排球队．他们的年龄（单位：岁）如下： 15 16 17 17 17 40 （1）这组数据的平均数为 　　，中位数为 　17　，众数为 　17　． （2）用哪个值作为他们年龄的代表值较好？ 【分析】（1）依据平均数，中位数以及众数的定义进行计算，即可得到结果； （2）众数是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量． 【解答】解：（1）这组数据的平均数为＝， 中位数为＝17， 众数为17； 故答案为：，17，17； （2）用众数作为他们年龄的代表值较好， 故答案为：众数． 【点评】本题主要考查了平均数，中位数以及众数的定义，解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 学科网（北京）股份有限公司 $$